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19. (8分)某城市按以下规定收取每月煤气费:所用煤气如果不超过$60\ \mathrm{m}^3$,按每立方米0.8元收费;如果超过$60\ \mathrm{m}^3$,超过部分按每立方米1.2元收费.已知某用户10月份的煤气费平均每立方米0.88元,求该用户10月份应交的煤气费是多少元.
答案
19. 设该用户10月份用煤气超过标准$x\ \mathrm{m}^3$,则$60 × 0.8 + 1.2x = 0.88(60 + x)$. 解得$x = 15$,则$0.88 × (60 + 15) = 66$. 答:该用户10月份应交的煤气费是66元.
解析
【分析】
首先对比平均煤气单价0.88元/立方米和基础收费标准0.8元/立方米，可知平均单价更高，说明该用户10月份煤气用量超过了60 m³。解题的核心是找到等量关系：按分段规则计算的总费用 = 按平均单价计算的总费用。我们可以设超出60 m³的部分为x立方米，分别用x表示两种计费方式的总费用，列方程求解出超出的气量后，即可计算总煤气费。
【解析】
1. 判断用量范围：
∵ 平均煤气费0.88元/立方米 ＞ 0.8元/立方米，
∴ 该用户10月份煤气用量超过60 m³。
2. 设未知数列方程：
设该用户10月份用煤气超过标准x m³，根据总费用相等可列方程：
$60 × 0.8 + 1.2x = 0.88(60 + x)$
3. 解方程：
展开计算得：$48 + 1.2x = 52.8 + 0.88x$
移项合并同类项得：$0.32x = 4.8$
解得：$x = 15$
4. 计算总煤气费：
总用气量为$60 + 15 = 75\ \mathrm{m}^3$，总费用为$0.88 × 75 = 66$（元）
答：该用户10月份应交的煤气费是66元。
【答案】
66元
【知识点】
一元一次方程的应用；分段计费问题
【点评】
本题是分段计费类的典型应用题，解题关键是先根据平均单价判断用量是否超出收费标准，再抓住总费用相等的等量关系建立方程求解，能够有效锻炼学生分析实际问题、构建方程模型的能力。
【难度系数】
0.7
首先对比平均煤气单价0.88元/立方米和基础收费标准0.8元/立方米，可知平均单价更高，说明该用户10月份煤气用量超过了60 m³。解题的核心是找到等量关系：按分段规则计算的总费用 = 按平均单价计算的总费用。我们可以设超出60 m³的部分为x立方米，分别用x表示两种计费方式的总费用，列方程求解出超出的气量后，即可计算总煤气费。
【解析】
1. 判断用量范围：
∵ 平均煤气费0.88元/立方米 ＞ 0.8元/立方米，
∴ 该用户10月份煤气用量超过60 m³。
2. 设未知数列方程：
设该用户10月份用煤气超过标准x m³，根据总费用相等可列方程：
$60 × 0.8 + 1.2x = 0.88(60 + x)$
3. 解方程：
展开计算得：$48 + 1.2x = 52.8 + 0.88x$
移项合并同类项得：$0.32x = 4.8$
解得：$x = 15$
4. 计算总煤气费：
总用气量为$60 + 15 = 75\ \mathrm{m}^3$，总费用为$0.88 × 75 = 66$（元）
答：该用户10月份应交的煤气费是66元。
【答案】
66元
【知识点】
一元一次方程的应用；分段计费问题
【点评】
本题是分段计费类的典型应用题，解题关键是先根据平均单价判断用量是否超出收费标准，再抓住总费用相等的等量关系建立方程求解，能够有效锻炼学生分析实际问题、构建方程模型的能力。
【难度系数】
0.7
20. (10分) 下图是由1,3,5,7,9,…按一定的规律列成的方阵,用十字图案按如图所示的方式框出5个数.
(1) 若设十字图案中心的一个数为x,则这5个数的和为
(2) 能否框出5个数的和为2020?若不能,请说明理由;若能,请求出这5个数.
(1) 若设十字图案中心的一个数为x,则这5个数的和为
$5x$
;(2) 能否框出5个数的和为2020?若不能,请说明理由;若能,请求出这5个数.
答案
20.(1)$5x$ (2) 由(1)知5个数之和为5x,当5x = 2 020时,得x = 404. 因为数列中的数都是奇数,而404是偶数,因此不能框出5个数之和为2 020.
解析
【分析】
（1）先观察数阵规律：数阵中所有数均为连续奇数，同一行相邻两个数相差2，每一列上下相邻两个数相差10。若设中心数为x，可分别表示出十字框内其余4个数，相加即可得到5个数的和与x的关系；（2）假设能框出和为2020的5个数，结合第一问的结论列方程求出x，再根据数阵中数均为奇数的特征判断x是否符合要求，即可得出结论。
【解析】
(1) 设十字图案中心的数为x，根据数阵规律：
十字框中，上方的数比中心数小10，为$x-10$；
下方的数比中心数大10，为$x+10$；
左侧的数比中心数小2，为$x-2$；
右侧的数比中心数大2，为$x+2$。
则5个数的和为：
$(x-10)+(x-2)+x+(x+2)+(x+10)=5x$。
(2) 假设能框出和为2020的5个数，根据(1)的结论可得：
$5x=2020$
解得$x=404$
由于数阵中的数都是奇数，而404是偶数，不符合数阵中数的特征，因此不存在这样的中心数，即不能框出和为2020的5个数。
【答案】
(1) $\boxed{5x}$
(2) 不能框出5个数的和为2020，理由：若5个数和为2020，解得中心数为404，数阵中所有数均为奇数，404是偶数，不符合要求，故不能。
【知识点】
数字规律探究，一元一次方程的应用，奇数的性质
【点评】
本题主要考查数阵规律的探究与方程的实际应用，解题的核心是先找到十字框内各数与中心数的数量关系，求出总和的表达式，再结合数阵本身的数字特征验证计算结果的合理性。
【难度系数】
0.7
（1）先观察数阵规律：数阵中所有数均为连续奇数，同一行相邻两个数相差2，每一列上下相邻两个数相差10。若设中心数为x，可分别表示出十字框内其余4个数，相加即可得到5个数的和与x的关系；（2）假设能框出和为2020的5个数，结合第一问的结论列方程求出x，再根据数阵中数均为奇数的特征判断x是否符合要求，即可得出结论。
【解析】
(1) 设十字图案中心的数为x，根据数阵规律：
十字框中，上方的数比中心数小10，为$x-10$；
下方的数比中心数大10，为$x+10$；
左侧的数比中心数小2，为$x-2$；
右侧的数比中心数大2，为$x+2$。
则5个数的和为：
$(x-10)+(x-2)+x+(x+2)+(x+10)=5x$。
(2) 假设能框出和为2020的5个数，根据(1)的结论可得：
$5x=2020$
解得$x=404$
由于数阵中的数都是奇数，而404是偶数，不符合数阵中数的特征，因此不存在这样的中心数，即不能框出和为2020的5个数。
【答案】
(1) $\boxed{5x}$
(2) 不能框出5个数的和为2020，理由：若5个数和为2020，解得中心数为404，数阵中所有数均为奇数，404是偶数，不符合要求，故不能。
【知识点】
数字规律探究，一元一次方程的应用，奇数的性质
【点评】
本题主要考查数阵规律的探究与方程的实际应用，解题的核心是先找到十字框内各数与中心数的数量关系，求出总和的表达式，再结合数阵本身的数字特征验证计算结果的合理性。
【难度系数】
0.7
21.(11分)在“五一”期间,小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩,下面是购买门票时,小明与他爸爸的对话(如图所示).试根据图中的信息,解答下列问题:
(1)小明他们一共去了几名成人,几名学生?
(2)请你帮助小明算一算,用哪种方式购票更省钱?说明理由.
(1)小明他们一共去了几名成人,几名学生?
(2)请你帮助小明算一算,用哪种方式购票更省钱?说明理由.
答案
21.(1) 设小明他们有成人x人,则学生有$(12 - x)$人. 列方程为$35x + 0.5 × 35(12 - x) = 350$,解得$x = 8$. 则$12 - x = 4$(人). 答:小明他们有成人8人,学生4人. (2)$35 × 12 × 0.6 = 252 ＜ 350$,所以购买团体票更省钱.
解析
【分析】
(1) 求解成人和学生人数时，已知总人数为12人，成人票价35元/张，学生票为成人票五折，总购票费用350元。我们可以设成人人数为x，用总人数表示学生人数为$(12-x)$，再根据“成人购票总费用+学生购票总费用=总花费”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到两类人数。
(2) 要判断哪种购票方式更省钱，我们需要先计算出团体票方案的总花费，再和原方案的350元对比：团体票可享受成人票六折优惠，计算对应总花费后比较两个花费的大小，花费更低的方案更省钱。
【解析】
(1) 设小明他们一共去了x名成人，则学生人数为$(12-x)$人。
根据总花费列方程：
$35x + 0.5×35×(12-x) = 350$
化简计算：
$35x + 17.5×(12-x) = 350$
$35x + 210 - 17.5x = 350$
$17.5x = 140$
解得 $x=8$
学生人数：$12-8=4$（人）
(2) 计算购买团体票的总花费：
$35×12×0.6=252$（元）
因为$252＜350$，所以购买团体票的方式更省钱。
【答案】
(1) 一共去了8名成人，4名学生；(2) 购买团体票更省钱。
【知识点】
一元一次方程应用，折扣计算，方案优选
【点评】
本题结合实际生活中的购票优惠场景，考查了列方程解应用题的能力和最优方案选择的思维，解题时要注意准确提取题干中的票价、优惠规则等信息，找到正确的等量关系列方程，再通过计算对比得出最优方案。
【难度系数】
0.7
(1) 求解成人和学生人数时，已知总人数为12人，成人票价35元/张，学生票为成人票五折，总购票费用350元。我们可以设成人人数为x，用总人数表示学生人数为$(12-x)$，再根据“成人购票总费用+学生购票总费用=总花费”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到两类人数。
(2) 要判断哪种购票方式更省钱，我们需要先计算出团体票方案的总花费，再和原方案的350元对比：团体票可享受成人票六折优惠，计算对应总花费后比较两个花费的大小，花费更低的方案更省钱。
【解析】
(1) 设小明他们一共去了x名成人，则学生人数为$(12-x)$人。
根据总花费列方程：
$35x + 0.5×35×(12-x) = 350$
化简计算：
$35x + 17.5×(12-x) = 350$
$35x + 210 - 17.5x = 350$
$17.5x = 140$
解得 $x=8$
学生人数：$12-8=4$（人）
(2) 计算购买团体票的总花费：
$35×12×0.6=252$（元）
因为$252＜350$，所以购买团体票的方式更省钱。
【答案】
(1) 一共去了8名成人，4名学生；(2) 购买团体票更省钱。
【知识点】
一元一次方程应用，折扣计算，方案优选
【点评】
本题结合实际生活中的购票优惠场景，考查了列方程解应用题的能力和最优方案选择的思维，解题时要注意准确提取题干中的票价、优惠规则等信息，找到正确的等量关系列方程，再通过计算对比得出最优方案。
【难度系数】
0.7
