例 如图,一次函数的图象经过 $ A(2,4) $,$ B(0,2) $ 两点,且与 $ x $ 轴相交于点 $ C $。求：
(1) 此一次函数的表达式；
(2) $ \triangle AOC $ 的面积。


[解答] (1) 设一次函数的表达式为 $ y = kx + b $,
将 $ A(2,4) $,$ B(0,2) $ 分别代入表达式,得 $ 2k + b = 4 $,$ b = 2 $,解得 $ k = 1 $,$ b = 2 $。
故此一次函数的表达式为 $ y = x + 2 $。
(2) 当 $ y = 0 $ 时,$ x + 2 = 0 $,解得 $ x = -2 $,所以 $ C(-2,0) $,所以 $ OC = 2 $。
如图,过点 $ A $ 作 $ AD \perp x $ 轴于点 $ D $,因为 $ A(2,4) $,所以 $ AD = 4 $,
所以 $ S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2}OC \cdot AD = \frac{1}{2} × 2 × 4 = 4 $,
即 $ \triangle AOC $ 的面积是 $ 4 $。

答题卡：
(1) 设一次函数的表达式为 $ y = kx + b $。
将 $ A(2,4) $、$ B(0,2) $ 分别代入表达式，得：
$2k + b = 4$，
$b = 2$，
解得：
$k = 1$，
$b = 2$，
故此一次函数的表达式为 $ y = x + 2 $。
(2) 当 $ y = 0 $ 时，$ x + 2 = 0 $，解得 $ x = -2 $，所以 $ C(-2,0) $，所以 $ OC = 2 $。
过点 $ A $ 作 $ AD \perp x $ 轴于点 $ D $，因为 $ A(2,4) $，所以 $ AD = 4 $。
所以$S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2} OC \cdot AD = \frac{1}{2} × 2 × 4 = 4$，
即 $ \triangle AOC $ 的面积是 4。

1. 如图,直线 $ AB $ 对应的函数表达式是()。

A.$ y = -\frac{3}{2}x + 3 $
B.$ y = \frac{3}{2}x + 3 $
C.$ y = -\frac{2}{3}x + 3 $
D.$ y = \frac{2}{3}x + 3 $

A

解：设直线$AB$的函数表达式为$y = kx + b$。
由图可知，直线过点$A(0, 3)$和点$B(2, 0)$。
将$A(0, 3)$代入$y = kx + b$，得$3 = k × 0 + b$，即$b = 3$。
将$B(2, 0)$和$b = 3$代入$y = kx + b$，得$0 = 2k + 3$，解得$k = -\frac{3}{2}$。
所以直线$AB$的函数表达式为$y = -\frac{3}{2}x + 3$。
A

2. 已知一次函数 $ y = kx + b(k \neq 0) $ 图象过点 $ (-2,1) $ 和点 $ (0,4) $,则()。
A.$ k = -\frac{2}{3} $,$ b = 4 $
B.$ k = 4 $,$ b = -\frac{3}{2} $
C.$ k = -\frac{3}{2} $,$ b = 4 $
D.$ k = \frac{3}{2} $,$ b = 4 $

D

解：将点$(0,4)$代入$y = kx + b$，得$4 = k×0 + b$，所以$b = 4$。
将点$(-2,1)$和$b = 4$代入$y = kx + b$，得$1 = k×(-2) + 4$，即$-2k = 1 - 4$，$-2k = -3$，解得$k=\frac{3}{2}$。
结论：$k = \frac{3}{2}$，$b = 4$，选D。

3. 已知一次函数的图象过点 $ (0,3) $,且与两坐标轴所围成的三角形面积为 $ 3 $,则这个一次函数的表达式为()。
A.$ y = 1.5x + 3 $
B.$ y = -1.5x + 3 $
C.$ y = 1.5x + 3 $ 或 $ y = -1.5x + 3 $
D.$ y = 1.5x - 3 $ 或 $ y = -1.5x - 3 $

C

设一次函数表达式为$y = kx + b$。
因为函数图象过点$(0,3)$，所以$b = 3$，函数表达式为$y = kx + 3$。
令$y = 0$，则$kx + 3 = 0$，解得$x = -\dfrac{3}{k}$，即函数与$x$轴交点为$\left(-\dfrac{3}{k},0\right)$。
已知与两坐标轴围成的三角形面积为$3$，则$\dfrac{1}{2}×|3|×\left|-\dfrac{3}{k}\right| = 3$。
$\dfrac{1}{2}× 3×\left|\dfrac{3}{k}\right| = 3$，$\left|\dfrac{9}{2k}\right| = 3$，$\left|\dfrac{3}{2k}\right| = 1$，$|2k| = 3$，$k = \pm\dfrac{3}{2} = \pm1.5$。
所以一次函数表达式为$y = 1.5x + 3$或$y = -1.5x + 3$。
C