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8. 求两根分别为下列值的一元二次方程，并化为一般形式：
(1) $ -1 $，$ \dfrac{3}{4} $；
(2) $ \dfrac{1+\sqrt{3}}{2} $，$ \dfrac{1-\sqrt{3}}{2} $.
(1) $ -1 $，$ \dfrac{3}{4} $；
(2) $ \dfrac{1+\sqrt{3}}{2} $，$ \dfrac{1-\sqrt{3}}{2} $.
答案
8. (1)$4x^{2}+x-3=0$ (2)$2x^{2}-2x-1=0$
解析
(1)设一元二次方程为$x^2 + bx + c = 0$，由根与系数的关系得：$-b = -1 + \dfrac{3}{4} = -\dfrac{1}{4}$，$c = (-1) × \dfrac{3}{4} = -\dfrac{3}{4}$，则$b = \dfrac{1}{4}$，方程为$x^2 + \dfrac{1}{4}x - \dfrac{3}{4} = 0$，两边同乘4得$4x^2 + x - 3 = 0$。
(2)设一元二次方程为$x^2 + bx + c = 0$，由根与系数的关系得：$-b = \dfrac{1+\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1-\sqrt{3}}{2} = 1$，$c = \dfrac{1+\sqrt{3}}{2} × \dfrac{1-\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1 - 3}{4} = -\dfrac{1}{2}$，则$b = -1$，方程为$x^2 - x - \dfrac{1}{2} = 0$，两边同乘2得$2x^2 - 2x - 1 = 0$。
(2)设一元二次方程为$x^2 + bx + c = 0$，由根与系数的关系得：$-b = \dfrac{1+\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1-\sqrt{3}}{2} = 1$，$c = \dfrac{1+\sqrt{3}}{2} × \dfrac{1-\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1 - 3}{4} = -\dfrac{1}{2}$，则$b = -1$，方程为$x^2 - x - \dfrac{1}{2} = 0$，两边同乘2得$2x^2 - 2x - 1 = 0$。
9. 是否存在这样一个长方形，它的周长和面积的数值都等于 $ 6 $？若存在，请求出相邻两边的比；若不存在，请说明理由.
答案
9. 不存在. 理由：设长方形的长为$x_{1}$，宽为$x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}=3$，$x_{1}x_{2}=6$，$x_{1}$，$x_{2}$是方程$x^{2}-3x+6=0$的根. 因为$\Delta ＜0$，所以方程无实数根，即$x_{1}$，$x_{2}$不存在
解析
不存在. 理由：设长方形相邻两边长分别为$a$，$b$，则$a + b = 3$，$ab = 6$. $a$，$b$是方程$x^{2}-3x + 6 = 0$的两根. 因为$\Delta=(-3)^{2}-4×1×6=9 - 24=-15＜0$，所以方程无实数根，即不存在这样的长方形.
