登录
三、解答题
7. 如图，$AB=AC$，$AB ⊥ AC$，$AD ⊥ AE$，且$∠ ABD = ∠ ACE$.求证：$BD=CE$.
7. 如图，$AB=AC$，$AB ⊥ AC$，$AD ⊥ AE$，且$∠ ABD = ∠ ACE$.求证：$BD=CE$.
答案
7. 提示：证明$△ADB ≌ △AEC$
解析
【分析】
要证明BD=CE，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先观察到BD属于△ADB，CE属于△AEC，因此解题目标为证明△ADB≌△AEC。先根据已知的AB⊥AC、AD⊥AE，可得∠BAC和∠DAE均为90°，利用等式的性质，两个直角同时减去公共角∠BAE，即可得到一组对应角∠DAB=∠EAC；再结合已知的AB=AC、∠ABD=∠ACE的条件，满足角边角的全等判定定理，即可证明两三角形全等，最终由全等三角形对应边相等得到结论。
【解析】
证明：
∵ AB⊥AC，AD⊥AE（已知），
∴ ∠BAC=∠DAE=90°（垂直的定义），
∴ ∠BAC - ∠BAE = ∠DAE - ∠BAE（等式的性质），即∠DAB=∠EAC。
在△ADB和△AEC中：
$\{\begin{array}{l}∠ABD=∠ACE（已知）, \\AB=AC（已知）, \\∠DAB=∠EAC（已证）,\end{array} $
∴ △ADB≌△AEC（ASA），
∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
BD=CE得证
【知识点】
垂直的定义；全等三角形的ASA判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题关键是利用两组垂直关系推导得出相等的对应角，结合已知条件完成三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解决此类线段相等证明题的核心。
【难度系数】
0.8
要证明BD=CE，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先观察到BD属于△ADB，CE属于△AEC，因此解题目标为证明△ADB≌△AEC。先根据已知的AB⊥AC、AD⊥AE，可得∠BAC和∠DAE均为90°，利用等式的性质，两个直角同时减去公共角∠BAE，即可得到一组对应角∠DAB=∠EAC；再结合已知的AB=AC、∠ABD=∠ACE的条件，满足角边角的全等判定定理，即可证明两三角形全等，最终由全等三角形对应边相等得到结论。
【解析】
证明：
∵ AB⊥AC，AD⊥AE（已知），
∴ ∠BAC=∠DAE=90°（垂直的定义），
∴ ∠BAC - ∠BAE = ∠DAE - ∠BAE（等式的性质），即∠DAB=∠EAC。
在△ADB和△AEC中：
$\{\begin{array}{l}∠ABD=∠ACE（已知）, \\AB=AC（已知）, \\∠DAB=∠EAC（已证）,\end{array} $
∴ △ADB≌△AEC（ASA），
∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
BD=CE得证
【知识点】
垂直的定义；全等三角形的ASA判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题关键是利用两组垂直关系推导得出相等的对应角，结合已知条件完成三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解决此类线段相等证明题的核心。
【难度系数】
0.8
8. 如图，点D，A，E在同一条直线上，$△ ADC ≌ △ AEB$，DC，BE交于点F，$∠ BAC = 40°$，$∠ D = 45°$，DC交AB于点M，BE交AC于点N。求：
（1）$∠ B$的度数；
（2）$∠ BMC$的度数。
（1）$∠ B$的度数；
（2）$∠ BMC$的度数。
答案
(1) $25°$
(2) $65°$
(2) $65°$
解析
【分析】
（1）求∠B的度数可借助全等三角形对应角相等的性质，先证∠B与△ADC中∠ACD相等，因此只需先算出∠ACD的度数即可。首先根据D、A、E共线得到平角∠DAE=180°，结合全等三角形对应角∠DAC=∠EAB，可求出∠DAC的度数，再利用三角形内角和为180°，在△ADC中计算得到∠ACD，即可推出∠B的度数。
（2）求∠BMC的度数可利用三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，∠BMC是△AMC的外角，等于∠BAC与∠ACD的和，代入对应角度即可计算出结果。
【解析】
（1）
∵ $△ ADC ≌ △ AEB$，
∴ $∠ DAC = ∠ EAB$，$∠ ACD = ∠ B$。
∵ 点D，A，E在同一条直线上，
∴ $∠ DAE = 180°$，即 $∠ DAC + ∠ EAB - ∠ BAC = 180°$。
将$∠ BAC = 40°$代入得：$2∠ DAC - 40° = 180°$，解得$∠ DAC = 110°$。
在$△ ADC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ACD = 180° - ∠ DAC - ∠ D = 180° - 110° - 45° = 25°$，
∴ $∠ B = ∠ ACD = 25°$。
（2）
∵ $∠ BMC$是$△ AMC$的外角，根据三角形外角的性质：
$∠ BMC = ∠ BAC + ∠ ACD$，
代入$∠ BAC=40°$，$∠ ACD=25°$得：
$∠ BMC = 40° + 25° = 65°$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{25°}$
（2）$\boldsymbol{65°}$
【知识点】
全等三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是全等三角形性质和三角形角度计算的结合题型，解题核心是准确找到全等三角形的对应角，熟练运用三角形内角和、外角性质完成角度推导，属于基础类几何计算题。
【难度系数】
0.7
（1）求∠B的度数可借助全等三角形对应角相等的性质，先证∠B与△ADC中∠ACD相等，因此只需先算出∠ACD的度数即可。首先根据D、A、E共线得到平角∠DAE=180°，结合全等三角形对应角∠DAC=∠EAB，可求出∠DAC的度数，再利用三角形内角和为180°，在△ADC中计算得到∠ACD，即可推出∠B的度数。
（2）求∠BMC的度数可利用三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，∠BMC是△AMC的外角，等于∠BAC与∠ACD的和，代入对应角度即可计算出结果。
【解析】
（1）
∵ $△ ADC ≌ △ AEB$，
∴ $∠ DAC = ∠ EAB$，$∠ ACD = ∠ B$。
∵ 点D，A，E在同一条直线上，
∴ $∠ DAE = 180°$，即 $∠ DAC + ∠ EAB - ∠ BAC = 180°$。
将$∠ BAC = 40°$代入得：$2∠ DAC - 40° = 180°$，解得$∠ DAC = 110°$。
在$△ ADC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ACD = 180° - ∠ DAC - ∠ D = 180° - 110° - 45° = 25°$，
∴ $∠ B = ∠ ACD = 25°$。
（2）
∵ $∠ BMC$是$△ AMC$的外角，根据三角形外角的性质：
$∠ BMC = ∠ BAC + ∠ ACD$，
代入$∠ BAC=40°$，$∠ ACD=25°$得：
$∠ BMC = 40° + 25° = 65°$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{25°}$
（2）$\boldsymbol{65°}$
【知识点】
全等三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是全等三角形性质和三角形角度计算的结合题型，解题核心是准确找到全等三角形的对应角，熟练运用三角形内角和、外角性质完成角度推导，属于基础类几何计算题。
【难度系数】
0.7
9. 如图，AD 和 BC 相交于点O，BE ⊥ AD 于点E，DF ⊥ BC 于点F，BE = DF，∠ABC = ∠CDA. 求证：AB = CD. 
（第9题）
（第9题）答案
提示：先证明$△BEO ≌ △DFO$，再证明$△ABO ≌ △CDO$；也可先证明$∠A = ∠C$，再证明$△ABE ≌ △CDF$
解析
【分析】
要证明AB=CD，通常可证明AB、CD所在的三角形全等。首先梳理已知条件：由垂直关系可得直角相等，已知BE=DF，结合对顶角相等，可先证明△BEO和△DFO全等，得到OB=OD这一中间条件；再结合已知的∠ABC=∠CDA和对顶角∠AOB=∠COD，即可证明△ABO和△CDO全等，最终推出AB=CD。也可先利用三角形内角和推出∠A=∠C，再证明△ABE≌△CDF得到结论。
【解析】
证明：
∵ BE⊥AD，DF⊥BC，
∴ ∠BEO=∠DFO=90°。
在△BEO和△DFO中：
$\{\begin{array}{l}∠BEO=∠DFO \\∠EOB=∠FOD（对顶角相等） \\BE=DF（已知）\end{array} $
∴ △BEO ≌ △DFO（AAS），
∴ OB=OD（全等三角形的对应边相等）。
在△ABO和△CDO中：
$\{\begin{array}{l}∠ABO=∠CDO（已知） \\OB=OD（已证） \\∠AOB=∠COD（对顶角相等）\end{array} $
∴ △ABO ≌ △CDO（ASA），
∴ AB=CD（全等三角形的对应边相等）。
（也可采用证明△ABE≌△CDF的方法，步骤合理即可）
【答案】
AB=CD，得证
【知识点】
1. 三角形全等的判定
2. 全等三角形的性质
3. 对顶角的性质
【点评】
本题是三角形全等的常规综合应用题，解题核心是通过已知条件先证明小三角形全等，得到证明待证全等所需的中间条件，进而推导得出结论，要求熟练掌握全等三角形的判定定理和性质，学会寻找证明全等的隐含条件（如对顶角相等）。
【难度系数】
0.7
要证明AB=CD，通常可证明AB、CD所在的三角形全等。首先梳理已知条件：由垂直关系可得直角相等，已知BE=DF，结合对顶角相等，可先证明△BEO和△DFO全等，得到OB=OD这一中间条件；再结合已知的∠ABC=∠CDA和对顶角∠AOB=∠COD，即可证明△ABO和△CDO全等，最终推出AB=CD。也可先利用三角形内角和推出∠A=∠C，再证明△ABE≌△CDF得到结论。
【解析】
证明：
∵ BE⊥AD，DF⊥BC，
∴ ∠BEO=∠DFO=90°。
在△BEO和△DFO中：
$\{\begin{array}{l}∠BEO=∠DFO \\∠EOB=∠FOD（对顶角相等） \\BE=DF（已知）\end{array} $
∴ △BEO ≌ △DFO（AAS），
∴ OB=OD（全等三角形的对应边相等）。
在△ABO和△CDO中：
$\{\begin{array}{l}∠ABO=∠CDO（已知） \\OB=OD（已证） \\∠AOB=∠COD（对顶角相等）\end{array} $
∴ △ABO ≌ △CDO（ASA），
∴ AB=CD（全等三角形的对应边相等）。
（也可采用证明△ABE≌△CDF的方法，步骤合理即可）
【答案】
AB=CD，得证
【知识点】
1. 三角形全等的判定
2. 全等三角形的性质
3. 对顶角的性质
【点评】
本题是三角形全等的常规综合应用题，解题核心是通过已知条件先证明小三角形全等，得到证明待证全等所需的中间条件，进而推导得出结论，要求熟练掌握全等三角形的判定定理和性质，学会寻找证明全等的隐含条件（如对顶角相等）。
【难度系数】
0.7
