5. 已知一次函数 $ y = 2x + 4 $ 的图象分别交 $ x $ 轴、$ y $ 轴于 $ A $，$ B $ 两点，若这个一次函数的图象与一个反比例函数的图象在第一象限交于点 $ C $，且 $ AB = 2BC $，则这个反比例函数的表达式为。

5. $y=\frac{6}{x}$

6. 如图，已知双曲线 $ y = \frac{k}{x} $ 与直线 $ y = -x + 6 $ 相交于 $ A $，$ B $ 两点，过点 $ A $ 作 $ x $ 轴的垂线与过点 $ B $ 作 $ y $ 轴的垂线相交于点 $ C $，若 $ △ ABC $ 的面积为 $ 8 $，则 $ k $ 的值为。

6. 5

7. 如图，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，一次函数 $ y = -ax + b $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象相交于点 $ A(-4, -2) $，$ B(m, 4) $，与 $ y $ 轴相交于点 $ C $。
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求点 $ C $ 的坐标及 $ △ AOB $ 的面积。
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7. 解：(1)$∵$点 $A(-4,-2)$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象上，$∴k=-4×(-2)=8$，$∴$反比例函数的表达式为 $y=\frac{8}{x}$．$∵$点 $B(m,4)$ 在反比例函数 $y=\frac{8}{x}$ 的图象上，$∴4m=8$，解得 $m=2$，$∴$点 $B$ 的坐标为 $(2,4)$．将点 $A(-4,-2)$，$B(2,4)$ 的坐标分别代入 $y=-ax+b$ 中，得 $\begin{cases}-2=4a+b,\\4=-2a+b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-1,\\b=2,\end{cases}$ $∴$一次函数的表达式为 $y=x+2$．
(2)令 $y=x+2$ 中 $x=0$，则 $y=2$，$∴$点 $C$ 的坐标为 $(0,2)$．$∴S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OC·(x_{B}-x_{A})=\frac{1}{2}×2×[2-(-4)]=6$．

1. 反比例函数 $ y = \dfrac{k_{1}}{x}(k_{1} ≠ 0) $ 与正比例函数 $ y = k_{2}x(k_{2} ≠ 0) $ 图象的交点问题：
① 当 $ k_{1} · k_{2} $ 时，两函数的图象有两个交点，且这两个点关于原点中心对称。
② 当 $ k_{1} · k_{2} $ 时，两函数的图象没有交点。
2. 反比例函数 $ y = \dfrac{k_{1}}{x}(k_{1} ≠ 0) $ 与一次函数 $ y = k_{2}x + b(k_{2} ≠ 0) $ 图象的交点问题：
① 先联立两个方程得到方程组 。
② 变形得到一个关于 $ x $ 的一元二次方程 。
③ 判断上面方程中 $ \Delta $ 的符号，从而确定交点个数及交点坐标。当 $ \Delta ＞ 0 $ 时，两函数图象有 个交点；当 $ \Delta = 0 $ 时，两函数图象有 个交点；当 $ \Delta ＜ 0 $ 时，两函数图象 交点。

知识梳理
1. ＞0 ＜0
2. ①$\begin{cases}y=\dfrac{k_{1}}{x},\\y=k_{2}x+b\end{cases}$ ②$k_{2}x^{2}+bx-k_{1}=0$ ③两 一 无