知识点3）一元二次方程的解（根）
概念：使一元二次方程的的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。
判断一个数是不是一元二次方程的解的方法（代入检验法）：
数→代入方程→
左边=右边→是方程的解
左边≠右边→不是方程的解
例如：$x=3$和$x=2$都是一元二次方程$x^2-5x+6=0$的解（根）。
重点提示：
在一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中：
若$a+b+c=0$，则$x=1$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一个根；
若$a-b+c=0$，则$x=-1$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一个根。
知识点4）根据实际问题列一元二次方程
正确理解题目含义→找出其中的数量关系和等量关系→列出一元二次方程

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。

【分析】
这道题考查一元二次方程解（根）的基本概念，解题时可先回忆一般方程解的通用定义，再迁移到一元二次方程的场景即可：所有整式方程的解的本质都是能让方程左右两边计算结果相等的未知数的取值，一元二次方程的解别名是根，直接对应填写空缺内容即可。
【解析】
根据方程解的通用定义，能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，对应到一元二次方程中，使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根，因此空缺处依次填入“左右两边相等”“未知数”。
【答案】
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.方程的解的概念
【点评】
本题属于基础概念识记类题型，直接考查对一元二次方程解的定义的掌握，牢记核心概念即可快速答题。
【难度系数】
0.9

例 已知方程$x^2 - mx(2x+1)=x$.
(1)当$m$为何值时,原方程是一元一次方程? 并求出此方程的解.
(2)当$m$为何值时,原方程是一元二次方程? 并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项.
解:原方程可化为$(1-2m)x^2 + (-m-1)x=0$.
(1)根据一元一次方程的定义可得$1-2m=0$, $-m-1≠0$. 解得$m=\frac{1}{2}$. 此时原方程为$-\frac{3}{2}x=0$, 即$x=0$.
$\therefore$ 当$m=\frac{1}{2}$时,该方程是一元一次方程,此方程的解为$x=0$.
(2)根据一元二次方程的定义可得$1-2m≠0$. 解得$m≠\frac{1}{2}$.
$\therefore$ 当$m≠\frac{1}{2}$时,该方程是一元二次方程,此方程的二次项系数为$1-2m$,一次项系数为$-m-1$,常数项为$0$.
方法点拨 本题运用了定义法,根据一元一次方程、一元二次方程的定义来求相应的$m$的值或取值范围,注意二者的区别.

解：先将原方程整理为一般形式：
去括号得 $x^2 - 2mx^2 - mx = x$，
移项、合并同类项得 $(1-2m)x^2 + (-m-1)x = 0$。
(1) 根据一元一次方程的定义，二次项系数为0且一次项系数不为0，可得：
$\begin{cases}1-2m=0 \\-m-1 ≠ 0\end{cases}$
解得 $m=\frac{1}{2}$。
将$m=\frac{1}{2}$代入化简后的方程，得 $-\frac{3}{2}x=0$，解得 $x=0$。
$\therefore$ 当$m=\frac{1}{2}$时，原方程是一元一次方程，此方程的解为$x=0$。
(2) 根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，可得：
$1-2m ≠ 0$，
解得 $m ≠ \frac{1}{2}$。
$\therefore$ 当$m ≠ \frac{1}{2}$时，原方程是一元二次方程，它的二次项系数为$1-2m$，一次项系数为$-m-1$，常数项为$0$。

【分析】
解决本题首先要将原方程通过去括号、移项、合并同类项整理为整式方程的一般形式。第(1)问依据一元一次方程的定义：只含1个未知数、未知数最高次数为1且一次项系数不为0的整式方程，因此需令二次项系数为0，同时保证一次项系数不为0，求出m后代入方程即可得解；第(2)问依据一元二次方程的定义：只含1个未知数、未知数最高次数为2且二次项系数不为0的整式方程，因此只需令二次项系数不为0即可得到m的取值范围，再对应写出各项系数即可。
【解析】
先将原方程整理为一般形式：
去括号得 $x^2 - 2mx^2 - mx = x$，
移项、合并同类项得 $(1-2m)x^2 + (-m-1)x = 0$。
(1) 根据一元一次方程的定义，二次项系数为0且一次项系数不为0，可得：
$\begin{cases}1-2m=0 \\-m-1 ≠ 0\end{cases}$
解得 $m=\frac{1}{2}$。
将$m=\frac{1}{2}$代入化简后的方程，得 $-\frac{3}{2}x=0$，解得 $x=0$。
$\therefore$ 当$m=\frac{1}{2}$时，原方程是一元一次方程，此方程的解为$x=0$。
(2) 根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，可得：
$1-2m ≠ 0$，
解得 $m ≠ \frac{1}{2}$。
$\therefore$ 当$m ≠ \frac{1}{2}$时，原方程是一元二次方程，它的二次项系数为$1-2m$，一次项系数为$-m-1$，常数项为$0$。
【答案】
(1) 当$m=\frac{1}{2}$时，原方程是一元一次方程，方程的解为$x=0$；
(2) 当$m≠\frac{1}{2}$时，原方程是一元二次方程，二次项系数为$1-2m$，一次项系数为$-m-1$，常数项为$0$。
【知识点】
一元一次方程的定义、一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是基础概念类题型，解题的关键是先将原方程整理为一般形式，再根据两类方程的定义对最高次项系数设置限制条件，求解一元一次方程对应的参数时，注意不要遗漏一次项系数不为0的要求，避免出现错误。
【难度系数】
0.8

视野拓展
黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$。设线段$AB=1$，点$C$在线段$AB$上，且$AC＞BC$，满足$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$。
(1)设$AC=x$，用$x$表示$BC$的长度。
(2)根据黄金分割的定义列出关于$x$的方程，并整理为一般形式。
(3)说出这个方程是一元二次方程的依据，指出其二次项系数、一次项系数和常数项。

(1)$\because AB=1,AC=x$,且点$C$在线段$AB$上$(AC＞BC)$,
$\therefore BC=AB-AC=1-x$.
(2)由黄金分割的定义知$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$,
代入$AB=1,AC=x,BC=1-x$,得$\frac{x}{1}=\frac{1-x}{x}$.
去分母,得$1-x=x^2$.
移项整理,得$x^2+x-1=0$.
(3)依据:方程只含有一个未知数$x$,且未知数的最高次数是2,等号两边都是整式,因此这个方程是一元二次方程.
二次项系数为1,一次项系数为1,常数项为-1.

【分析】
本题结合黄金分割的背景考查基础代数知识，解题思路如下：
(1) 已知线段AB总长度为1，AC长度为x，点C在线段AB上，因此BC的长度为AB总长减去AC的长度，直接代入数值即可表示；
(2) 题干明确给出黄金分割的比例关系$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$，将已知的AB=1、AC=x、BC=1-x代入比例式，再通过去分母、移项整理为一元二次方程的一般形式即可；
(3) 对照一元二次方程的三个判定条件：只含有1个未知数、未知数的最高次数为2、等号两边为整式，即可判断方程类型，再根据整理好的一般形式对应写出各项系数。
【解析】
(1) $\because AB=1,AC=x$,且点$C$在线段$AB$上$(AC＞BC)$,
$\therefore BC=AB-AC=1-x$.
(2) 由黄金分割的定义知$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$,
代入$AB=1,AC=x,BC=1-x$,得$\frac{x}{1}=\frac{1-x}{x}$.
去分母,得$1-x=x^2$.
移项整理,得$x^2+x-1=0$.
(3) 依据:方程只含有一个未知数$x$,且未知数的最高次数是2,等号两边都是整式,因此这个方程是一元二次方程.
二次项系数为1,一次项系数为1,常数项为-1.
【答案】
(1) $BC=1-x$
(2) 方程的一般形式为$x^2+x-1=0$
(3) 判定依据：方程只含一个未知数x，未知数最高次数为2，等号两边都是整式；二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为-1
【知识点】
线段和差计算；一元二次方程的定义；黄金分割的概念
【点评】
本题以黄金分割为命题背景，侧重考查基础概念的理解与应用，注重知识的结合运用，掌握基础定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.8