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8. 如图，点A，B，C，O都是格点。作出与△ABC关于点O对称的△A₁B₁C₁.
答案
8. 解 如图，$△ A_1 B_1 C_1$ 即为所求。
解析
【分析】
要作出△ABC关于点O对称的三角形，需依据中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。因此解题思路分为三步：首先确定△ABC的三个顶点A、B、C关于点O的对称点，再依次连接三个对称点，即可得到所求的对称三角形。找对称点时，可通过“连顶点与对称中心、延长线段、截取等长线段”的方式完成，在格点中也可以通过数方格的方式快速定位对称点位置。
【解析】
1. 连接AO并延长AO，在AO的延长线上截取线段OA₁，使OA₁=OA，得到点A的对称点A₁；
2. 同理，连接BO并延长，在延长线上截取OB₁=OB，得到点B的对称点B₁；连接CO并延长，在延长线上截取OC₁=OC，得到点C的对称点C₁；
3. 按顺序顺次连接A₁、B₁、C₁，得到的△A₁B₁C₁即为与△ABC关于点O对称的三角形。
【答案】
如图，$△ A_1 B_1 C_1$ 即为所求。
【知识点】
中心对称的性质；中心对称作图；对称点确定
【点评】
本题是中心对称作图的常规基础题，解题核心是熟练运用中心对称的性质定位对称点，格点场景下可以通过数格子的方法快速验证对称点到O点的距离是否相等，作图时要注意标注对应点字母，保证作图规范。
【难度系数】
0.8
要作出△ABC关于点O对称的三角形，需依据中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。因此解题思路分为三步：首先确定△ABC的三个顶点A、B、C关于点O的对称点，再依次连接三个对称点，即可得到所求的对称三角形。找对称点时，可通过“连顶点与对称中心、延长线段、截取等长线段”的方式完成，在格点中也可以通过数方格的方式快速定位对称点位置。
【解析】
1. 连接AO并延长AO，在AO的延长线上截取线段OA₁，使OA₁=OA，得到点A的对称点A₁；
2. 同理，连接BO并延长，在延长线上截取OB₁=OB，得到点B的对称点B₁；连接CO并延长，在延长线上截取OC₁=OC，得到点C的对称点C₁；
3. 按顺序顺次连接A₁、B₁、C₁，得到的△A₁B₁C₁即为与△ABC关于点O对称的三角形。
【答案】
如图，$△ A_1 B_1 C_1$ 即为所求。
【知识点】
中心对称的性质；中心对称作图；对称点确定
【点评】
本题是中心对称作图的常规基础题，解题核心是熟练运用中心对称的性质定位对称点，格点场景下可以通过数格子的方法快速验证对称点到O点的距离是否相等，作图时要注意标注对应点字母，保证作图规范。
【难度系数】
0.8
9. 下图是$2×2$的正方形网格. 每个小正方形的顶点称为格点，点O和
△ABC的顶点A，B，C均在格点上，只用无刻度的直尺，在图中画出△AEC，使△AEC与△ABC关于点O成中心对称.
△ABC的顶点A，B，C均在格点上，只用无刻度的直尺，在图中画出△AEC，使△AEC与△ABC关于点O成中心对称.
答案
9. 解 如图，$△ AEC$ 即为所求。
解析
【分析】
要画出与△ABC关于点O成中心对称的△AEC，需结合中心对称的性质思考：关于中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。首先观察已知点的位置：O是AC的中点，因此点A的对称点为C，点C的对称点为A；接下来只需找到点B关于点O的对称点E即可：连接BO并延长，结合网格的格点特征，找到延长线上满足BO=OE的格点E，最后顺次连接A、E、C三点即可得到所求三角形。
【解析】
1. 根据中心对称的性质，对称点的连线过对称中心且被对称中心平分，已知O为对称中心，可得点A关于O的对称点是点C，点C关于O的对称点是点A；
2. 连接BO并延长，结合2×2网格的格点分布，在BO的延长线上找到格点E，使得BO=OE，即E为B关于O的对称点；
3. 依次连接AE、EC、CA，所得△AEC即为与△ABC关于点O成中心对称的三角形。
【答案】
如图，$△ AEC$ 即为所求。
【知识点】
中心对称的性质；中心对称作图
【点评】
本题侧重考查中心对称性质的实操应用，需要学生熟练掌握中心对称对应点的位置特征，结合网格特点完成无刻度直尺作图，能有效锻炼学生的几何直观能力和动手操作能力。
【难度系数】
0.8
要画出与△ABC关于点O成中心对称的△AEC，需结合中心对称的性质思考：关于中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。首先观察已知点的位置：O是AC的中点，因此点A的对称点为C，点C的对称点为A；接下来只需找到点B关于点O的对称点E即可：连接BO并延长，结合网格的格点特征，找到延长线上满足BO=OE的格点E，最后顺次连接A、E、C三点即可得到所求三角形。
【解析】
1. 根据中心对称的性质，对称点的连线过对称中心且被对称中心平分，已知O为对称中心，可得点A关于O的对称点是点C，点C关于O的对称点是点A；
2. 连接BO并延长，结合2×2网格的格点分布，在BO的延长线上找到格点E，使得BO=OE，即E为B关于O的对称点；
3. 依次连接AE、EC、CA，所得△AEC即为与△ABC关于点O成中心对称的三角形。
【答案】
如图，$△ AEC$ 即为所求。
【知识点】
中心对称的性质；中心对称作图
【点评】
本题侧重考查中心对称性质的实操应用，需要学生熟练掌握中心对称对应点的位置特征，结合网格特点完成无刻度直尺作图，能有效锻炼学生的几何直观能力和动手操作能力。
【难度系数】
0.8
10. 如图，BO 是等腰三角形 ABC 底边的中线，$AC = 2$，$AB = 4$，$△ PQC$ 与 $△ BOC$ 关于点 C 中心对称，连接 AP，则 AP 的长是（
A.4
B.$4\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{6}$
D
）A.4
B.$4\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{6}$
答案
10. D
解析
【分析】
解题思路如下：首先结合等腰三角形三线合一的性质，确定三角形的边长和垂直关系，计算出BO的长度；再利用中心对称的性质得到对应边、对应角的等量关系，构造出含AP的直角三角形；最后用勾股定理计算AP的长度。第一步先判断等腰△ABC的底边为AC，得到BO⊥AC，O是AC中点，求出OC的长度；第二步在Rt△BOC中用勾股定理求BO；第三步根据中心对称性质得到PQ、CQ的长度和∠Q为直角；第四步求出AQ的长度，在Rt△AQP中计算AP。
【解析】
∵BO是等腰△ABC底边的中线，O在边AC上，
∴△ABC的底边为AC，腰AB=BC=4，且BO⊥AC（等腰三角形三线合一）。
∵AC=2，O是AC中点，
∴OC=AO=1。
在Rt△BOC中，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{BC^2-OC^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$。
∵△PQC与△BOC关于点C中心对称，根据中心对称的性质，两三角形全等，
∴$QC=OC=1$，$PQ=BO=\sqrt{15}$，$∠ Q=∠ BOC=90°$。
∴$AQ=AC+CQ=2+1=3$。
在Rt△AQP中，由勾股定理得：
$AP=\sqrt{AQ^2+PQ^2}=\sqrt{3^2+(\sqrt{15})^2}=\sqrt{9+15}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，中心对称的性质，勾股定理
【点评】
本题将等腰三角形、中心对称、勾股定理三个知识点结合考查，解题的关键是利用中心对称的性质转移边和角的条件，构造直角三角形完成计算，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先结合等腰三角形三线合一的性质，确定三角形的边长和垂直关系，计算出BO的长度；再利用中心对称的性质得到对应边、对应角的等量关系，构造出含AP的直角三角形；最后用勾股定理计算AP的长度。第一步先判断等腰△ABC的底边为AC，得到BO⊥AC，O是AC中点，求出OC的长度；第二步在Rt△BOC中用勾股定理求BO；第三步根据中心对称性质得到PQ、CQ的长度和∠Q为直角；第四步求出AQ的长度，在Rt△AQP中计算AP。
【解析】
∵BO是等腰△ABC底边的中线，O在边AC上，
∴△ABC的底边为AC，腰AB=BC=4，且BO⊥AC（等腰三角形三线合一）。
∵AC=2，O是AC中点，
∴OC=AO=1。
在Rt△BOC中，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{BC^2-OC^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$。
∵△PQC与△BOC关于点C中心对称，根据中心对称的性质，两三角形全等，
∴$QC=OC=1$，$PQ=BO=\sqrt{15}$，$∠ Q=∠ BOC=90°$。
∴$AQ=AC+CQ=2+1=3$。
在Rt△AQP中，由勾股定理得：
$AP=\sqrt{AQ^2+PQ^2}=\sqrt{3^2+(\sqrt{15})^2}=\sqrt{9+15}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，中心对称的性质，勾股定理
【点评】
本题将等腰三角形、中心对称、勾股定理三个知识点结合考查，解题的关键是利用中心对称的性质转移边和角的条件，构造直角三角形完成计算，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
11. 由小正方形组成的$8×8$网格如图所示，每个小正方形的顶点叫作格点，$△ ABC$的顶点在格点上，点$O$，$A_1$也在格点上，小正方形的边长为1. 仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列任务.
(1) 平移$△ ABC$，使点$A$移动到点$A_1$处，画出平移后的$△ A_1B_1C_1$；
(2) 画出$△ ABC$关于点$O$对称的$△ A_2B_2C_2$；
(3) $△ ABC$的面积为________.
(1) 平移$△ ABC$，使点$A$移动到点$A_1$处，画出平移后的$△ A_1B_1C_1$；
(2) 画出$△ ABC$关于点$O$对称的$△ A_2B_2C_2$；
(3) $△ ABC$的面积为________.
答案
11. 解 (1) 如图，$△ A_1 B_1 C_1$ 即为所求。
(2) 如图，$△ A_2 B_2 C_2$ 即为所求。
(3) $\dfrac{5}{2}$
解析
【分析】
1. 平移作图思路：平移的本质是图形上所有点按相同方向、相同距离移动，先确定点A到$A_1$的平移规律，再将B、C两点按该规律平移得到对应点，最后顺次连线即可。
2. 中心对称作图思路：关于点O对称的两个图形，对称点连线经过对称中心O且被O平分，分别作出A、B、C三点关于O的对称点，再顺次连线即可。
3. 面积计算思路：格点三角形面积可采用割补法，将三角形放入矩形内部，用矩形面积减去周围多余直角三角形的面积，即可得到$△ ABC$的面积。
【解析】
(1) 观察点A到点$A_1$的位置变化，得平移规律为：向右平移5个单位长度，向上平移2个单位长度。将点B、C分别按该规律平移，得到对应点$B_1$、$C_1$，顺次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$，得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 连接AO并延长至$A_2$，使$OA_2=OA$，得到点A的对称点$A_2$；同理作出点B的对称点$B_2$、点C的对称点$C_2$，顺次连接$A_2$、$B_2$、$C_2$，得到$△ A_2B_2C_2$。
(3) 用割补法计算面积：
取包含$△ ABC$的最小矩形，矩形长为3、宽为2，面积为$3×2=6$。
矩形内$△ ABC$外的3个直角三角形面积分别为：$S_1=\frac{1}{2}×1×2=1$，$S_2=\frac{1}{2}×2×1=1$，$S_3=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$。
因此$S_{△ ABC}=6-1-1-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) 如图，$△ A_1 B_1 C_1$ 即为所求。
(2) 如图，$△ A_2 B_2 C_2$ 即为所求。
(3) $\dfrac{5}{2}$
【知识点】
平移作图，中心对称作图，割补法求面积
【点评】
本题结合网格考查图形变换作图和格点图形面积计算，属于基础题，要求熟练掌握平移、中心对称的性质，能灵活运用割补法计算不规则图形的面积。
【难度系数】
0.7
1. 平移作图思路：平移的本质是图形上所有点按相同方向、相同距离移动，先确定点A到$A_1$的平移规律，再将B、C两点按该规律平移得到对应点，最后顺次连线即可。
2. 中心对称作图思路：关于点O对称的两个图形，对称点连线经过对称中心O且被O平分，分别作出A、B、C三点关于O的对称点，再顺次连线即可。
3. 面积计算思路：格点三角形面积可采用割补法，将三角形放入矩形内部，用矩形面积减去周围多余直角三角形的面积，即可得到$△ ABC$的面积。
【解析】
(1) 观察点A到点$A_1$的位置变化，得平移规律为：向右平移5个单位长度，向上平移2个单位长度。将点B、C分别按该规律平移，得到对应点$B_1$、$C_1$，顺次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$，得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 连接AO并延长至$A_2$，使$OA_2=OA$，得到点A的对称点$A_2$；同理作出点B的对称点$B_2$、点C的对称点$C_2$，顺次连接$A_2$、$B_2$、$C_2$，得到$△ A_2B_2C_2$。
(3) 用割补法计算面积：
取包含$△ ABC$的最小矩形，矩形长为3、宽为2，面积为$3×2=6$。
矩形内$△ ABC$外的3个直角三角形面积分别为：$S_1=\frac{1}{2}×1×2=1$，$S_2=\frac{1}{2}×2×1=1$，$S_3=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$。
因此$S_{△ ABC}=6-1-1-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) 如图，$△ A_1 B_1 C_1$ 即为所求。
(2) 如图，$△ A_2 B_2 C_2$ 即为所求。
(3) $\dfrac{5}{2}$
【知识点】
平移作图，中心对称作图，割补法求面积
【点评】
本题结合网格考查图形变换作图和格点图形面积计算，属于基础题，要求熟练掌握平移、中心对称的性质，能灵活运用割补法计算不规则图形的面积。
【难度系数】
0.7
12. 如图，正方形ABCD与正方形A'B'C'D'关于点O对称，若正方形ABCD的边长为1，设图形重合部分的面积为y，线段OB的长为x，求y关于x的函数解析式.
答案
12. $y=2x^2 -4\sqrt{2}x +4$
解析
【分析】
解题时首先利用正方形边长求出其对角线长度，再结合中心对称的性质判断重合部分为正方形，推导重合部分正方形的对角线长与x的数量关系，最后利用对角线求正方形面积的公式计算，化简后即可得到y关于x的函数解析式。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的边长为1，
∴其对角线BD的长度为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
∵正方形ABCD与正方形$A'B'C'D'$关于点O中心对称，
∴两图形重合部分为正方形，且该重合正方形的对角线长为$2(\sqrt{2}-x)$。
根据正方形面积公式（$S=\frac{1}{2}l^2$，$l$为对角线长）可得：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}×[2(\sqrt{2}-x)]^2\\&=\frac{1}{2}×4×(\sqrt{2}-x)^2\\&=2(x^2-2\sqrt{2}x+2)\\&=2x^2-4\sqrt{2}x+4\end{aligned}$
其中自变量取值范围为$\frac{\sqrt{2}}{2}≤ x≤\sqrt{2}$。
【答案】
$y=2x^2 -4\sqrt{2}x +4$（$\frac{\sqrt{2}}{2}≤ x≤\sqrt{2}$）
【知识点】
中心对称的性质；正方形的性质；正方形面积计算
【点评】
本题综合考查中心对称与正方形的相关知识，解题的核心是准确判断重合部分的图形形状，找到其对角线长度与已知线段x的关系，再代入对应面积公式化简即可，解题时注意结合图形分析线段的数量关系。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用正方形边长求出其对角线长度，再结合中心对称的性质判断重合部分为正方形，推导重合部分正方形的对角线长与x的数量关系，最后利用对角线求正方形面积的公式计算，化简后即可得到y关于x的函数解析式。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的边长为1，
∴其对角线BD的长度为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
∵正方形ABCD与正方形$A'B'C'D'$关于点O中心对称，
∴两图形重合部分为正方形，且该重合正方形的对角线长为$2(\sqrt{2}-x)$。
根据正方形面积公式（$S=\frac{1}{2}l^2$，$l$为对角线长）可得：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}×[2(\sqrt{2}-x)]^2\\&=\frac{1}{2}×4×(\sqrt{2}-x)^2\\&=2(x^2-2\sqrt{2}x+2)\\&=2x^2-4\sqrt{2}x+4\end{aligned}$
其中自变量取值范围为$\frac{\sqrt{2}}{2}≤ x≤\sqrt{2}$。
【答案】
$y=2x^2 -4\sqrt{2}x +4$（$\frac{\sqrt{2}}{2}≤ x≤\sqrt{2}$）
【知识点】
中心对称的性质；正方形的性质；正方形面积计算
【点评】
本题综合考查中心对称与正方形的相关知识，解题的核心是准确判断重合部分的图形形状，找到其对角线长度与已知线段x的关系，再代入对应面积公式化简即可，解题时注意结合图形分析线段的数量关系。
【难度系数】
0.6
