2. 如图,点C是线段AB的中点,则有:
$AC = CB =$ $AB,AC + CB =$ ,
$AB =$ $AC =$ $CB.$

解：
根据线段中点的定义可得：
$AC = CB = \boldsymbol{\frac{1}{2}}AB$，$AC + CB = \boldsymbol{AB}$，
$AB = \boldsymbol{2}AC = \boldsymbol{2}CB$。

【分析】
本题考查线段中点的相关计算，解题核心是掌握线段中点的定义：点C是线段AB的中点时，它将AB分成两条长度相等的线段。我们可以依据这个定义推导AC、CB与AB的数量关系：首先两段相等可知每段是总长的一半，再根据线段和的含义得到两段之和为总长，反过来总长就是单段长度的2倍，依次填入对应空即可。
【解析】
根据线段中点的定义可知：
点C是线段AB的中点，说明C把AB分为长度相等的两段AC和CB，因此$AC=CB=\frac{1}{2}AB$；
AC和CB是组成AB的两部分，根据线段和的意义可得$AC+CB=AB$；
将上述式子变形可得到总长度和单段的关系：$AB=2AC=2CB$。
【答案】
$\frac{1}{2}$；$AB$；$2$；$2$
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差运算
【点评】
本题是基础概念题，侧重对线段中点性质的直接考查，牢记相关定义就能轻松得分。
【难度系数】
0.9

3. 如图,点A,B,E,C,D在同一直线上,且$AC = BD$,点E是BC的中点,那么点E是AD的中点吗?为什么?

解：点E是AD的中点，理由如下：
因为点A,B,E,C,D在同一直线上，
所以 $AC = AB + BC$，$BD = CD + BC$。
又因为 $AC = BD$，
所以 $AB + BC = CD + BC$，
所以 $AB = CD$。
因为点E是BC的中点，
所以 $BE = EC$。
所以 $AB + BE = CD + EC$，即 $AE = ED$。
又因为点E在线段AD上，
所以点E是AD的中点。

【分析】
要判断点E是否为AD的中点，依据线段中点的定义，只需证明AE=ED即可。首先从已知条件AC=BD入手，AC和BD都包含公共线段BC，根据线段和的关系，两边同时减去BC可推出AB=CD；再结合E是BC中点的条件得到BE=EC；最后根据等式的性质，将两组相等的线段分别相加，即可得到AE=ED，从而证明E是AD的中点。
【解析】
点E是AD的中点，理由如下：
因为点A,B,E,C,D在同一直线上，
所以 $AC = AB + BC$，$BD = CD + BC$。
又因为 $AC = BD$，
所以 $AB + BC = CD + BC$，
所以 $AB = CD$。
因为点E是BC的中点，
所以 $BE = EC$。
所以 $AB + BE = CD + EC$，即 $AE = ED$。
又因为点E在线段AD上，
所以点E是AD的中点。
【答案】
点E是AD的中点，理由如下：因为点A,B,E,C,D在同一直线上，所以 $AC = AB + BC$，$BD = CD + BC$。又因为 $AC = BD$，所以 $AB + BC = CD + BC$，所以 $AB = CD$。因为点E是BC的中点，所以 $BE = EC$。所以 $AB + BE = CD + EC$，即 $AE = ED$。又因为点E在线段AD上，所以点E是AD的中点。
【知识点】
线段的和差运算、线段中点的定义、等量代换
【点评】
本题是线段运算的基础典型题，解题核心是利用公共线段作为桥梁，结合线段和差关系、中点性质和等式性质推导待证线段相等，能帮助学生巩固线段相关基础概念，掌握线段相等的证明思路。
【难度系数】
0.8

如图,已知线段a,b,作一条线段,使它等于2a−b.

解：
作法：
(1) 作射线AM；
(2) 在射线AM上顺次截取AB = a，BC = a，得到线段AC = 2a；
(3) 在线段AC上，从点C向点A方向截取CD = b。
则线段AD就是所求作的线段，AD = 2a - b。

【分析】
要作出长度为2a−b的线段，首先明确线段和、差的作图逻辑：求线段的和时，在射线上沿同一方向顺次截取对应长度的线段即可；求线段的差时，需要先得到较长的线段，再在较长线段上向起点方向截取较短线段，剩余部分就是差值。因此我们先构造出长度为2a的线段，再从中截去长度为b的部分，就能得到所求线段。
【解析】
按照如下步骤作图：
(1) 作射线AM；
(2) 在射线AM上顺次截取AB = a，BC = a，此时AC = AB+BC = 2a；
(3) 在线段AC上，从点C向点A方向截取CD = b。
则线段AD即为所求作的线段，AD = AC - CD = 2a - b。
【答案】
作法：
(1) 作射线AM；
(2) 在射线AM上顺次截取AB = a，BC = a，得到线段AC = 2a；
(3) 在线段AC上，从点C向点A方向截取CD = b。
线段AD就是所求作的线段。
【知识点】
尺规作线段，线段的和差运算
【点评】
本题是线段和差作图的基础题，核心是掌握线段和、差对应的作图方向：求和沿同一方向顺次截取，求差在长线段上反向截取，作图时注意截取的位置和方向即可正确解题。
【难度系数】
0.8

1. 两点间的距离是指()

A.连接两点的线段
B.连接两点的直线的长度
C.连接两点的线段的长度
D.连接两点的直线

1.C

【分析】
解题时首先回忆两点间距离的定义，再逐一辨析选项：首先明确直线是无限延伸的，不存在固定长度，因此直接排除涉及直线长度或把直线当距离的选项；再区分“线段（图形）”和“线段的长度（数值）”，距离是表示长度的数值，不是图形本身，据此就能选出正确选项。
【解析】
根据两点间距离的定义：连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，对各选项分析如下：
A. 连接两点的线段是几何图形，不是长度，不符合距离的定义，错误；
B. 直线是无限延伸的，没有固定长度，该说法本身错误；
C. 连接两点的线段的长度，完全符合两点间距离的定义，正确；
D. 连接两点的直线是无限长的几何图形，不是距离，错误。
【答案】
C
【知识点】
两点间的距离定义；线段与直线的区别
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对两点间距离定义的准确理解，易错点是容易混淆线段（图形）和线段的长度（数量），以及忽略直线无固定长度的特点，只要记牢相关基础概念就能轻松解答。
【难度系数】
0.9

2.如图,由A到B有(1)(2)(3)三条路线,最短的路线选(1)的理由是()

A.因为它直
B.两点确定一条直线
C.两点间距离的定义
D.两点之间,线段最短

2.D

【分析】
解题时首先观察三条路线的特征：路线(1)是连接A、B两点的线段，路线(2)、(3)都是弯曲的非线段路径。题目要求选出最短路线是(1)的数学理由，首先回忆线段相关的性质公理，再逐一辨析选项：先排除非严谨的口语化表述，再区分不同几何公理的适用场景，排除和“路径长短”无关的公理，最终匹配正确的性质。
【解析】
观察三条从A到B的路线：
1. 路线(1)是连接A、B两点的线段，路线(2)、(3)均为曲线类路径；
2. 根据线段的基本公理：两点之间，线段最短，可知连接两点的所有路径中，线段长度最短，因此最短路线是(1)。
对选项逐一判断：
A.“因为它直”属于非严谨的口语表述，不是规范的数学依据，错误；
B.“两点确定一条直线”是直线的性质，用于说明过两点有且只有一条直线，和路径长短无关，错误；
C.“两点间距离的定义”是指两点之间线段的长度叫做两点间的距离，仅解释了距离的概念，不是路径最短的理由，错误；
D.“两点之间，线段最短”正好是该结论的依据，正确。
【答案】
D
【知识点】
两点之间线段最短；线段的性质；几何公理辨析
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对线段核心性质的掌握，以及对相近几何公理的区分能力，学习时要注意明确不同公理的适用场景，避免混淆。
【难度系数】
0.9

3. 如果点B在线段AC上，那么下列各表达式中：$AB = \frac{1}{2}AC = BC$，$AC = 2AB$，$AB + BC = AC$，能表示点B是线段AC的中点的有()

A.1个
B.2个
C.3个
D.没有

3.B

【分析】
解题时首先要明确线段中点的定义：若点B在线段AC上，且将线段AC分成两条长度相等的线段AB、BC，则B是线段AC的中点，满足$AB=BC=\frac{1}{2}AC$、$AC=2AB=2BC$。接下来逐个验证三个表达式是否符合中点的判定条件：第一个表达式直接给出AB和BC相等，符合中点特征；第二个表达式结合B在线段AC上的前提，可推导出AB=BC，符合中点要求；第三个表达式是线段上任意一点都满足的和差关系，无法推出AB和BC相等，因此不能判定为中点。最后统计符合要求的表达式数量即可得到答案。
【解析】
已知点B在线段AC上，我们逐个分析三个表达式：
1. 对于$AB = \frac{1}{2}AC = BC$：可直接得到$AB=BC$，满足线段中点的定义，因此能表示点B是线段AC的中点；
2. 对于$AC = 2AB$：因为点B在线段AC上，所以$AC=AB+BC$，将$AC=2AB$代入可得$2AB=AB+BC$，化简得$AB=BC$，符合中点的判定条件，因此能表示点B是线段AC的中点；
3. 对于$AB + BC = AC$：只要点B在线段AC上，该等式就恒成立，无法说明$AB=BC$，因此不能表示点B是线段AC的中点。
综上，能表示点B是线段AC中点的表达式共有2个。
【答案】
B
【知识点】
1. 线段中点的定义
2. 线段的和差运算
【点评】
本题围绕线段中点的判定展开，核心是要区分线段上任意点都满足的通用性质和中点特有的等量关系，易错点是容易误将第三个和差等式当作中点的判定条件，解题时需紧扣定义逐一验证。
【难度系数】
0.7

4. 线段AB = 8 cm,延长线段AB到C,使BC = 4 cm,则AC是BC的()

A.1倍
B.2倍
C.3倍
D.4倍

4.C

【分析】
首先明确线段延长的位置关系，延长AB到C说明点C在AB的延长线上，此时线段AC的长度等于AB与BC的长度之和，先计算出AC的长度，再用AC的长度除以BC的长度即可得到两者的倍数关系。
【解析】
已知AB=8cm，BC=4cm，因为C是AB延长线上的点，所以：
$AC = AB + BC = 8 + 4 = 12\mathrm{cm}$
计算AC是BC的几倍：$12 ÷ 4 = 3$
因此AC是BC的3倍。
【答案】
C
【知识点】
线段的和差运算；线段倍分关系
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确线段延长方向对应的线段和差关系，理清各线段的长度关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9

5. P为线段AB上一点,且$AP=\frac{2}{5}AB$,M是AB的中点,若PM = 2 cm,则AB = cm.

5.20

【分析】
解题时我们可以先将线段AB的长度设为未知数，再根据题目给出的AP与AB的关系、M是AB中点的条件，分别用含未知数的式子表示出AP、AM的长度。观察线段位置可知，PM的长度等于AM减去AP的长度，结合PM=2cm的已知条件列出方程，求解即可得到AB的长度。
【解析】
设AB的长度为$x$ cm。
∵ $AP=\frac{2}{5}AB$，
∴ $AP=\frac{2}{5}x$ cm。
∵ M是AB的中点，
∴ $AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}x$ cm。
由线段位置可知P在线段AM上，因此$PM=AM-AP$。
代入已知$PM=2$ cm得：
$\frac{1}{2}x - \frac{2}{5}x = 2$
通分计算：$\frac{5}{10}x - \frac{4}{10}x = 2$
即 $\frac{1}{10}x = 2$
解得 $x=20$。
【答案】
20
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，一元一次方程应用
【点评】
本题是线段运算的基础题型，解题的核心是准确找到各线段之间的数量关系，通过设未知数列方程的方式能直观简化计算过程，是线段章节的常考题型。
【难度系数】
0.8

6.如图,A,B是两个村庄,若要在河边l上修建一个水泵站往两村输水,问:水泵站应修在河边的什么位置,才能使铺设的管道最短?请说明理由.

6. 连接AB交l于点P. 水泵站应修在P点处. 理由:略.

【分析】
要使铺设的管道最短，本质是求直线l上的点到A、B两点的距离之和最小。根据已学的“两点之间，线段最短”的性质，观察可知A、B位于直线l的两侧，直接连接A、B两点，线段AB与直线l的交点就是所求位置，此时两点的距离之和等于线段AB的长度，是所有可能情况里的最小值。
【解析】
1. 用直尺连接A、B两点，线段AB与直线l相交于点P；
2. 点P就是水泵站的修建位置。
理由：根据两点之间，线段最短的性质，此时$PA+PB=AB$，若在直线l上任意选取另一个不与P重合的点$P'$，都有$P'A+P'B＞AB$，因此P点处的管道总长度最短。
【答案】
连接AB交l于点P，水泵站应修在P点处，理由是两点之间，线段最短。
【知识点】
两点之间线段最短；最短路径作图
【点评】
本题是线段性质的实际应用类基础题，核心是将实际的最短管道问题转化为数学上的两点最短路径问题，只要掌握两点之间线段最短的性质就能快速解题，是几何性质应用的典型基础题。
【难度系数】
0.9