5. (2025·兰州) “三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法. 某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下：
操作步骤与演示图形
如图1，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线$ l_1 $构成的锐角$ α $. 按照以下步骤进行操作：
第一步：任意折出一条水平折痕$ l_2 $，$ l_2 $与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与$ l_2 $重合得到折痕$ l_3 $，$ l_3 $与纸片左边交点为N，如图2.
第二步：折叠使点Q，P分别落在$ l_1 $和$ l_3 $上，得到折痕m，对应点为Q'，P'，m交$ l_3 $于点M，如图3，图4.
第三步：保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕$ l_4 $的一部分，如图5.
第四步：将纸片展开，再沿$ l_4 $折叠得到经过点P的完整折痕$ l_4 $，如图6.
第五步：将纸片折叠使边PK与$ l_4 $重合，折痕为$ l_5 $，则直线$ l_4 $和$ l_5 $就是锐角$ α $的三等分线，如图7，图8.
图3 图4 图5 图6 图7
解决问题
(1) 请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务. (保留作图痕迹，不写作法)
任务一：在图3中，利用已给定的点Q'作出点P'.
任务二：在图6中作出折痕$ l_5 $.
(2) 若锐角$ α $为$ 75° $，则图5中$ l_2 $与$ l_4 $相交所成的锐角的度数是.

5. 解：（1）任务一：如图1，点P'为所求。
任务二：如图2，折痕$ l_5 $为所求。
（2）如图3，由题意，可知$ l_4 $，$ l_5 $是$ ∠α $的三等分线，
∴$ ∠CPK = \frac{2}{3} ∠α = \frac{2}{3} ×75°=50° $，
∵$ l_2 // PK $，
∴$ ∠CDE=∠CPK=50° $，
∴$ l_2 $与$ l_4 $相交所成的锐角是$ 50° $. 故答案为$ 50° $。

【分析】
（1）任务一：根据折叠的轴对称性质，折痕m是折叠前后对应点连线的垂直平分线，已知Q的对应点为Q'，点P的对应点P'在l₃上，只需作点P关于折痕m的对称点，且保证该点落在l₃上即可得到P'；任务二：折叠使PK与l₄重合，折痕l₄就是PK与l₁夹角的角平分线，按照角平分线的尺规作图方法即可作出l₅。
（2）首先根据题意明确l₄、l₅是锐角α的三等分线，先计算出l₄与PK的夹角度数，再结合l₂与PK平行的性质，利用平行线同位角相等的规律，即可求出l₂与l₄相交所成的锐角度数。
【解析】
（1）任务一：利用轴对称对应点连线被折痕垂直平分的性质，作出点P关于折痕m的对称点，且该点落在l₃上，即为所求P'，保留作图痕迹；任务二：作l₄与PK夹角的角平分线，即为所求折痕l₅，保留作图痕迹。
（2）由操作结论可知，直线$l_4$和$l_5$是锐角$α$的三等分线，因此$l_4$与$PK$的夹角为$\frac{2}{3}α$：
当$α=75°$时，该夹角的度数为$\frac{2}{3}×75°=50°$；
由折叠操作可知$l_2$是水平折痕，与正方形水平边$PK$平行，即$l_2 // PK$；
根据平行线同位角相等的性质，$l_2$与$l_4$相交所成的锐角和$l_4$与$PK$的夹角相等，因此所求角度为$50°$。
【答案】
（1）任务一：如图1，点$P'$为所求。
任务二：如图2，折痕$l_5$为所求。
（2）$50°$
【知识点】
轴对称的性质，平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题以经典的“三等分角”问题为背景，结合折纸操作考查了几何基础性质和作图能力，将实践操作与逻辑推理结合，能较好地考查学生对几何变换相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.6