5. 探索部分。
(1) 用小棒按下面的方式摆图形，摆第8个图形需要()根小棒，摆第$n$个图形需要()根小棒。

(1)57；7n+1

(1) 观察图形，第1个图形用8根小棒，每增加1个图形增加7根小棒。第n个图形小棒数为8+7(n-1)=7n+1。第8个图形：7×8+1=57。
(2) 图形周期为5（△◯△□□），38÷5=7……3，第3个图形是△；86÷5=17……1，△个数=17×2+1=35。
(4)② 体育馆在文化宫北偏东45°，图上距离约3格，3×100=300米。③ 李小明走60×3=180米，学校到文化宫100米，180-100=80米，在文化宫正东80米。

(2) 找出规律，算一算，再填一填。
$△ ◯ △ □ □ △ ◯ △ □ □ △ ◯ △ □ □ ··· ···$
第38个图形是()。前86个图形中，有()个$△$。

1. 首先，找规律：
观察图形序列$△ ◯ △ □ □ △ ◯ △ □ □ △ ◯ △ □ □······$，可以发现每$5$个图形为一组，即$△ ◯ △ □ □$。
2. 然后，计算第$38$个图形：
用$38$除以每组的个数$5$，$38÷5 = 7······3$。
这意味着前$35$个图形（$7$组），余数是$3$，按照$△ ◯ △ □ □$的顺序，第$3$个图形是$△$。
3. 接着，计算前$86$个图形中$△$的个数：
用$86$除以$5$，$86÷5 = 17······1$。
每组中有$2$个$△$，$17$组中$△$的个数为$17×2$，余下的$1$个图形也是$△$。
所以$△$的总数为$17×2 + 1=34 + 1=35$（个）。
综上，第$38$个图形是$△$；前$86$个图形中，有$35$个$△$。

(3) 动手操作。

① 在图上描出下列点：$A(3, 3)$、$B(3, 5)$、$C(3, 7)$、$D(5, 5)$。
② 依次连接$A \to B \to C \to D \to A$。
③ 把所得的图形绕$A$点顺时针旋转$90^{\circ}$。
④ 把旋转后得到的图形向右平移3格。
⑤ 把平移后得到的图形按$2 : 1$的比放大，画出放大后的图形。

本题是一道操作题，需要根据坐标点的位置关系，按照旋转、平移、放大的规则进行图形变换。
步骤一：描点
根据坐标的定义，在图上找到横坐标为$3$，纵坐标为$3$的点$A$；横坐标为$3$，纵坐标为$5$的点$B$；横坐标为$3$，纵坐标为$7$的点$C$；横坐标为$5$，纵坐标为$5$的点$D$，并进行标记。
步骤二：连线
按照顺序$A \to B \to C \to D \to A$用线段依次连接各点，形成一个封闭图形。
步骤三：旋转
绕$A$点顺时针旋转$90^{\circ}$，根据旋转的性质，旋转后各对应点到旋转中心的距离不变，对应线段的长度不变，对应角的大小不变。以$A$为旋转中心，将$AB$、$AC$、$AD$顺时针旋转$90^{\circ}$，得到新的点$B'$、$C'$、$D'$，并连接各点。

步骤四：平移
把旋转后得到的图形向右平移$3$格，根据平移的性质，图形上的每个点都向右移动$3$个单位长度。将旋转后图形的每个顶点（$A$、$B'$、$C'$、$D'$）的横坐标都加$3$，得到平移后的点$A''$、$B''$、$C''$、$D''$，并连接各点。
步骤五：放大
把平移后得到的图形按$2 : 1$的比放大，根据图形放大的性质，图形的每条边都放大到原来的$2$倍。将平移后图形每个顶点（$A''$、$B''$、$C''$、$D''$）的横、纵坐标都乘以$2$，得到放大后的点$A'''$、$B'''$、$C'''$、$D'''$，并连接各点，画出放大后的图形。
综上，按照上述步骤即可完成操作（由于是图形操作题，无法直接给出具体图形，需根据上述步骤在给定的方格图中进行绘制）。

(4) 海城文化宫周围环境如图所示：

① 文化宫北面300米处有一条商业街与人民路互相平行。在图中画直线表示这条街，并标上“商业街”。
② 体育馆在文化宫()偏()$45^{\circ}$方向大约()米处。
③ 李小明以60米/分的速度从学校沿着人民路向东走，3分钟后他在文化宫正()方向()米处。
④ 苏果超市在文化宫北偏西60度方向400米处。请在图中标出苏果超市的位置。

1. ①：
因为图上$1$厘米代表实际距离$100$米，$300÷100 = 3$厘米。
以文化宫为起点，在北面量取$3$厘米画一条与人民路平行的直线，并标上“商业街”。
2. ②：
答案：北、东、$300$。
3. ③：
李小明走的路程$s=v× t$，已知$v = 60$米/分，$t = 3$分，根据公式$s=60×3=180$米。
从学校到文化宫的距离假设为$100$米（根据图中比例尺估算），$180 - 100=80$米，所以$3$分钟后他在文化宫正东方向$80$米处。
答案：东、$80$。
4. ④：
因为图上$1$厘米代表实际距离$100$米，$400÷100 = 4$厘米。
以文化宫为顶点，向北偏西$60^{\circ}$方向量取$4$厘米确定苏果超市的位置。