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2. 在如图的网格中按要求画图.
（1）把$△ ABC$向右平移5格，再向下平移2格，画出所得$△ A_1B_1C_1$.
（2）画$△ D_1E_1F_1$，使得它与$△ DEF$关于直线$MN$对称.
（3）画出$△ A_1B_1C_1$与$△ D_1E_1F_1$的对称轴直线$l$.
（1）把$△ ABC$向右平移5格，再向下平移2格，画出所得$△ A_1B_1C_1$.
（2）画$△ D_1E_1F_1$，使得它与$△ DEF$关于直线$MN$对称.
（3）画出$△ A_1B_1C_1$与$△ D_1E_1F_1$的对称轴直线$l$.
答案
2. 解：（1）如图，△A₁B₁C₁即为所求.
（2）如图，△D₁E₁F₁即为所求.
（3）如图，直线l即为所求。
解析
【分析】
本题是网格中的图形变换作图题，可分三步思考：
1. 平移作图：根据平移的性质，图形平移时所有顶点的平移方向和距离都相同，只需先将△ABC的三个顶点分别按“向右平移5格，再向下平移2格”的规则找到对应点，再顺次连接即可得到平移后的图形。
2. 轴对称作图：关于直线对称的两个图形，对应点的连线被对称轴垂直平分，因此只需先找到△DEF各顶点关于直线MN的对称点，再顺次连接对称点即可得到对称图形。
3. 画两个图形的对称轴：两个成轴对称的图形的对称轴是任意两组对应点连线的垂直平分线，找到两组对应点，确定它们连线的中点，过两个中点画直线即为所求对称轴。
【解析】
（1）平移作图步骤：
① 标记△ABC的三个顶点A、B、C；
② 将点A向右数5格，再向下数2格，得到对应点A₁，用相同方法分别得到点B、C的对应点B₁、C₁；
③ 按顺序连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，所得△A₁B₁C₁即为平移后的图形。
（2）轴对称作图步骤：
① 标记△DEF的三个顶点D、E、F；
② 分别过点D作直线MN的垂线，测量点D到MN的水平距离，在MN右侧相同距离处得到点D的对称点D₁，用相同方法得到E、F的对称点E₁、F₁；
③ 按顺序连接D₁E₁、E₁F₁、F₁D₁，所得△D₁E₁F₁即为关于MN对称的图形。
（3）画对称轴步骤：
① 找到△A₁B₁C₁和△D₁E₁F₁的两组对应点，分别找到两组对应点连线的中点；
② 过两个中点作直线l，该直线即为两个三角形的对称轴。
【答案】
2. 解：（1）如图，△A₁B₁C₁即为所求.
（2）如图，△D₁E₁F₁即为所求.
（3）如图，直线l即为所求。
【知识点】
平移作图，轴对称作图，对称轴的画法
【点评】
本题属于基础作图类习题，重点考查平移、轴对称的基本性质的应用，要求学生熟练掌握图形变换的作图规则，细心操作即可完成，能有效巩固图形变换的相关作图技能。
【难度系数】
0.8
本题是网格中的图形变换作图题，可分三步思考：
1. 平移作图：根据平移的性质，图形平移时所有顶点的平移方向和距离都相同，只需先将△ABC的三个顶点分别按“向右平移5格，再向下平移2格”的规则找到对应点，再顺次连接即可得到平移后的图形。
2. 轴对称作图：关于直线对称的两个图形，对应点的连线被对称轴垂直平分，因此只需先找到△DEF各顶点关于直线MN的对称点，再顺次连接对称点即可得到对称图形。
3. 画两个图形的对称轴：两个成轴对称的图形的对称轴是任意两组对应点连线的垂直平分线，找到两组对应点，确定它们连线的中点，过两个中点画直线即为所求对称轴。
【解析】
（1）平移作图步骤：
① 标记△ABC的三个顶点A、B、C；
② 将点A向右数5格，再向下数2格，得到对应点A₁，用相同方法分别得到点B、C的对应点B₁、C₁；
③ 按顺序连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，所得△A₁B₁C₁即为平移后的图形。
（2）轴对称作图步骤：
① 标记△DEF的三个顶点D、E、F；
② 分别过点D作直线MN的垂线，测量点D到MN的水平距离，在MN右侧相同距离处得到点D的对称点D₁，用相同方法得到E、F的对称点E₁、F₁；
③ 按顺序连接D₁E₁、E₁F₁、F₁D₁，所得△D₁E₁F₁即为关于MN对称的图形。
（3）画对称轴步骤：
① 找到△A₁B₁C₁和△D₁E₁F₁的两组对应点，分别找到两组对应点连线的中点；
② 过两个中点作直线l，该直线即为两个三角形的对称轴。
【答案】
2. 解：（1）如图，△A₁B₁C₁即为所求.
（2）如图，△D₁E₁F₁即为所求.
（3）如图，直线l即为所求。
【知识点】
平移作图，轴对称作图，对称轴的画法
【点评】
本题属于基础作图类习题，重点考查平移、轴对称的基本性质的应用，要求学生熟练掌握图形变换的作图规则，细心操作即可完成，能有效巩固图形变换的相关作图技能。
【难度系数】
0.8
3. (1) 如图1，在$△ ABC$中，直线$ME$垂直平分$AB$，分别交$AB$，$BC$于点$E$，$M$，直线$NF$垂直平分$AC$，分别交$AC$，$BC$于点$F$，$N$. 求证：$△ AMN$的周长等于$BC$的长.
(2) 如图2，在$∠ AOB$的内部有一定点$P$，试在$OA$，$OB$上确定$C$，$D$两点，使$△ PCD$的周长最短.(保留作图痕迹，不写作法)
(2) 如图2，在$∠ AOB$的内部有一定点$P$，试在$OA$，$OB$上确定$C$，$D$两点，使$△ PCD$的周长最短.(保留作图痕迹，不写作法)
答案
3. (1) 证明：
∵直线ME为线段AB的垂直平分线，NF为AC的垂直平分线，
∴AM=BM，AN=CN.
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=BM+MN+CN=BC.
(2) 解：在OA，OB上确定C，D两点，使△PCD的周长最短，如图所示。
解析
【分析】
(1) 第一小问解题思路：题目给出两条线段的垂直平分线，可直接关联线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。利用该性质得到AM=BM、AN=CN，再将△AMN周长中的线段做等量替换，即可推导出周长和BC的关系。
(2) 第二小问解题思路：要使△PCD周长最短，即PC+CD+PD的和最小。可利用轴对称的性质，分别作点P关于OA、OB的对称点，将PC、PD转化为对称点到C、D的线段长度，此时三条线段的和可转化为两个对称点之间的线段长，依据“两点之间线段最短”，两个对称点连线与OA、OB的交点即为所求的C、D。
【解析】
(1) 证明：
∵ 直线ME是AB的垂直平分线，直线NF是AC的垂直平分线，
∴ 根据线段垂直平分线的性质可得：$AM=BM$，$AN=CN$。
△AMN的周长为 $AM+MN+AN$，
将$AM$替换为$BM$，$AN$替换为$CN$，可得：
$△AMN的周长=BM+MN+CN=BC$，即得证。
(2) 作图逻辑：分别作点P关于OA的对称点、关于OB的对称点，连接两个对称点，线段与OA的交点为C，与OB的交点为D，此时△PCD的周长最短。
【答案】
(1) 证明：
∵直线ME为线段AB的垂直平分线，NF为AC的垂直平分线，
∴$AM=BM$，$AN=CN$.
∴$△AMN$的周长$=AM+MN+AN=BM+MN+CN=BC$.
(2) 在$OA$，$OB$上确定$C$，$D$两点，使$△PCD$的周长最短，如图所示。
【知识点】
线段垂直平分线性质，轴对称应用，最短路径问题
【点评】
本题包含证明和作图两类题型，第一小问侧重基础性质的应用，通过等量代换即可完成推导；第二小问是轴对称解决最短路径问题的典型考法，核心是通过对称将折线段的最值转化为两点间线段长度求解，整体侧重对基础方法的掌握考查。
【难度系数】
0.8
(1) 第一小问解题思路：题目给出两条线段的垂直平分线，可直接关联线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。利用该性质得到AM=BM、AN=CN，再将△AMN周长中的线段做等量替换，即可推导出周长和BC的关系。
(2) 第二小问解题思路：要使△PCD周长最短，即PC+CD+PD的和最小。可利用轴对称的性质，分别作点P关于OA、OB的对称点，将PC、PD转化为对称点到C、D的线段长度，此时三条线段的和可转化为两个对称点之间的线段长，依据“两点之间线段最短”，两个对称点连线与OA、OB的交点即为所求的C、D。
【解析】
(1) 证明：
∵ 直线ME是AB的垂直平分线，直线NF是AC的垂直平分线，
∴ 根据线段垂直平分线的性质可得：$AM=BM$，$AN=CN$。
△AMN的周长为 $AM+MN+AN$，
将$AM$替换为$BM$，$AN$替换为$CN$，可得：
$△AMN的周长=BM+MN+CN=BC$，即得证。
(2) 作图逻辑：分别作点P关于OA的对称点、关于OB的对称点，连接两个对称点，线段与OA的交点为C，与OB的交点为D，此时△PCD的周长最短。
【答案】
(1) 证明：
∵直线ME为线段AB的垂直平分线，NF为AC的垂直平分线，
∴$AM=BM$，$AN=CN$.
∴$△AMN$的周长$=AM+MN+AN=BM+MN+CN=BC$.
(2) 在$OA$，$OB$上确定$C$，$D$两点，使$△PCD$的周长最短，如图所示。
【知识点】
线段垂直平分线性质，轴对称应用，最短路径问题
【点评】
本题包含证明和作图两类题型，第一小问侧重基础性质的应用，通过等量代换即可完成推导；第二小问是轴对称解决最短路径问题的典型考法，核心是通过对称将折线段的最值转化为两点间线段长度求解，整体侧重对基础方法的掌握考查。
【难度系数】
0.8
4. 如图，直线 DE 与直线 DF 交于点 D，△ABC 与△A'B'C'关于直线 DE 对称.
(1) 作△A'B'C 关于直线 DF 对称的△A''B''C''.
(2) 试探索∠BDB''与∠EDF之间的关系，并加以证明.
(1) 作△A'B'C 关于直线 DF 对称的△A''B''C''.
(2) 试探索∠BDB''与∠EDF之间的关系，并加以证明.
答案
4. 解：（1）如图，△A''B''C''为所求. （2）∠BDB''=2∠EDF. 理由如下：
∵△ABC与△A'B'C'关于DE对称.
∴∠BDE=∠B'DE.
∵△A'B'C'与△A''B''C''关于DF对称，
∴∠B'DG=∠B''DG，
∴∠BDB''=360°-(∠BDE+∠B'DE+∠B'DG+∠B''DG)=360°-(2∠B'DE+2∠B'DG)=360°-2∠EDG=360°-2(180°-∠EDF)=2∠EDF。
解析
【分析】
(1) 要作△A'B'C'关于直线DF对称的△A''B''C''，依据轴对称图形的画法要求，只需先分别找出△A'B'C'的三个顶点A'、B'、C'关于直线DF的对称点A''、B''、C''，再顺次连接这三个对称点，就能得到所求的对称图形。
(2) 探究∠BDB''与∠EDF的关系时，首先利用轴对称的核心性质：轴对称图形中，对称轴平分对应点与对称轴的夹角，可得∠BDE=∠B'DE，∠B'DF=∠B''DF，再结合周角、平角的定义，对∠BDB''做和差转化，即可推导出两个角的数量关系。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 分别过点A'、B'、C'作直线DF的垂线，确定垂足；
② 分别延长三条垂线到直线DF的另一侧，使延长部分的长度等于对应点到垂足的距离，得到对称点A''、B''、C''；
③ 顺次连接A''B''、B''C''、C''A''，得到的△A''B''C''即为所求。
(2) ∠BDB''=2∠EDF，证明如下：
∵△ABC与△A'B'C'关于直线DE对称，
∴∠BDE=∠B'DE。
∵△A'B'C'与△A''B''C''关于直线DF对称，
∴∠B'DF=∠B''DF。
∴∠BDB''=360°-(∠BDE+∠B'DE+∠B'DF+∠B''DF)
=360°-(2∠B'DE+2∠B'DF)
=360°-2(∠B'DE+∠B'DF)
又
∵∠B'DE+∠B'DF=180°-∠EDF，
∴∠BDB''=360°-2(180°-∠EDF)=2∠EDF。
【答案】
（1）如图，△A''B''C''为所求。
（2）∠BDB''=2∠EDF，理由见解析。
【知识点】
作轴对称图形；轴对称的性质；角的和差计算
【点评】
本题是轴对称章节的基础典型题，作图部分考察对称点的标准作法，角度推导部分重点考察对轴对称性质的理解，解题的核心是利用轴对称得到相等的角，再结合周角、平角的定义完成角的转化。
【难度系数】
0.7
(1) 要作△A'B'C'关于直线DF对称的△A''B''C''，依据轴对称图形的画法要求，只需先分别找出△A'B'C'的三个顶点A'、B'、C'关于直线DF的对称点A''、B''、C''，再顺次连接这三个对称点，就能得到所求的对称图形。
(2) 探究∠BDB''与∠EDF的关系时，首先利用轴对称的核心性质：轴对称图形中，对称轴平分对应点与对称轴的夹角，可得∠BDE=∠B'DE，∠B'DF=∠B''DF，再结合周角、平角的定义，对∠BDB''做和差转化，即可推导出两个角的数量关系。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 分别过点A'、B'、C'作直线DF的垂线，确定垂足；
② 分别延长三条垂线到直线DF的另一侧，使延长部分的长度等于对应点到垂足的距离，得到对称点A''、B''、C''；
③ 顺次连接A''B''、B''C''、C''A''，得到的△A''B''C''即为所求。
(2) ∠BDB''=2∠EDF，证明如下：
∵△ABC与△A'B'C'关于直线DE对称，
∴∠BDE=∠B'DE。
∵△A'B'C'与△A''B''C''关于直线DF对称，
∴∠B'DF=∠B''DF。
∴∠BDB''=360°-(∠BDE+∠B'DE+∠B'DF+∠B''DF)
=360°-(2∠B'DE+2∠B'DF)
=360°-2(∠B'DE+∠B'DF)
又
∵∠B'DE+∠B'DF=180°-∠EDF，
∴∠BDB''=360°-2(180°-∠EDF)=2∠EDF。
【答案】
（1）如图，△A''B''C''为所求。
（2）∠BDB''=2∠EDF，理由见解析。
【知识点】
作轴对称图形；轴对称的性质；角的和差计算
【点评】
本题是轴对称章节的基础典型题，作图部分考察对称点的标准作法，角度推导部分重点考察对轴对称性质的理解，解题的核心是利用轴对称得到相等的角，再结合周角、平角的定义完成角的转化。
【难度系数】
0.7
