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1. 填一填。
(1) 修一条路，甲队单独修需要5天完成，甲队每天修这条路的$\frac{(\quad)}{(\quad)}$；乙队单独修需要3天完成，乙队每天修这条路的$\frac{(\quad)}{(\quad)}$。
(2) 修一条路，甲队每天修$\frac{1}{3}$，乙队每天修$\frac{1}{6}$，两队合作每天修这条路的$\frac{(\quad)}{(\quad)}$，合作(
(3) 甲队单独修一条路，3天修了这条路的$\frac{1}{5}$，甲队每天修这条路的$\frac{(\quad)}{(\quad)}$，修完一共需要(
(1) 修一条路，甲队单独修需要5天完成，甲队每天修这条路的$\frac{(\quad)}{(\quad)}$；乙队单独修需要3天完成，乙队每天修这条路的$\frac{(\quad)}{(\quad)}$。
(2) 修一条路，甲队每天修$\frac{1}{3}$，乙队每天修$\frac{1}{6}$，两队合作每天修这条路的$\frac{(\quad)}{(\quad)}$，合作(
2
)天可以修完。(3) 甲队单独修一条路，3天修了这条路的$\frac{1}{5}$，甲队每天修这条路的$\frac{(\quad)}{(\quad)}$，修完一共需要(
15
)天。答案
1. (1) $\frac{1}{5}$ $\frac{1}{3}$
(2) $\frac{1}{2}$ 2
(3) $\frac{1}{15}$ 15
(2) $\frac{1}{2}$ 2
(3) $\frac{1}{15}$ 15
解析
【分析】
解决工程问题首先要把工作总量看作单位“1”，再结合“工作效率=工作总量÷工作时间、工作时间=工作总量÷工作效率”这两个基本关系解题：
(1) 求两队每天修的量就是求各自的工作效率，用总工作量1分别除以两队单独完成的时间即可；
(2) 合作的工作效率等于两队单独工作效率之和，求合作完成的时间用总工作量1除以合作效率即可；
(3) 已知3天的工作量，求每天的效率用已完成的工作量除以工作时间，求总工作时间用总工作量1除以每天的效率即可。
【解析】
(1) 将这条路的总长度看作单位“1”：
甲队每天修的量：$1÷5=\frac{1}{5}$
乙队每天修的量：$1÷3=\frac{1}{3}$
(2) 两队合作每天修的量是两队效率之和：
$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
合作修完需要的时间：$1÷\frac{1}{2}=2$（天）
(3) 甲队每天修的量：$\frac{1}{5}÷3=\frac{1}{15}$
修完一共需要的时间：$1÷\frac{1}{15}=15$（天）
【答案】
(1) $\frac{1}{5}$；$\frac{1}{3}$
(2) $\frac{1}{2}$；2
(3) $\frac{1}{15}$；15
【知识点】
工程问题基本关系；分数加减法；分数除法
【点评】
本题属于工程问题的基础题型，核心考察工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系，掌握基础公式就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解决工程问题首先要把工作总量看作单位“1”，再结合“工作效率=工作总量÷工作时间、工作时间=工作总量÷工作效率”这两个基本关系解题：
(1) 求两队每天修的量就是求各自的工作效率，用总工作量1分别除以两队单独完成的时间即可；
(2) 合作的工作效率等于两队单独工作效率之和，求合作完成的时间用总工作量1除以合作效率即可；
(3) 已知3天的工作量，求每天的效率用已完成的工作量除以工作时间，求总工作时间用总工作量1除以每天的效率即可。
【解析】
(1) 将这条路的总长度看作单位“1”：
甲队每天修的量：$1÷5=\frac{1}{5}$
乙队每天修的量：$1÷3=\frac{1}{3}$
(2) 两队合作每天修的量是两队效率之和：
$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
合作修完需要的时间：$1÷\frac{1}{2}=2$（天）
(3) 甲队每天修的量：$\frac{1}{5}÷3=\frac{1}{15}$
修完一共需要的时间：$1÷\frac{1}{15}=15$（天）
【答案】
(1) $\frac{1}{5}$；$\frac{1}{3}$
(2) $\frac{1}{2}$；2
(3) $\frac{1}{15}$；15
【知识点】
工程问题基本关系；分数加减法；分数除法
【点评】
本题属于工程问题的基础题型，核心考察工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系，掌握基础公式就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
2. 客人预订了360个手工艺品，师父单独做需要12小时，徒弟单独做需要18小时。师徒一起做，多少小时可以做完？
答案
方法一:$360÷12+360÷18=50$(个)
$360÷50=\frac{36}{5}$(时)
方法二:$\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{5}{36}$
$1÷\frac{5}{36}=\frac{36}{5}$(时)
答:$\frac{36}{5}$小时可以做完。
$360÷50=\frac{36}{5}$(时)
方法二:$\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{5}{36}$
$1÷\frac{5}{36}=\frac{36}{5}$(时)
答:$\frac{36}{5}$小时可以做完。
解析
【分析】
这是典型的工程问题，解题核心是利用“工作时间=工作总量÷工作效率”的数量关系求解。我们可以通过两种思路计算：思路一：先根据总工作量分别算出师父、徒弟各自的每小时制作数量（即工作效率），求和得到师徒合作的总效率，再用总工作量除以总效率得到合作时间；思路二：把总工作量看作单位“1”，分别得出师父、徒弟每小时完成总工作量的占比，求和得到合作的效率占比，再用单位“1”除以该占比得到合作时间。
【解析】
方法一：先算师徒各自的工作效率
师父每小时做的数量：$360÷12=30$（个）
徒弟每小时做的数量：$360÷18=20$（个）
师徒合作每小时做的数量：$30+20=50$（个）
合作所需时间：$360÷50=\frac{36}{5}$（时）
方法二：把总工作量看作单位“1”
师父每小时完成总工作量的$\frac{1}{12}$，徒弟每小时完成总工作量的$\frac{1}{18}$
师徒合作每小时完成总工作量的：$\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{3}{36}+\frac{2}{36}=\frac{5}{36}$
合作所需时间：$1÷\frac{5}{36}=\frac{36}{5}$（时）
【答案】
$\frac{36}{5}$小时
【知识点】
工程问题，工作效率计算，分数运算
【点评】
本题是工程问题的基础题型，两种解题思路均为工程问题的常用解法，既可以结合实际工作量计算，也可以通过设单位“1”简化运算，能够很好地巩固工程问题核心数量关系的理解与应用。
【难度系数】
0.8
这是典型的工程问题，解题核心是利用“工作时间=工作总量÷工作效率”的数量关系求解。我们可以通过两种思路计算：思路一：先根据总工作量分别算出师父、徒弟各自的每小时制作数量（即工作效率），求和得到师徒合作的总效率，再用总工作量除以总效率得到合作时间；思路二：把总工作量看作单位“1”，分别得出师父、徒弟每小时完成总工作量的占比，求和得到合作的效率占比，再用单位“1”除以该占比得到合作时间。
【解析】
方法一：先算师徒各自的工作效率
师父每小时做的数量：$360÷12=30$（个）
徒弟每小时做的数量：$360÷18=20$（个）
师徒合作每小时做的数量：$30+20=50$（个）
合作所需时间：$360÷50=\frac{36}{5}$（时）
方法二：把总工作量看作单位“1”
师父每小时完成总工作量的$\frac{1}{12}$，徒弟每小时完成总工作量的$\frac{1}{18}$
师徒合作每小时完成总工作量的：$\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{3}{36}+\frac{2}{36}=\frac{5}{36}$
合作所需时间：$1÷\frac{5}{36}=\frac{36}{5}$（时）
【答案】
$\frac{36}{5}$小时
【知识点】
工程问题，工作效率计算，分数运算
【点评】
本题是工程问题的基础题型，两种解题思路均为工程问题的常用解法，既可以结合实际工作量计算，也可以通过设单位“1”简化运算，能够很好地巩固工程问题核心数量关系的理解与应用。
【难度系数】
0.8
3. 明明和爸爸两人在环形跑道上散步，爸爸走一圈要10分钟，明明走一圈要15分钟。两人同时从同一地点出发，反向而行，多少分钟后两人第一次相遇？
答案
$1÷(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})=6$(分)
答:6 分钟后两人第一次相遇。
答:6 分钟后两人第一次相遇。
解析
【分析】
这是环形跑道反向相遇问题，我们可以借鉴工程问题的思路解题：首先把环形跑道一圈的总路程看作单位“1”，那么爸爸每分钟走全程的$\frac{1}{10}$，明明每分钟走全程的$\frac{1}{15}$。两人反向而行第一次相遇时，两人走的路程之和刚好等于1圈的总长度，因此相遇时间=总路程÷两人的速度和，代入数据计算即可。
【解析】
把环形跑道1圈的路程看作单位“1”。
爸爸的速度：$1÷10=\frac{1}{10}$
明明的速度：$1÷15=\frac{1}{15}$
两人的速度和：$\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3}{30}+\frac{2}{30}=\frac{1}{6}$
相遇时间：$1÷\frac{1}{6}=6$（分钟）
【答案】
6分钟
【知识点】
环形相遇问题、工程问题模型、分数四则运算
【点评】
本题将行程问题和工程问题结合，解题的核心是把总路程看作单位“1”，用分率表示两人的速度，再结合相遇问题的基本公式计算，计算时要注意分数通分、约分的正确性。
【难度系数】
0.7
这是环形跑道反向相遇问题，我们可以借鉴工程问题的思路解题：首先把环形跑道一圈的总路程看作单位“1”，那么爸爸每分钟走全程的$\frac{1}{10}$，明明每分钟走全程的$\frac{1}{15}$。两人反向而行第一次相遇时，两人走的路程之和刚好等于1圈的总长度，因此相遇时间=总路程÷两人的速度和，代入数据计算即可。
【解析】
把环形跑道1圈的路程看作单位“1”。
爸爸的速度：$1÷10=\frac{1}{10}$
明明的速度：$1÷15=\frac{1}{15}$
两人的速度和：$\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3}{30}+\frac{2}{30}=\frac{1}{6}$
相遇时间：$1÷\frac{1}{6}=6$（分钟）
【答案】
6分钟
【知识点】
环形相遇问题、工程问题模型、分数四则运算
【点评】
本题将行程问题和工程问题结合，解题的核心是把总路程看作单位“1”，用分率表示两人的速度，再结合相遇问题的基本公式计算，计算时要注意分数通分、约分的正确性。
【难度系数】
0.7
4. 选一选。
（1）妈妈包饺子，先用20分钟包完了总数的$\frac{1}{3}$，剩下的饺子还需要(
A. 20
B. 30
C. 40
D. 50
（2）两台打印机同时打印一批资料，4分钟可以打完。A打印机单独打要6分钟打完，B打印机单独打要(
A. 8
B. 10
C. 11
D. 12
（1）妈妈包饺子，先用20分钟包完了总数的$\frac{1}{3}$，剩下的饺子还需要(
C
)分钟包完。A. 20
B. 30
C. 40
D. 50
（2）两台打印机同时打印一批资料，4分钟可以打完。A打印机单独打要6分钟打完，B打印机单独打要(
D
)分钟打完。A. 8
B. 10
C. 11
D. 12
答案
(1) C (2) D
解析
【分析】
这两道题都属于工程问题，解题核心是先将总工作量看作单位“1”，再利用“工作效率=工作量÷工作时间、工作时间=工作量÷工作效率”的关系求解。
第（1）题解题思路：首先根据已知的20分钟完成总工作量的$\frac{1}{3}$，算出包饺子的工作效率，再求出剩余的工作量，最后用剩余工作量除以工作效率即可得到还需要的时间。
第（2）题解题思路：先根据两台打印机合作4分钟完成任务算出两台的效率之和，再根据A单独打印的时间算出A的工作效率，用效率和减去A的效率得到B的工作效率，最后用总工作量除以B的效率就能得到B单独打印需要的时间。
【解析】
（1）把饺子总数量看作单位“1”。
包饺子的工作效率：$\frac{1}{3} ÷ 20 = \frac{1}{60}$
剩余工作量：$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
剩余需要的时间：$\frac{2}{3} ÷ \frac{1}{60} = 40$（分钟）
所以选C。
（2）把这批资料的总工作量看作单位“1”。
两台打印机的效率和：$1 ÷ 4 = \frac{1}{4}$
A打印机的效率：$1 ÷ 6 = \frac{1}{6}$
B打印机的效率：$\frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12}$
B单独打印需要的时间：$1 ÷ \frac{1}{12} = 12$（分钟）
所以选D。
【答案】
(1)C (2)D
【知识点】
工程问题、单位“1”应用、分数四则运算
【点评】
这两道题是工程问题的典型基础题型，熟练掌握总工作量设为单位“1”的方法，理清工作量、工作效率、工作时间三者的对应关系，就能轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.7
这两道题都属于工程问题，解题核心是先将总工作量看作单位“1”，再利用“工作效率=工作量÷工作时间、工作时间=工作量÷工作效率”的关系求解。
第（1）题解题思路：首先根据已知的20分钟完成总工作量的$\frac{1}{3}$，算出包饺子的工作效率，再求出剩余的工作量，最后用剩余工作量除以工作效率即可得到还需要的时间。
第（2）题解题思路：先根据两台打印机合作4分钟完成任务算出两台的效率之和，再根据A单独打印的时间算出A的工作效率，用效率和减去A的效率得到B的工作效率，最后用总工作量除以B的效率就能得到B单独打印需要的时间。
【解析】
（1）把饺子总数量看作单位“1”。
包饺子的工作效率：$\frac{1}{3} ÷ 20 = \frac{1}{60}$
剩余工作量：$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
剩余需要的时间：$\frac{2}{3} ÷ \frac{1}{60} = 40$（分钟）
所以选C。
（2）把这批资料的总工作量看作单位“1”。
两台打印机的效率和：$1 ÷ 4 = \frac{1}{4}$
A打印机的效率：$1 ÷ 6 = \frac{1}{6}$
B打印机的效率：$\frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12}$
B单独打印需要的时间：$1 ÷ \frac{1}{12} = 12$（分钟）
所以选D。
【答案】
(1)C (2)D
【知识点】
工程问题、单位“1”应用、分数四则运算
【点评】
这两道题是工程问题的典型基础题型，熟练掌握总工作量设为单位“1”的方法，理清工作量、工作效率、工作时间三者的对应关系，就能轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.7
5. 一间教室，彤彤单独打扫要10分钟完成，亮亮单独打扫要15分钟完成，佳佳单独打扫要20分钟完成。三人一起打扫，多少分钟能完成？
答案
$1÷(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{20})=\frac{60}{13}$(分)
答:$\frac{60}{13}$分钟能完成。
答:$\frac{60}{13}$分钟能完成。
解析
【分析】
这是典型的合作类工程问题，解题时我们可以把需要打扫的整个教室的工作量看作单位“1”。首先根据“工作效率=工作总量÷工作时间”，分别算出三个人各自的工作效率，再把三人的工作效率相加得到三人合作的总效率，最后根据“合作工作时间=工作总量÷总工作效率”就能求出三人一起打扫需要的时间。
【解析】
我们把打扫整间教室的总工作量看作单位“1”。
1. 计算三人各自的工作效率：
彤彤的工作效率：$1÷10=\frac{1}{10}$
亮亮的工作效率：$1÷15=\frac{1}{15}$
佳佳的工作效率：$1÷20=\frac{1}{20}$
2. 计算三人合作的总工作效率：
$\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{20}=\frac{6}{60}+\frac{4}{60}+\frac{3}{60}=\frac{13}{60}$
3. 计算合作所需时间：
$1÷\frac{13}{60}=\frac{60}{13}$（分）
【答案】
$\frac{60}{13}$分钟能完成。
【知识点】
工程问题、分数四则运算、工作量效率时间关系
【点评】
本题是工程问题的基础题型，解题关键是先将未知总工作量设为单位“1”，准确求出各主体的工作效率，再利用工作总量、工作效率、工作时间三者的关系求解即可，计算时注意分数通分的准确性。
【难度系数】
0.7
这是典型的合作类工程问题，解题时我们可以把需要打扫的整个教室的工作量看作单位“1”。首先根据“工作效率=工作总量÷工作时间”，分别算出三个人各自的工作效率，再把三人的工作效率相加得到三人合作的总效率，最后根据“合作工作时间=工作总量÷总工作效率”就能求出三人一起打扫需要的时间。
【解析】
我们把打扫整间教室的总工作量看作单位“1”。
1. 计算三人各自的工作效率：
彤彤的工作效率：$1÷10=\frac{1}{10}$
亮亮的工作效率：$1÷15=\frac{1}{15}$
佳佳的工作效率：$1÷20=\frac{1}{20}$
2. 计算三人合作的总工作效率：
$\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{20}=\frac{6}{60}+\frac{4}{60}+\frac{3}{60}=\frac{13}{60}$
3. 计算合作所需时间：
$1÷\frac{13}{60}=\frac{60}{13}$（分）
【答案】
$\frac{60}{13}$分钟能完成。
【知识点】
工程问题、分数四则运算、工作量效率时间关系
【点评】
本题是工程问题的基础题型，解题关键是先将未知总工作量设为单位“1”，准确求出各主体的工作效率，再利用工作总量、工作效率、工作时间三者的关系求解即可，计算时注意分数通分的准确性。
【难度系数】
0.7
6. 一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要30天完成。两队合作，中途甲队休息了5天，乙队没有休息，完成这项工程一共需要(
A.12
B.15
C.16
D.18
B
)天。A.12
B.15
C.16
D.18
答案
B
解析
【分析】
这是工程问题的常见变式题，解题时先将这项工程的总工作量看作单位“1”，先分别求出甲、乙两队的工作效率。已知中途甲队休息5天、乙队没有休息，说明乙队比甲队多工作5天，我们可以先计算乙队单独工作5天完成的工作量，剩余工作量由甲乙两队合作完成，用剩余工作量除以两队效率和得到合作时长，再加上乙单独工作的5天即可得到总天数；也可以设总天数为未知数，根据“甲的总工作量+乙的总工作量=总工作量1”列方程求解，两种方法均符合小学阶段知识要求。
【解析】
把这项工程的总工作量看作单位“1”：
甲队的工作效率：$1÷20=\frac{1}{20}$
乙队的工作效率：$1÷30=\frac{1}{30}$
方法一：分步计算
1. 乙队单独做5天的工作量：$\frac{1}{30}×5=\frac{1}{6}$
2. 剩余工作量：$1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$
3. 甲乙两队的效率和：$\frac{1}{20}+\frac{1}{30}=\frac{3}{60}+\frac{2}{60}=\frac{1}{12}$
4. 两队合作的天数：$\frac{5}{6}÷\frac{1}{12}=10$（天）
5. 总天数：$10+5=15$（天）
方法二：列方程求解
设完成这项工程一共需要$x$天，则甲队工作了$(x-5)$天，乙队工作了$x$天。
$\frac{1}{20}×(x-5)+\frac{1}{30}x=1$
两边同时乘60消去分母：$3(x-5)+2x=60$
展开计算：$3x-15+2x=60$
整理得：$5x=75$
解得：$x=15$
所以完成这项工程一共需要15天。
【答案】
B
【知识点】
工程问题、分数四则混合运算、列方程解应用题
【点评】
本题属于工程问题的基础变式，核心考察工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系，解题的关键是理清甲休息期间乙单独完成的工作量，避免出现直接用总工作量除以效率和再加休息天数的典型错误，能有效锻炼学生分析题干条件、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
这是工程问题的常见变式题，解题时先将这项工程的总工作量看作单位“1”，先分别求出甲、乙两队的工作效率。已知中途甲队休息5天、乙队没有休息，说明乙队比甲队多工作5天，我们可以先计算乙队单独工作5天完成的工作量，剩余工作量由甲乙两队合作完成，用剩余工作量除以两队效率和得到合作时长，再加上乙单独工作的5天即可得到总天数；也可以设总天数为未知数，根据“甲的总工作量+乙的总工作量=总工作量1”列方程求解，两种方法均符合小学阶段知识要求。
【解析】
把这项工程的总工作量看作单位“1”：
甲队的工作效率：$1÷20=\frac{1}{20}$
乙队的工作效率：$1÷30=\frac{1}{30}$
方法一：分步计算
1. 乙队单独做5天的工作量：$\frac{1}{30}×5=\frac{1}{6}$
2. 剩余工作量：$1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$
3. 甲乙两队的效率和：$\frac{1}{20}+\frac{1}{30}=\frac{3}{60}+\frac{2}{60}=\frac{1}{12}$
4. 两队合作的天数：$\frac{5}{6}÷\frac{1}{12}=10$（天）
5. 总天数：$10+5=15$（天）
方法二：列方程求解
设完成这项工程一共需要$x$天，则甲队工作了$(x-5)$天，乙队工作了$x$天。
$\frac{1}{20}×(x-5)+\frac{1}{30}x=1$
两边同时乘60消去分母：$3(x-5)+2x=60$
展开计算：$3x-15+2x=60$
整理得：$5x=75$
解得：$x=15$
所以完成这项工程一共需要15天。
【答案】
B
【知识点】
工程问题、分数四则混合运算、列方程解应用题
【点评】
本题属于工程问题的基础变式，核心考察工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系，解题的关键是理清甲休息期间乙单独完成的工作量，避免出现直接用总工作量除以效率和再加休息天数的典型错误，能有效锻炼学生分析题干条件、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
