学习任务一 弧长公式
在半径为$R$的圆中，$n°$的圆心角所对的弧长
$l=$.

$\frac{nπ R}{180}$

【分析】
要推导n°圆心角对应的弧长，首先明确整个圆的周长对应360°圆心角，弧长与圆心角的大小成正比，因此可以先求出1°圆心角对应的弧长，再乘以n即可得到n°圆心角对应的弧长。思考时先回忆圆的周长公式，再结合圆心角的占比求解对应弧长。
【解析】
已知半径为$ R $的圆，其周长为$ C=2π R $，整个圆周对应的圆心角为$ 360° $。
1. 先求$ 1° $圆心角所对的弧长：将圆周长平均分成360份，每份就是$ 1° $圆心角对应的弧长，即$ \frac{2π R}{360}=\frac{π R}{180} $。
2. 再求$ n° $圆心角所对的弧长：$ n° $对应的弧长是$ 1° $对应弧长的n倍，因此$ l = n×\frac{π R}{180}=\frac{nπ R}{180} $。
【答案】
$\frac{nπ R}{180}$
【知识点】
弧长公式；圆的周长计算
【点评】
本题是弧长相关计算的基础题，掌握弧长公式的推导逻辑，能帮助我们更好地理解弧长和圆心角、半径的关联，为后续扇形面积、圆锥侧面积等相关计算打好基础。
【难度系数】
0.9

1.扇形:由组成圆心角的两条和圆心角所对的围成的图形叫作扇形。
2.扇形面积公式
（1）在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形的面积$ S_{扇形} = $；
（2）在半径为R的圆中，设n°的圆心角所对的弧长是l，所对的扇形面积是S，则S==$\frac{1}{2}$ • =。

1.半径 弧
2.(1)$\frac{nπ R^2}{360}$
(2)$\frac{nπ R^2}{360}$；$\frac{nπ R}{180} · R$；$\frac{1}{2}lR$

【分析】
这道题主要考查扇形的基本定义和扇形面积公式的推导与识记。解题时首先回忆扇形的构成要素完成第一道填空题，再结合圆的面积公式推导圆心角对应的扇形面积表达式，最后结合弧长公式完成扇形面积的第二种表达形式的填空即可。
【解析】
1. 根据扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形，因此两个空依次填半径、弧。
2.（1）半径为R的圆的面积为$π R^2$，$n°$圆心角的扇形面积占整个圆面积的$\frac{n}{360}$，因此$S_{扇形}=\frac{nπ R^2}{360}$。
（2）结合弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，将其代入扇形面积公式可得：$S=\frac{nπ R^2}{360}=\frac{1}{2}·\frac{nπ R}{180}·R=\frac{1}{2}lR$，依次填写对应表达式即可。
【答案】
1.半径 弧
2.(1)$\frac{nπ R^2}{360}$
(2)$\frac{nπ R^2}{360}$；$\frac{nπ R}{180} · R$；$\frac{1}{2}lR$
【知识点】
扇形的定义、扇形面积公式、弧长公式
【点评】
本题属于基础识记类题目，核心考查对扇形相关概念和公式的掌握程度，牢记相关定义、公式是解题的关键，这类基础内容是后续解决复杂组合图形面积计算问题的重要基础。
【难度系数】
0.9

【例1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则$\overset{\frown}{AC}$的长为（）


A.$2π$
B.$π$
C.$\frac{π}{2}$
D.$\frac{π}{3}$

B

【分析】
要计算$\overset{\frown}{AC}$的长，首先需要求出$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角度数，再结合已知的半径利用弧长公式计算即可。解题思路为：第一步，根据圆内接四边形对角互补的性质，求出与∠B互补的∠D的度数；第二步，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得到$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角度数；第三步，代入弧长公式计算结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴ ∠B + ∠D = 180°（圆内接四边形对角互补）
已知∠B=135°，代入得：
∠D = 180° - 135° = 45°
$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角为∠D，根据圆周角定理，$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角∠AOC = 2∠D = 2×45° = 90°
已知⊙O的半径r=2，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中n为圆心角度数），代入n=90，r=2得：
$l_{\overset{\frown}{AC}}=\frac{90× π × 2}{180}=π$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；弧长计算
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用考题，解题的核心是通过圆周角与圆心角的关系求出对应弧的圆心角度数，熟练掌握基础性质和公式即可快速解答。
【难度系数】
0.8

思路分析
思考1:要求$\overset{\frown}{AC}$的长,已知半径的长,需求出的度数,因此需连接和.
思考2:由已知的$∠ B=135°$可得$∠ D=$,则$∠ AOC=$.
【规律方法】
利用弧长公式的步骤
第1步:从问题中找出公式所涉及的三个量(弧长、弧所对的圆心角、半径)中的两个；
第2步:把已知的两个量代入弧长公式；
第3步:求出公式中的未知量.

思考1:$\overset{\frown}{AC}$所对圆心角；OA；OC
思考2:$45°$；$90°$

【分析】
要计算弧长，首先回忆弧长计算公式$l=\frac{nπ r}{180}$，公式需要弧所对的圆心角度数$n$、半径$r$两个已知量才能求出弧长$l$。题目已经给出半径，因此第一步需要先求$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角度数，圆心角顶点在圆心，所以需要连接两条半径OA、OC构造出圆心角$∠ AOC$。接下来求圆心角的度数：已知圆内接四边形的内角$∠ B=135°$，利用圆内接四边形对角互补可先求出$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角$∠ D$的度数，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，就能求出圆心角$∠ AOC$的度数，完成填空。
【解析】
思考1：根据弧长公式，计算弧长需要知道弧所对的圆心角度数和半径长度，已知半径，因此需求出$\overset{\frown}{AC}$所对圆心角的度数；圆心角是以圆心为顶点、半径为边的角，因此需连接OA和OC。
思考2：圆内接四边形对角互补，$∠ B$与$∠ D$是圆内接四边形的一组对角，因此$∠ D=180°-∠ B=180°-135°=45°$；$∠ D$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠ AOC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此$∠ AOC=2×45°=90°$。
【答案】
思考1:$\overset{\frown}{AC}$所对圆心角；OA；OC
思考2:$45°$；$90°$
【知识点】
弧长公式；圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是弧长计算的基础应用型题目，重点考察弧长公式的应用前提，结合圆的基础性质求解圆心角，熟练掌握相关基础定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8

1.如图，$\odot O$的半径为2，直径AB，CD互相垂直，则$\overset{\frown}{BC}$的长是（）

A.$\frac{π}{4}$
B.$\frac{π}{2}$
C.$π$
D.$2π$

C

【分析】
要求$\overset{\frown}{BC}$的长，首先回忆弧长计算公式：$l=\frac{nπ r}{180}$，其中n是弧所对圆心角的度数，r是圆的半径。因此我们需要先确定两个条件：①$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角的度数；②圆的半径。已知圆的半径为2，再根据直径AB、CD互相垂直，可推出圆心角$∠ BOC=90°$，最后将数值代入公式即可求出弧长。
【解析】
解：
∵直径AB与CD互相垂直
∴$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角$∠ BOC=90°$
已知$\odot O$的半径$r=2$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入$n=90$，$r=2$得：
$\overset{\frown}{BC}$的长$=\frac{90×π×2}{180}=π$
【答案】
C
【知识点】
弧长计算，垂直的定义
【点评】
本题属于基础题，重点考查弧长公式的应用，解题的关键是准确找到弧对应的圆心角度数，牢记弧长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8