(6) 一张矩形纸片对折后得到的矩形与原矩形相似,原矩形纸片的长与宽的比是.
答案
解：设原矩形的长为$ a $，宽为$ b $（$ a ＞ b $）。
对折后得到的矩形的长为$ b $，宽为$ \frac{a}{2} $。
因为对折后的矩形与原矩形相似，所以对应边成比例，即：
$\frac{a}{b} = \frac{b}{\frac{a}{2}}$
化简得：$ a^2 = 2b^2 $
由于$ a,b $均为正数，两边开平方得：$ a = \sqrt{2}b $
因此$\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{2}}{1}$，即原矩形长与宽的比为$\sqrt{2}:1$。
对折后得到的矩形的长为$ b $，宽为$ \frac{a}{2} $。
因为对折后的矩形与原矩形相似，所以对应边成比例，即：
$\frac{a}{b} = \frac{b}{\frac{a}{2}}$
化简得：$ a^2 = 2b^2 $
由于$ a,b $均为正数，两边开平方得：$ a = \sqrt{2}b $
因此$\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{2}}{1}$，即原矩形长与宽的比为$\sqrt{2}:1$。
(7) 下面给出了关于三角形相似的一些命题:① 等边三角形都相似;② 等腰三角形都相似;③ 直角三角形都相似;④ 等腰直角三角形都相似;⑤ 全等三角形都相似.其中,正确的有.
答案
解：
① 等边三角形的三个内角都是60°，根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可知所有等边三角形都相似，故①正确；
② 等腰三角形的顶角和底角不一定对应相等，例如顶角为30°的等腰三角形与顶角为60°的等腰三角形，内角不对应相等，不相似，故②错误；
③ 直角三角形只有直角相等，其余两个锐角不一定对应相等，例如含30°锐角的直角三角形与含45°锐角的直角三角形，内角不对应相等，不相似，故③错误；
④ 等腰直角三角形的三个内角分别为90°、45°、45°，根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可知所有等腰直角三角形都相似，故④正确；
⑤ 全等三角形的对应角相等，对应边成比例（相似比为1），满足相似三角形的定义，故全等三角形都相似，⑤正确。
综上，正确的有①④⑤。
① 等边三角形的三个内角都是60°，根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可知所有等边三角形都相似，故①正确；
② 等腰三角形的顶角和底角不一定对应相等，例如顶角为30°的等腰三角形与顶角为60°的等腰三角形，内角不对应相等，不相似，故②错误；
③ 直角三角形只有直角相等，其余两个锐角不一定对应相等，例如含30°锐角的直角三角形与含45°锐角的直角三角形，内角不对应相等，不相似，故③错误；
④ 等腰直角三角形的三个内角分别为90°、45°、45°，根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可知所有等腰直角三角形都相似，故④正确；
⑤ 全等三角形的对应角相等，对应边成比例（相似比为1），满足相似三角形的定义，故全等三角形都相似，⑤正确。
综上，正确的有①④⑤。
2. 根据下列图中所注的条件,判断图中两个三角形是否相似,并求出$x$和$y$的值.
答案
解：
（1）在$△ FGH$和$△ JIH$中，
$\because ∠ G=∠ I=90°$，$∠ 1=∠ 2$，
$\therefore △ FGH ∽ △ JIH$，
$\therefore \frac{FG}{JI}=\frac{GH}{IH}=\frac{FH}{JH}$，
将$FG=3$，$JI=6$，$GH=x$，$IH=8$，$FH=5$，$JH=y$代入得：
$\frac{3}{6}=\frac{x}{8}=\frac{5}{y}$，
解得$x=4$，$y=10$。
（2）$\because ∠ FHK=∠ GHJ$，
$\therefore ∠ FHK+∠ KHG=∠ GHJ+∠ KHG$，即$∠ FHG=∠ JHK$，
又$\frac{FH}{JH}=\frac{72}{48}=\frac{3}{2}$，$\frac{GH}{KH}=\frac{48}{32}=\frac{3}{2}$，
$\therefore \frac{FH}{JH}=\frac{GH}{KH}$，
$\therefore △ FHG ∽ △ JHK$，
$\therefore ∠ K=∠ G=124°$，$\frac{FG}{KJ}=\frac{FH}{JH}$，
即$x=124$，$\frac{y}{22}=\frac{3}{2}$，
解得$y=33$。
答：（1）$△ FGH$与$△ JIH$相似，$x=4$，$y=10$；（2）$△ FHG$与$△ JHK$相似，$x=124$，$y=33$。
（1）在$△ FGH$和$△ JIH$中，
$\because ∠ G=∠ I=90°$，$∠ 1=∠ 2$，
$\therefore △ FGH ∽ △ JIH$，
$\therefore \frac{FG}{JI}=\frac{GH}{IH}=\frac{FH}{JH}$，
将$FG=3$，$JI=6$，$GH=x$，$IH=8$，$FH=5$，$JH=y$代入得：
$\frac{3}{6}=\frac{x}{8}=\frac{5}{y}$，
解得$x=4$，$y=10$。
（2）$\because ∠ FHK=∠ GHJ$，
$\therefore ∠ FHK+∠ KHG=∠ GHJ+∠ KHG$，即$∠ FHG=∠ JHK$，
又$\frac{FH}{JH}=\frac{72}{48}=\frac{3}{2}$，$\frac{GH}{KH}=\frac{48}{32}=\frac{3}{2}$，
$\therefore \frac{FH}{JH}=\frac{GH}{KH}$，
$\therefore △ FHG ∽ △ JHK$，
$\therefore ∠ K=∠ G=124°$，$\frac{FG}{KJ}=\frac{FH}{JH}$，
即$x=124$，$\frac{y}{22}=\frac{3}{2}$，
解得$y=33$。
答：（1）$△ FGH$与$△ JIH$相似，$x=4$，$y=10$；（2）$△ FHG$与$△ JHK$相似，$x=124$，$y=33$。
3. 如图,在$△ ABC$中,$CD$是边$AB$上的高,且$\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{CD}{BD}$,求$∠ ACB$的大小.
答案
解：
∵ CD是边AB上的高，
∴ ∠ADC=∠CDB=90°。
又∵ $\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{CD}{BD}$，
∴ △ADC∽△CDB（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
∴ ∠A=∠BCD。
∵ 在Rt△ADC中，∠A+∠ACD=90°，
∴ ∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°。
∵ CD是边AB上的高，
∴ ∠ADC=∠CDB=90°。
又∵ $\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{CD}{BD}$，
∴ △ADC∽△CDB（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
∴ ∠A=∠BCD。
∵ 在Rt△ADC中，∠A+∠ACD=90°，
∴ ∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°。
4. 如图,$CD$是$\odot O$的弦,$AB$是直径,$CD ⊥ AB$,垂足为$P$.
求证:$PC^{2}=PA· PB$.
求证:$PC^{2}=PA· PB$.
答案
证明：
连接AC、BC。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°。
∵CD⊥AB，垂足为P，
∴∠APC=∠CPB=90°，
∴∠A+∠ACP=90°，
∴∠ACP=∠B。
在△APC和△CPB中，
$\{\begin{array}{l}∠APC=∠CPB\\∠ACP=∠B\end{array} $
∴△APC∽△CPB。
∴$\frac{PA}{PC}=\frac{PC}{PB}$，
∴$PC^2=PA·PB$。
连接AC、BC。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°。
∵CD⊥AB，垂足为P，
∴∠APC=∠CPB=90°，
∴∠A+∠ACP=90°，
∴∠ACP=∠B。
在△APC和△CPB中，
$\{\begin{array}{l}∠APC=∠CPB\\∠ACP=∠B\end{array} $
∴△APC∽△CPB。
∴$\frac{PA}{PC}=\frac{PC}{PB}$，
∴$PC^2=PA·PB$。
5. 如图,在正方形$ABCD$中,点$E$在$CD$上,$CE=\dfrac{1}{4}CD$,点$P$在$BC$上.试求出点$P$满足什么条件时,$△ ABP$与$△ PCE$相似.
答案
解：设正方形$ABCD$的边长为$4a$，则$AB=BC=CD=4a$，$CE=\dfrac{1}{4}CD=a$，$∠ B=∠ C=90°$。
分两种情况讨论：
1. 当$△ ABP ∽ △ PCE$时，
$\dfrac{AB}{PC}=\dfrac{BP}{CE}$，
即$\dfrac{4a}{4a - BP}=\dfrac{BP}{a}$，
交叉相乘得：$4a^2=BP(4a - BP)$，
整理得：$BP^2 -4a· BP +4a^2=0$，
即$(BP - 2a)^2=0$，
解得$BP=2a$，即$BP=\dfrac{1}{2}BC$。
2. 当$△ ABP ∽ △ ECP$时，
$\dfrac{AB}{EC}=\dfrac{BP}{CP}$，
即$\dfrac{4a}{a}=\dfrac{BP}{4a - BP}$，
化简得：$4=\dfrac{BP}{4a - BP}$，
交叉相乘得：$16a -4BP=BP$，
解得$BP=\dfrac{16}{5}a$，即$BP=\dfrac{4}{5}BC$。
综上，当$BP=\dfrac{1}{2}BC$或$BP=\dfrac{4}{5}BC$时，$△ ABP$与$△ PCE$相似。
分两种情况讨论：
1. 当$△ ABP ∽ △ PCE$时，
$\dfrac{AB}{PC}=\dfrac{BP}{CE}$，
即$\dfrac{4a}{4a - BP}=\dfrac{BP}{a}$，
交叉相乘得：$4a^2=BP(4a - BP)$，
整理得：$BP^2 -4a· BP +4a^2=0$，
即$(BP - 2a)^2=0$，
解得$BP=2a$，即$BP=\dfrac{1}{2}BC$。
2. 当$△ ABP ∽ △ ECP$时，
$\dfrac{AB}{EC}=\dfrac{BP}{CP}$，
即$\dfrac{4a}{a}=\dfrac{BP}{4a - BP}$，
化简得：$4=\dfrac{BP}{4a - BP}$，
交叉相乘得：$16a -4BP=BP$，
解得$BP=\dfrac{16}{5}a$，即$BP=\dfrac{4}{5}BC$。
综上，当$BP=\dfrac{1}{2}BC$或$BP=\dfrac{4}{5}BC$时，$△ ABP$与$△ PCE$相似。
