登录
1. 下列方程属于一元二次方程的是（
A.$x + y = 1$
B.$x^2 + x = 0$
C.$x + \frac{1}{x^2} = 4$
D.$1 - 2x = x$
B
）A.$x + y = 1$
B.$x^2 + x = 0$
C.$x + \frac{1}{x^2} = 4$
D.$1 - 2x = x$
答案
1.B
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，需先明确一元二次方程的三个判定条件：①属于整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，三个条件需同时满足。解题时只需逐一验证每个选项是否符合上述三个条件即可得出答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
对各选项逐一分析：
A选项：方程含有x、y两个未知数，属于二元一次方程，不符合一元二次方程定义，排除；
B选项：只含有未知数x，x的最高次数为2，且是整式方程，满足一元二次方程的全部条件，符合要求；
C选项：分母中含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除；
D选项：未知数x的最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求，排除。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；整式方程的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确掌握一元二次方程的三个判定要素，尤其要注意先判断方程是否为整式方程，避免将分式方程错判为整式方程。
【难度系数】
0.9
要判断一个方程是否为一元二次方程，需先明确一元二次方程的三个判定条件：①属于整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，三个条件需同时满足。解题时只需逐一验证每个选项是否符合上述三个条件即可得出答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
对各选项逐一分析：
A选项：方程含有x、y两个未知数，属于二元一次方程，不符合一元二次方程定义，排除；
B选项：只含有未知数x，x的最高次数为2，且是整式方程，满足一元二次方程的全部条件，符合要求；
C选项：分母中含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除；
D选项：未知数x的最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求，排除。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；整式方程的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确掌握一元二次方程的三个判定要素，尤其要注意先判断方程是否为整式方程，避免将分式方程错判为整式方程。
【难度系数】
0.9
2. 若方程$x^{m+1}-(m-3)x-2=0$是关于$x$的一元二次方程，则$m$的值为（
A.0
B.$\pm1$
C.1
D.$-1$
C
）A.0
B.$\pm1$
C.1
D.$-1$
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程的核心判定条件：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程，且二次项系数不为0。本题已经明确是关于x的一元二次方程，且仅含x一个未知数、属于整式方程，因此只需满足“x的最高次数为2，且二次项系数不为0”两个条件即可。首先根据最高次数为2列方程求m的取值，再验证二次项系数是否符合要求就能得到结果。
【解析】
解：
∵方程$x^{m+1}-(m-3)x-2=0$是关于$x$的一元二次方程
∴未知数$x$的最高次数为2，即$m+1=2$
解得$m=1$
此时二次项为$x^2$，系数为$1≠0$，满足一元二次方程的要求
故$m$的值为1，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢牢抓住一元二次方程“最高次次数为2、二次项系数不为0”的核心判定条件，不要被一次项系数的取值干扰判断。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆一元二次方程的核心判定条件：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程，且二次项系数不为0。本题已经明确是关于x的一元二次方程，且仅含x一个未知数、属于整式方程，因此只需满足“x的最高次数为2，且二次项系数不为0”两个条件即可。首先根据最高次数为2列方程求m的取值，再验证二次项系数是否符合要求就能得到结果。
【解析】
解：
∵方程$x^{m+1}-(m-3)x-2=0$是关于$x$的一元二次方程
∴未知数$x$的最高次数为2，即$m+1=2$
解得$m=1$
此时二次项为$x^2$，系数为$1≠0$，满足一元二次方程的要求
故$m$的值为1，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢牢抓住一元二次方程“最高次次数为2、二次项系数不为0”的核心判定条件，不要被一次项系数的取值干扰判断。
【难度系数】
0.8
3. 一元二次方程$3x^2 -4x -2=0$的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（
A.3,4,2
B.3,4,-2
C.3,-4,2
D.3,-4,-2
D
）A.3,4,2
B.3,4,-2
C.3,-4,2
D.3,-4,-2
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程的一般形式，明确二次项系数、一次项系数、常数项的定义，需要特别注意：确定各项系数时必须连同项前面的正负号一起判断，不能遗漏符号。本题给出的方程已经是标准的一般形式，直接对应各项提取系数即可得到结果。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。
将给定方程$3x^2 -4x -2=0$与一般形式对照：
二次项为$3x^2$，系数为3；
一次项为$-4x$，系数为-4；
常数项为-2。
因此对应的选项为D。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程的一般形式
2.一元二次方程系数识别
【点评】
本题是基础概念类题目，核心考查对一元二次方程各项系数的判断能力，解题的易错点是容易忽略项前面的负号，属于一元二次方程章节的入门考点。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆一元二次方程的一般形式，明确二次项系数、一次项系数、常数项的定义，需要特别注意：确定各项系数时必须连同项前面的正负号一起判断，不能遗漏符号。本题给出的方程已经是标准的一般形式，直接对应各项提取系数即可得到结果。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。
将给定方程$3x^2 -4x -2=0$与一般形式对照：
二次项为$3x^2$，系数为3；
一次项为$-4x$，系数为-4；
常数项为-2。
因此对应的选项为D。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程的一般形式
2.一元二次方程系数识别
【点评】
本题是基础概念类题目，核心考查对一元二次方程各项系数的判断能力，解题的易错点是容易忽略项前面的负号，属于一元二次方程章节的入门考点。
【难度系数】
0.9
4. 将一元二次方程$x(x+1)=3x^2-2$化为一般形式为（
A.$x^2 - 2x - 2 = 0$
B.$2x^2 - x - 2 = 0$
C.$-2x^2 + x - 2 = 0$
D.$2x^2 - 3 = 0$
B
）A.$x^2 - 2x - 2 = 0$
B.$2x^2 - x - 2 = 0$
C.$-2x^2 + x - 2 = 0$
D.$2x^2 - 3 = 0$
答案
4.B
解析
【分析】
要将给定方程化为一元二次方程的一般形式，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$，$a,b,c$为常数），解题思路为：①先利用整式乘法展开方程左边的乘积项；②通过移项将所有项移到等号的同一侧，移项时注意符号变化；③合并同类项后，通常将二次项系数化为正数，再对比选项得到结果。
【解析】
步骤1：展开方程左边的整式：
$x(x+1)=x^2+x$，原方程可化为：
$x^2+x=3x^2-2$
步骤2：移项，将所有项移到等号左侧，使右侧为0：
$x^2+x -3x^2 +2=0$
步骤3：合并同类项，调整二次项系数为正数：
合并得$-2x^2+x+2=0$，两边同时乘$-1$得：
$2x^2 -x -2=0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程的一般形式
2.整式乘法运算
3.合并同类项
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程一般形式的化简，解题时需注意移项时的符号变化，通常将二次项系数调整为正数，便于后续解方程等相关运算。
【难度系数】
0.8
要将给定方程化为一元二次方程的一般形式，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$，$a,b,c$为常数），解题思路为：①先利用整式乘法展开方程左边的乘积项；②通过移项将所有项移到等号的同一侧，移项时注意符号变化；③合并同类项后，通常将二次项系数化为正数，再对比选项得到结果。
【解析】
步骤1：展开方程左边的整式：
$x(x+1)=x^2+x$，原方程可化为：
$x^2+x=3x^2-2$
步骤2：移项，将所有项移到等号左侧，使右侧为0：
$x^2+x -3x^2 +2=0$
步骤3：合并同类项，调整二次项系数为正数：
合并得$-2x^2+x+2=0$，两边同时乘$-1$得：
$2x^2 -x -2=0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程的一般形式
2.整式乘法运算
3.合并同类项
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程一般形式的化简，解题时需注意移项时的符号变化，通常将二次项系数调整为正数，便于后续解方程等相关运算。
【难度系数】
0.8
5. 下列各数中,是一元二次方程$x^2+3x+2=0$的根的是 (
A.-2
B.0
C.2
D.3
A
)A.-2
B.0
C.2
D.3
答案
5.A
解析
【分析】
判断某数是否为一元二次方程的根有两种常见思路：一是代入验证法，将选项中的数值代入方程左边，若计算结果等于方程右边的0，则该数是方程的根；二是直接求解一元二次方程，得到方程的根后匹配对应选项即可，两种方法都可以快速得到结果。
【解析】
方法一：代入验证法
将各选项分别代入方程$x^2+3x+2=0$的左边计算：
选项A：当$x=-2$时，左边$=(-2)^2 + 3×(-2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$，左边=右边，故$x=-2$是方程的根；
选项B：当$x=0$时，左边$=0^2 + 3×0 + 2 = 2 ≠ 0$，不是方程的根；
选项C：当$x=2$时，左边$=2^2 + 3×2 + 2 = 4 + 6 + 2 = 12 ≠ 0$，不是方程的根；
选项D：当$x=3$时，左边$=3^2 + 3×3 + 2 = 9 + 9 + 2 = 20 ≠ 0$，不是方程的根。
方法二：直接求解法
对原方程因式分解得：$(x+1)(x+2)=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=-2$，对应选项中只有-2是方程的根。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程根的相关基础题，考察对根的定义的理解和基础计算能力，掌握代入验证法或简单的因式分解解法即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
判断某数是否为一元二次方程的根有两种常见思路：一是代入验证法，将选项中的数值代入方程左边，若计算结果等于方程右边的0，则该数是方程的根；二是直接求解一元二次方程，得到方程的根后匹配对应选项即可，两种方法都可以快速得到结果。
【解析】
方法一：代入验证法
将各选项分别代入方程$x^2+3x+2=0$的左边计算：
选项A：当$x=-2$时，左边$=(-2)^2 + 3×(-2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$，左边=右边，故$x=-2$是方程的根；
选项B：当$x=0$时，左边$=0^2 + 3×0 + 2 = 2 ≠ 0$，不是方程的根；
选项C：当$x=2$时，左边$=2^2 + 3×2 + 2 = 4 + 6 + 2 = 12 ≠ 0$，不是方程的根；
选项D：当$x=3$时，左边$=3^2 + 3×3 + 2 = 9 + 9 + 2 = 20 ≠ 0$，不是方程的根。
方法二：直接求解法
对原方程因式分解得：$(x+1)(x+2)=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=-2$，对应选项中只有-2是方程的根。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程根的相关基础题，考察对根的定义的理解和基础计算能力，掌握代入验证法或简单的因式分解解法即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
6. 已知一元二次方程$x^2 - 3x + m = 0$的一个根为1，则m的值为（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
6.B
解析
【分析】
已知一元二次方程的根求未知参数，解题核心是利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。只需将已知根x=1代入原方程，即可得到关于m的一元一次方程，解该方程就能求出m的值。
【解析】
解：
∵x=1是一元二次方程$x^2 - 3x + m = 0$的根
∴将x=1代入原方程，等式成立，可得：
$1^2 - 3×1 + m = 0$
计算整理得：$1-3+m=0$，即$m-2=0$
解得：$m=2$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 代入法求参数
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对一元二次方程根的定义的理解与应用，掌握“方程的根代入原方程等式成立”这一核心要点即可快速求解。
【难度系数】
0.9
已知一元二次方程的根求未知参数，解题核心是利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。只需将已知根x=1代入原方程，即可得到关于m的一元一次方程，解该方程就能求出m的值。
【解析】
解：
∵x=1是一元二次方程$x^2 - 3x + m = 0$的根
∴将x=1代入原方程，等式成立，可得：
$1^2 - 3×1 + m = 0$
计算整理得：$1-3+m=0$，即$m-2=0$
解得：$m=2$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 代入法求参数
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对一元二次方程根的定义的理解与应用，掌握“方程的根代入原方程等式成立”这一核心要点即可快速求解。
【难度系数】
0.9
7. 某校准备修建一个面积为$181\ \mathrm{m}^2$的矩形活动场地，它的长比宽多11 m，设场地的宽为$x$ m，则可列方程 (
A.$x(x-11)=181$
B.$x(x+11)=181$
C.$2x+2x(x-11)=181$
D.$2x+2x(x+11)=181$
B
)A.$x(x-11)=181$
B.$x(x+11)=181$
C.$2x+2x(x-11)=181$
D.$2x+2x(x+11)=181$
答案
7.B
解析
【分析】
要解决这道列方程的题目，首先需明确题目中的等量关系：矩形场地的面积=长×宽。已知宽为x m，先根据“长比宽多11 m”表示出长的长度，再代入面积公式即可列出对应方程，解题时注意区分矩形面积公式和周长公式，避免误选带周长计算的选项。
【解析】
已知设场地的宽为$x$ m，
∵长比宽多11 m，
∴矩形的长为$(x+11)$ m，
又
∵矩形面积=长×宽，且场地面积为$181\ \mathrm{m}^2$，
∴代入得：$x(x+11)=181$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列一元二次方程；矩形面积公式
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查根据实际问题中的等量关系列方程的能力，只要熟练掌握矩形面积公式，找准长和宽的数量关系，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道列方程的题目，首先需明确题目中的等量关系：矩形场地的面积=长×宽。已知宽为x m，先根据“长比宽多11 m”表示出长的长度，再代入面积公式即可列出对应方程，解题时注意区分矩形面积公式和周长公式，避免误选带周长计算的选项。
【解析】
已知设场地的宽为$x$ m，
∵长比宽多11 m，
∴矩形的长为$(x+11)$ m，
又
∵矩形面积=长×宽，且场地面积为$181\ \mathrm{m}^2$，
∴代入得：$x(x+11)=181$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列一元二次方程；矩形面积公式
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查根据实际问题中的等量关系列方程的能力，只要熟练掌握矩形面积公式，找准长和宽的数量关系，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
8. 某学校要组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场），计划安排21场比赛，应邀请多少支球队参赛？设应邀请x支球队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（
A.$x^2=21$
B.$\dfrac{1}{2}x(x-1)=21$
C.$x(x-1)=21$
D.$\dfrac{1}{2}x(x+1)=21$
B
）A.$x^2=21$
B.$\dfrac{1}{2}x(x-1)=21$
C.$x(x-1)=21$
D.$\dfrac{1}{2}x(x+1)=21$
答案
8.B
解析
【分析】
首先明确单循环赛制的规则：每两支球队之间仅比赛1场，不存在重复对阵的情况。解题时先推导x支球队每队的参赛场次，再注意直接累加所有球队场次会出现重复计算的问题，由此推导总场次的代数式，结合已知的总场次21场即可列出对应方程，要注意区分单循环和双循环赛制的计数差异，避免选错。
【解析】
设应邀请x支球队参赛：
1. 每支球队需要与除自身外的其余$(x-1)$支球队各比赛1场，若直接累加所有球队的参赛场次，总场次为$x(x-1)$；
2. 由于单循环赛制中，A队对阵B队和B队对阵A队实际是同一场比赛，上述计算方式将每场比赛重复计算了2次，因此实际总比赛场数应为$\dfrac{1}{2}x(x-1)$；
3. 已知计划安排21场比赛，因此可列方程：$\dfrac{1}{2}x(x-1)=21$。
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 单循环计数问题
【点评】
本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题核心是理解单循环赛制的计数逻辑，避免因忽略重复计数错选C，掌握计数规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先明确单循环赛制的规则：每两支球队之间仅比赛1场，不存在重复对阵的情况。解题时先推导x支球队每队的参赛场次，再注意直接累加所有球队场次会出现重复计算的问题，由此推导总场次的代数式，结合已知的总场次21场即可列出对应方程，要注意区分单循环和双循环赛制的计数差异，避免选错。
【解析】
设应邀请x支球队参赛：
1. 每支球队需要与除自身外的其余$(x-1)$支球队各比赛1场，若直接累加所有球队的参赛场次，总场次为$x(x-1)$；
2. 由于单循环赛制中，A队对阵B队和B队对阵A队实际是同一场比赛，上述计算方式将每场比赛重复计算了2次，因此实际总比赛场数应为$\dfrac{1}{2}x(x-1)$；
3. 已知计划安排21场比赛，因此可列方程：$\dfrac{1}{2}x(x-1)=21$。
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 单循环计数问题
【点评】
本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题核心是理解单循环赛制的计数逻辑，避免因忽略重复计数错选C，掌握计数规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9. 若关于x的一元二次方程$(m-3)x^2 + m^2x = 9x +5$化为一般形式后不含一次项，则m的值为（
A.0
B.$\pm3$
C.3
D.$-3$
D
）A.0
B.$\pm3$
C.3
D.$-3$
答案
9.D
解析
【分析】
解题时首先明确两个核心条件：①题干明确该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②化为一般形式后不含一次项，即一次项的系数为0。首先第一步将原方程移项、合并同类项整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，再分别根据两个条件列不等式和方程，联立求解即可得到m的值，注意舍去不符合二次项系数要求的解。
【解析】
首先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
移项，得$(m-3)x^2 + m^2x -9x -5 = 0$
合并同类项，得$(m-3)x^2 + (m^2 -9)x -5 = 0$
∵ 该方程是一元二次方程，
∴ 二次项系数不为0，即：
$m-3≠0$，解得$m≠3$
又
∵ 化为一般形式后不含一次项，
∴ 一次项系数为0，即：
$m^2 -9 = 0$
解得$m=3$或$m=-3$
结合$m≠3$的限制条件，得$m=-3$
故本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的一般形式
3. 多项式不含项的条件
【点评】
本题是一元二次方程概念类的典型易错题，解题的关键是不要忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含限制条件，很多同学容易仅根据一次项系数为0得到$m=\pm3$而错选，解题时要先根据方程类型确定系数的限制要求，再结合其他条件求解。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确两个核心条件：①题干明确该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②化为一般形式后不含一次项，即一次项的系数为0。首先第一步将原方程移项、合并同类项整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，再分别根据两个条件列不等式和方程，联立求解即可得到m的值，注意舍去不符合二次项系数要求的解。
【解析】
首先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
移项，得$(m-3)x^2 + m^2x -9x -5 = 0$
合并同类项，得$(m-3)x^2 + (m^2 -9)x -5 = 0$
∵ 该方程是一元二次方程，
∴ 二次项系数不为0，即：
$m-3≠0$，解得$m≠3$
又
∵ 化为一般形式后不含一次项，
∴ 一次项系数为0，即：
$m^2 -9 = 0$
解得$m=3$或$m=-3$
结合$m≠3$的限制条件，得$m=-3$
故本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的一般形式
3. 多项式不含项的条件
【点评】
本题是一元二次方程概念类的典型易错题，解题的关键是不要忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含限制条件，很多同学容易仅根据一次项系数为0得到$m=\pm3$而错选，解题时要先根据方程类型确定系数的限制要求，再结合其他条件求解。
【难度系数】
0.6
10. 已知$ a $是方程$ x^2 - 2026x + 1 = 0 $的一个根，则$ a^2 - 2025a + \frac{2026}{a^2 + 1} $的值为
2 025
。答案
10. 2 025
解析:$\because a$是方程$x^2-2\ 026x+1=0$的一个根,
$\therefore a^2-2\ 026a+1=0$.
$\therefore a^2+1=2\ 026a,a^2-2\ 026a=-1$.
$\therefore a^2-2\ 025a+\frac{2\ 026}{a^2+1}=a^2-2\ 026a+a+\frac{2\ 026}{2\ 026a}=-1+a+\frac{1}{a}=\frac{a^2+1}{a}-1=\frac{2\ 026a}{a}-1=2\ 025$.
解析:$\because a$是方程$x^2-2\ 026x+1=0$的一个根,
$\therefore a^2-2\ 026a+1=0$.
$\therefore a^2+1=2\ 026a,a^2-2\ 026a=-1$.
$\therefore a^2-2\ 025a+\frac{2\ 026}{a^2+1}=a^2-2\ 026a+a+\frac{2\ 026}{2\ 026a}=-1+a+\frac{1}{a}=\frac{a^2+1}{a}-1=\frac{2\ 026a}{a}-1=2\ 025$.
解析
【分析】
解决本题的核心思路是利用一元二次方程根的定义，无需计算a的具体值，通过整体代换降次化简求解。首先将根a代入原方程得到关于a的等式，再对等式变形得到$a^2$、$a^2+1$的等价表达式，最后将表达式整体代入待求代数式，逐步化简即可得到结果。
【解析】
$\because a$是方程$x^2 - 2026x + 1 = 0$的一个根，
$\therefore$将$x=a$代入方程得：$a^2 - 2026a + 1 = 0$，
变形可得：$a^2 + 1 = 2026a$，$a^2 = 2026a - 1$，且$a≠0$（若$a=0$，代入原方程左边为1，与右边0矛盾）。
将上述式子代入待求式：
$\begin{aligned}a^2 - 2025a + \frac{2026}{a^2 + 1}&=(2026a - 1) - 2025a + \frac{2026}{2026a}\\&=a - 1 + \frac{1}{a}\\&=\frac{a^2 + 1}{a} - 1\\&=\frac{2026a}{a} - 1\\&=2026 - 1\\&=2025\end{aligned}$
【答案】
$2025$
【知识点】
一元二次方程根的定义、整体代入求值、代数式化简
【点评】
本题是一元二次方程代数式求值的典型题型，重点考查整体代换思想，通过对根满足的等式变形后代入计算，可避免直接求根的复杂运算，熟练掌握降次代换的思路能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心思路是利用一元二次方程根的定义，无需计算a的具体值，通过整体代换降次化简求解。首先将根a代入原方程得到关于a的等式，再对等式变形得到$a^2$、$a^2+1$的等价表达式，最后将表达式整体代入待求代数式，逐步化简即可得到结果。
【解析】
$\because a$是方程$x^2 - 2026x + 1 = 0$的一个根，
$\therefore$将$x=a$代入方程得：$a^2 - 2026a + 1 = 0$，
变形可得：$a^2 + 1 = 2026a$，$a^2 = 2026a - 1$，且$a≠0$（若$a=0$，代入原方程左边为1，与右边0矛盾）。
将上述式子代入待求式：
$\begin{aligned}a^2 - 2025a + \frac{2026}{a^2 + 1}&=(2026a - 1) - 2025a + \frac{2026}{2026a}\\&=a - 1 + \frac{1}{a}\\&=\frac{a^2 + 1}{a} - 1\\&=\frac{2026a}{a} - 1\\&=2026 - 1\\&=2025\end{aligned}$
【答案】
$2025$
【知识点】
一元二次方程根的定义、整体代入求值、代数式化简
【点评】
本题是一元二次方程代数式求值的典型题型，重点考查整体代换思想，通过对根满足的等式变形后代入计算，可避免直接求根的复杂运算，熟练掌握降次代换的思路能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.6
11.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱.试问6210文能买多少株椽?设这批椽有x株,则可列方程为
.
$3x(x-1)=6\ 210$
.
答案
11. $3x(x-1)=6\ 210$
解析
【分析】
解题的核心是找准题目中的等量关系，分两步推导：首先明确“少拿一株椽的运费=1株椽的单价”，再利用“总费用=椽的单价×椽的数量”列方程。首先设椽的总数量为x株，先计算少拿1株后(x-1)株椽的运费，该运费即为1株椽的单价，最后结合总费用6210文即可列出方程。
【解析】
设这批椽有x株：
1. 少拿1株椽时，实际运输的椽数量为$(x-1)$株，已知每株运费3文，因此这部分的总运费为$3(x-1)$文；
2. 由题意可知，该运费恰好等于1株椽的价钱，即1株椽的单价为$3(x-1)$文；
3. 根据“总费用=单价×数量”，x株椽的总费用为6210文，可列方程：
$x·3(x-1)=6210$，整理得$3x(x-1)=6210$。
【答案】
$3x(x-1)=6210$
【知识点】
一元二次方程应用，等量关系确定
【点评】
本题结合古代数学记载的实际问题，考查学生提取信息、建立等量关系列方程的能力，解题的关键是理解运费和椽单价的对应关系，审题时注意理清各数量之间的联系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题的核心是找准题目中的等量关系，分两步推导：首先明确“少拿一株椽的运费=1株椽的单价”，再利用“总费用=椽的单价×椽的数量”列方程。首先设椽的总数量为x株，先计算少拿1株后(x-1)株椽的运费，该运费即为1株椽的单价，最后结合总费用6210文即可列出方程。
【解析】
设这批椽有x株：
1. 少拿1株椽时，实际运输的椽数量为$(x-1)$株，已知每株运费3文，因此这部分的总运费为$3(x-1)$文；
2. 由题意可知，该运费恰好等于1株椽的价钱，即1株椽的单价为$3(x-1)$文；
3. 根据“总费用=单价×数量”，x株椽的总费用为6210文，可列方程：
$x·3(x-1)=6210$，整理得$3x(x-1)=6210$。
【答案】
$3x(x-1)=6210$
【知识点】
一元二次方程应用，等量关系确定
【点评】
本题结合古代数学记载的实际问题，考查学生提取信息、建立等量关系列方程的能力，解题的关键是理解运费和椽单价的对应关系，审题时注意理清各数量之间的联系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
