例 1 无理数像一篇读不完的长诗,既不循环,也不枯竭,无穷无尽,数学家称之为一种特殊的数。设面积为 $10\pi$ 的圆的半径为 $x$。
(1)$x$ 是有理数吗？说明理由。
(2)请估计 $x$ 的整数部分是多少。
(3)将 $x$ 精确到十分位是多少？
[解答](1)$x$ 不是有理数。理由如下：由圆的面积公式可得 $\pi x^{2}= 10\pi$,所以 $x^{2}= 10$。因为没有一个整数或分数的平方等于 10,所以 $x$ 既不是整数也不是分数,所以 $x$ 不是有理数。
(2)由(1)知 $x^{2}= 10$。因为 $3^{2}= 9$,$4^{2}= 16$,$9＜10＜16$,所以 $3^{2}＜10＜4^{2}$,所以 $3＜x＜4$。所以 $x$ 的整数部分是 3。
(3)因为 $3.1^{2}= 9.61$,$3.2^{2}= 10.24$,$9.61＜10＜10.24$,所以 $3.1＜x＜3.2$。又因为 $3.16^{2}= 9.9856$,$3.17^{2}= 10.0489$,$9.9856＜10＜10.0489$,所以 $3.16＜x＜3.17$。
所以将 $x$ 精确到十分位是 3.2。

(1) $x$ 不是有理数。
由圆面积公式得 $\pi x^{2} = 10\pi$，故 $x^{2} = 10$。
不存在整数或分数 $x$ 使得 $x^{2} = 10$，因此 $x$ 不是有理数。
(2) $x$ 的整数部分为 $3$。
由 $x^{2} = 10$，且 $3^{2} = 9$，$4^{2} = 16$，得 $3 ＜ x ＜ 4$，故整数部分为 $3$。
(3) $x$ 精确到十分位为 $3.2$。
由 $3.1^{2} = 9.61$，$3.2^{2} = 10.24$，得 $3.1 ＜ x ＜ 3.2$。
进一步，$3.16^{2} = 9.9856$，$3.17^{2} = 10.0489$，得 $3.16 ＜ x ＜ 3.17$，故精确到十分位为 $3.2$。

例 2 在数 $-3$,$\frac{22}{21}$,$\pi$,$\frac{\pi}{3}$,$0.536$,$2.4$,$1.525525552…$(相邻两个 2 之间 5 的个数逐次加 1)中,有理数有个,无理数有______个。
[解答] 有理数有 4 个,它们依次为 $-3$,$\frac{22}{21}$,$0.536$,$2.4$；无理数有 3 个,它们依次为 $\pi$,$\frac{\pi}{3}$,$1.525525552…$(相邻两个 2 之间 5 的个数逐次加 1)。故答案为 4,3。

4,3

有理数是整数和分数的统称，有限小数和无限循环小数也属于有理数。-3是整数，$\frac{22}{21}$是分数，0.536和2.4是有限小数，均为有理数，共4个；无理数是无限不循环小数，$\pi$、$\frac{\pi}{3}$、1.525525552…（相邻两个2之间5的个数逐次加1）均为无限不循环小数，是无理数，共3个。