5. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD$是边$AB$上的高.求证:
(1) $CD^{2}=AD· BD$;
(2) $BC^{2}=AB· BD$,$AC^{2}=AB· AD$.
(1) $CD^{2}=AD· BD$;
(2) $BC^{2}=AB· BD$,$AC^{2}=AB· AD$.
答案
证明：
(1) ∵ CD是边AB上的高，∠ACB=90°，
∴ ∠ADC=∠CDB=∠ACB=90°，
∵ ∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴ ∠A=∠BCD，
∴ △ADC∽△CDB，
∴ $\frac{CD}{AD}=\frac{BD}{CD}$，
∴ $CD^2=AD·BD$。
(2) ① 证$BC^2=AB·BD$：
∵ ∠B=∠B，∠BDC=∠BCA=90°，
∴ △BCD∽△BAC，
∴ $\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$，
∴ $BC^2=AB·BD$。
② 证$AC^2=AB·AD$：
∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=90°，
∴ △ACD∽△ABC，
∴ $\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
∴ $AC^2=AB·AD$。
(1) ∵ CD是边AB上的高，∠ACB=90°，
∴ ∠ADC=∠CDB=∠ACB=90°，
∵ ∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴ ∠A=∠BCD，
∴ △ADC∽△CDB，
∴ $\frac{CD}{AD}=\frac{BD}{CD}$，
∴ $CD^2=AD·BD$。
(2) ① 证$BC^2=AB·BD$：
∵ ∠B=∠B，∠BDC=∠BCA=90°，
∴ △BCD∽△BAC，
∴ $\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$，
∴ $BC^2=AB·BD$。
② 证$AC^2=AB·AD$：
∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=90°，
∴ △ACD∽△ABC，
∴ $\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
∴ $AC^2=AB·AD$。
6. 如图,在$△ ABC$中,$AC ＜ BC$,在$BC$的延长线上求作一点$D$,使$△ ACD ∽ △ BAD$,并说明理由.
答案
解：
作图：作∠CAD=∠B，交BC的延长线于点D，点D即为所求作的点。
理由：
在△ACD和△BAD中，
∠D = ∠D（公共角），
∠CAD = ∠B（作图所得），
∴△ACD∽△BAD（两角分别相等的两个三角形相似）。
作图：作∠CAD=∠B，交BC的延长线于点D，点D即为所求作的点。
理由：
在△ACD和△BAD中，
∠D = ∠D（公共角），
∠CAD = ∠B（作图所得），
∴△ACD∽△BAD（两角分别相等的两个三角形相似）。
7. 试探究两个等腰三角形相似的条件.
答案
解：设等腰$△ ABC$中，$AB=AC$，等腰$△ A'B'C'$中，$A'B'=A'C'$，分情况讨论：
1. 当$∠ A=∠ A'$时，
$\because AB=AC$，$A'B'=A'C'$，
$\therefore ∠ B=∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}$，$∠ B'=∠ C'=\frac{180°-∠ A'}{2}$，
$\therefore ∠ B=∠ B'$，$∠ C=∠ C'$，
$\therefore △ ABC ∽ △ A'B'C'$（两角分别相等的两个三角形相似）。
2. 当$∠ B=∠ B'$时，
$\because AB=AC$，$A'B'=A'C'$，
$\therefore ∠ B=∠ C$，$∠ B'=∠ C'$，
$\therefore ∠ C=∠ C'$，$∠ A=180°-2∠ B$，$∠ A'=180°-2∠ B'$，
$\therefore ∠ A=∠ A'$，
$\therefore △ ABC ∽ △ A'B'C'$（两角分别相等的两个三角形相似）。
3. 当$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$时，
$\because AB=AC$，$A'B'=A'C'$，
$\therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$，
$\therefore △ ABC ∽ △ A'B'C'$（三边对应成比例的两个三角形相似）。
综上，两个等腰三角形相似的条件为：
① 顶角相等；
② 底角相等；
③ 腰与腰的比等于底边与底边的比（或三边对应成比例）。
1. 当$∠ A=∠ A'$时，
$\because AB=AC$，$A'B'=A'C'$，
$\therefore ∠ B=∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}$，$∠ B'=∠ C'=\frac{180°-∠ A'}{2}$，
$\therefore ∠ B=∠ B'$，$∠ C=∠ C'$，
$\therefore △ ABC ∽ △ A'B'C'$（两角分别相等的两个三角形相似）。
2. 当$∠ B=∠ B'$时，
$\because AB=AC$，$A'B'=A'C'$，
$\therefore ∠ B=∠ C$，$∠ B'=∠ C'$，
$\therefore ∠ C=∠ C'$，$∠ A=180°-2∠ B$，$∠ A'=180°-2∠ B'$，
$\therefore ∠ A=∠ A'$，
$\therefore △ ABC ∽ △ A'B'C'$（两角分别相等的两个三角形相似）。
3. 当$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$时，
$\because AB=AC$，$A'B'=A'C'$，
$\therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$，
$\therefore △ ABC ∽ △ A'B'C'$（三边对应成比例的两个三角形相似）。
综上，两个等腰三角形相似的条件为：
① 顶角相等；
② 底角相等；
③ 腰与腰的比等于底边与底边的比（或三边对应成比例）。
如图6-14,用放大镜把三角形放大了2倍,三角形的边长、周长、角、面积这些量中,
哪些量也放大了2倍?
哪些量也放大了2倍?
答案
解：
放大镜放大后的三角形与原三角形相似，相似比为2:1。
根据相似三角形的性质：
1. 相似三角形对应边的比等于相似比，故三角形的边长放大了2倍；
2. 相似三角形周长的比等于相似比，故三角形的周长放大了2倍；
3. 相似三角形对应角相等，故角的大小不变；
4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方，即面积放大了$2^2=4$倍。
综上，放大了2倍的量是边长和周长。
放大镜放大后的三角形与原三角形相似，相似比为2:1。
根据相似三角形的性质：
1. 相似三角形对应边的比等于相似比，故三角形的边长放大了2倍；
2. 相似三角形周长的比等于相似比，故三角形的周长放大了2倍；
3. 相似三角形对应角相等，故角的大小不变；
4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方，即面积放大了$2^2=4$倍。
综上，放大了2倍的量是边长和周长。
例1 如图6-15,在$△ ABC$和$△ DEF$中,$AB=2DE$,$AC=2DF$,$∠ A=∠ D$,$△ ABC$
的周长是24,面积是24,求$△ DEF$的周长和面积.
解 在$△ ABC$和$△ DEF$中,
$\because AB=2DE$,$AC=2DF$,
$\therefore \dfrac{DE}{AB}=\dfrac{DF}{AC}=\dfrac{1}{2}$.
又 $∠ D=∠ A$,
$\therefore △ DEF ∽ △ ABC$,相似比为$\dfrac{1}{2}$.
$\therefore △ DEF$的周长为$\dfrac{1}{2} × 24=12$,面积为$(\dfrac{1}{2})^{2} × 24=6$.
的周长是24,面积是24,求$△ DEF$的周长和面积.
解 在$△ ABC$和$△ DEF$中,
$\because AB=2DE$,$AC=2DF$,
$\therefore \dfrac{DE}{AB}=\dfrac{DF}{AC}=\dfrac{1}{2}$.
又 $∠ D=∠ A$,
$\therefore △ DEF ∽ △ ABC$,相似比为$\dfrac{1}{2}$.
$\therefore △ DEF$的周长为$\dfrac{1}{2} × 24=12$,面积为$(\dfrac{1}{2})^{2} × 24=6$.
答案
解：
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\because AB=2DE$，$AC=2DF$，
$\therefore \dfrac{DE}{AB}=\dfrac{DF}{AC}=\dfrac{1}{2}$。
又$\because ∠ D=∠ A$，
$\therefore △ DEF ∽ △ ABC$，相似比为$\dfrac{1}{2}$。
$\therefore △ DEF$的周长为$\dfrac{1}{2} × 24=12$，
面积为$(\dfrac{1}{2})^{2} × 24=6$。
答：$△ DEF$的周长是12，面积是6。
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\because AB=2DE$，$AC=2DF$，
$\therefore \dfrac{DE}{AB}=\dfrac{DF}{AC}=\dfrac{1}{2}$。
又$\because ∠ D=∠ A$，
$\therefore △ DEF ∽ △ ABC$，相似比为$\dfrac{1}{2}$。
$\therefore △ DEF$的周长为$\dfrac{1}{2} × 24=12$，
面积为$(\dfrac{1}{2})^{2} × 24=6$。
答：$△ DEF$的周长是12，面积是6。
