一、选择题
1. 关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+(k^{2}-4)x + k + 1 = 0 $ 的两个实数根互为相反数，则 $ k $ 的值是().
A.$ -1 $
B.$ \pm 2 $
C.$ 2 $
D.$ -2 $

1. D

设方程的两个根为$x_1$，$x_2$。
因为两个实数根互为相反数，所以$x_1 + x_2 = 0$。
由韦达定理得：$x_1 + x_2 = -(k^2 - 4)$，则$-(k^2 - 4) = 0$，解得$k = \pm 2$。
当$k = 2$时，方程为$x^2 + 3 = 0$，$\Delta = 0^2 - 4×1×3 = -12 ＜ 0$，无实数根，舍去。
当$k = -2$时，方程为$x^2 - 1 = 0$，$\Delta = 0^2 - 4×1×(-1) = 4 ＞ 0$，有两个实数根。
综上，$k = -2$。
D

2. 关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-(m^{2}-2)x + 2m + 1 = 0 $ 的两个实数根的倒数和等于 $ 1 $，则 $ m $ 的值等于().

A.$ 3 $
B.$ -1 $
C.$ 3 $ 或 $ -1 $
D.不存在

2. C

设方程的两个实数根为$x_1$，$x_2$。
由韦达定理得：$x_1 + x_2 = m^2 - 2$，$x_1x_2 = 2m + 1$。
两个实数根的倒数和为$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = 1$，即$\frac{m^2 - 2}{2m + 1} = 1$。
解得$m^2 - 2 = 2m + 1$，$m^2 - 2m - 3 = 0$，$(m - 3)(m + 1) = 0$，$m = 3$或$m = -1$。
当$m = 3$时，方程为$x^2 - 7x + 7 = 0$，$\Delta = 49 - 28 = 21 ＞ 0$，有两个实数根。
当$m = -1$时，方程为$x^2 - (-1)^2 + 2x + 2(-1) + 1 = x^2 - 1 + 2x - 2 + 1 = x^2 + 2x - 2 = 0$，$\Delta = 4 + 8 = 12 ＞ 0$，有两个实数根。
综上，$m = 3$或$m = -1$。
C

3. 若 $ a ≠ b $，且满足 $ a^{2}-2a = 1 $，$ b^{2}-2b = 1 $，则 $ ab $ 的值为().

A.$ 2 $
B.$ -2 $
C.$ 1 $
D.$ -1 $

3. D

解：由题意知，$a$、$b$是方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的两个不相等的实数根。
根据韦达定理，两根之积$ab = \frac{-1}{1} = -1$。
D

二、填空题
4. 写出两根分别为 $ x_{1} = 3 $，$ x_{2} = -2 $ 的一元二次方程的一般形式：.

4. 答案不唯一，如$x^{2}-x-6=0$

$x^{2}-x-6=0$

5. 如果关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+kx + 8 = 0 $ 的一根是另一根的 $ 2 $ 倍，那么 $ k $ 的值为.

5. $\pm 6$

设方程的两根分别为$x_1$和$x_2$，且$x_1 = 2x_2$。
由韦达定理得：
$x_1 + x_2 = -k$，$x_1x_2 = 8$。
将$x_1 = 2x_2$代入$x_1x_2 = 8$，得：
$2x_2 · x_2 = 8$，即$2x_2^2 = 8$，$x_2^2 = 4$，解得$x_2 = \pm 2$。
当$x_2 = 2$时，$x_1 = 4$，则$x_1 + x_2 = 6 = -k$，$k = -6$；
当$x_2 = -2$时，$x_1 = -4$，则$x_1 + x_2 = -6 = -k$，$k = 6$。
综上，$k = \pm 6$。

6. 甲、乙同时解方程 $ x^{2}+px + q = 0 $.甲抄错了一次项系数，得两根为 $ 2 $ 和 $ 7 $；乙抄错了常数项，得两根为 $ 3 $ 和 $ -10 $.则 $ p $ 的值为，$ q $ 的值为.

6. 7 14

解：对于方程$x^{2}+px + q = 0$，
甲抄错一次项系数，得两根为2和7，根据韦达定理，常数项$q = 2×7 = 14$；
乙抄错常数项，得两根为3和$-10$，根据韦达定理，一次项系数$-p = 3 + (-10)$，即$-p=-7$，解得$p = 7$。
7；14

三、解答题
7. 已知 $ x_{1} $，$ x_{2} $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-2x + a = 0 $ 的两个实数根，且 $ x_{1}+2x_{2} = 5 $.求 $ x_{1} $，$ x_{2} $ 及 $ a $ 的值.

7. $x_{1}=-1$，$x_{2}=3$，$a=-3$

解：因为$x_{1}$，$x_{2}$是方程$x^{2}-2x + a = 0$的两个实数根，所以由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=2$。
已知$x_{1}+2x_{2}=5$，联立方程组$\begin{cases}x_{1}+x_{2}=2\\x_{1}+2x_{2}=5\end{cases}$，用第二个方程减去第一个方程得：$x_{2}=3$。
将$x_{2}=3$代入$x_{1}+x_{2}=2$，得$x_{1}=2 - 3=-1$。
又因为$x_{1}x_{2}=a$，所以$a=x_{1}x_{2}=(-1)×3=-3$。
综上，$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$，$a=-3$。