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1. 在平面直角坐标系中,对于点 $ P(x,y) $,我们把点 $ P'(-y+1,x+1) $叫作点 $ P $ 的伴随点.已知点 $ A_1 $ 的伴随点为 $ A_2 $,点 $ A_2 $ 的伴随点为 $ A_3 $,点 $ A_3 $ 的伴随点为 $ A_4 $……这样依次得到点 $ A_1,A_2,A_3,\dots,A_n $.若点 $ A_1 $ 的坐标为 $ (3,1) $,则点 $ A_3 $ 的坐标为
(-3,1)
,点 $ A_{2024} $ 的坐标为(0,-2)
.答案
1. (-3,1) (0,-2)
解析
【分析】
解题时首先要准确理解“伴随点”的变换规则：对于点$P(x,y)$，伴随点为$P'(-y+1,x+1)$。求$A_3$的坐标时，只需按照变换规则从$A_1$依次计算出$A_2$、$A_3$即可；求$A_{2024}$的坐标时，由于$n$的数值较大，必然存在周期循环规律，因此先计算出前若干个点的坐标，找到循环周期后，用2024除以周期，根据余数即可确定$A_{2024}$对应的坐标。
【解析】
已知点$A_1$的坐标为$(3,1)$，根据伴随点的定义计算：
1. 计算$A_2$：将$A_1(3,1)$代入伴随点公式，得$A_2$的坐标为$(-1+1, 3+1) = (0,4)$；
2. 计算$A_3$：将$A_2(0,4)$代入伴随点公式，得$A_3$的坐标为$(-4+1, 0+1) = (-3,1)$；
3. 计算$A_4$：将$A_3(-3,1)$代入伴随点公式，得$A_4$的坐标为$(-1+1, -3+1) = (0,-2)$；
4. 计算$A_5$：将$A_4(0,-2)$代入伴随点公式，得$A_5$的坐标为$(-(-2)+1, 0+1) = (3,1)$，可发现$A_5$与$A_1$坐标相同，因此每4个点为一个循环周期，循环顺序为$A_1→A_2→A_3→A_4→A_1……$
接下来计算$A_{2024}$的坐标：
用2024除以周期4，得$2024÷4 = 506$，没有余数，说明$A_{2024}$的坐标和循环中第4个点$A_4$的坐标相同，即为$(0,-2)$。
【答案】
$(-3,1)$；$(0,-2)$
【知识点】
新定义坐标变换；周期规律探究；坐标运算
【点评】
本题以新定义“伴随点”为背景，考查坐标的规律探究问题，解题核心是先根据新定义规则计算出前几个点的坐标，归纳出循环周期，再利用周期求解大序号对应的点坐标，侧重考查学生的阅读理解能力和规律归纳能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要准确理解“伴随点”的变换规则：对于点$P(x,y)$，伴随点为$P'(-y+1,x+1)$。求$A_3$的坐标时，只需按照变换规则从$A_1$依次计算出$A_2$、$A_3$即可；求$A_{2024}$的坐标时，由于$n$的数值较大，必然存在周期循环规律，因此先计算出前若干个点的坐标，找到循环周期后，用2024除以周期，根据余数即可确定$A_{2024}$对应的坐标。
【解析】
已知点$A_1$的坐标为$(3,1)$，根据伴随点的定义计算：
1. 计算$A_2$：将$A_1(3,1)$代入伴随点公式，得$A_2$的坐标为$(-1+1, 3+1) = (0,4)$；
2. 计算$A_3$：将$A_2(0,4)$代入伴随点公式，得$A_3$的坐标为$(-4+1, 0+1) = (-3,1)$；
3. 计算$A_4$：将$A_3(-3,1)$代入伴随点公式，得$A_4$的坐标为$(-1+1, -3+1) = (0,-2)$；
4. 计算$A_5$：将$A_4(0,-2)$代入伴随点公式，得$A_5$的坐标为$(-(-2)+1, 0+1) = (3,1)$，可发现$A_5$与$A_1$坐标相同，因此每4个点为一个循环周期，循环顺序为$A_1→A_2→A_3→A_4→A_1……$
接下来计算$A_{2024}$的坐标：
用2024除以周期4，得$2024÷4 = 506$，没有余数，说明$A_{2024}$的坐标和循环中第4个点$A_4$的坐标相同，即为$(0,-2)$。
【答案】
$(-3,1)$；$(0,-2)$
【知识点】
新定义坐标变换；周期规律探究；坐标运算
【点评】
本题以新定义“伴随点”为背景，考查坐标的规律探究问题，解题核心是先根据新定义规则计算出前几个点的坐标，归纳出循环周期，再利用周期求解大序号对应的点坐标，侧重考查学生的阅读理解能力和规律归纳能力。
【难度系数】
0.7
2. 如图，在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点A出发，沿着A→B→C→D→A→…循环爬行，其中点A的坐标为(1,−1)，点B的坐标为(−1,−1)，点C的坐标为(−1,3)，点D的坐标为(1,3)。当蚂蚁爬了2024个单位长度时，蚂蚁所处位置的坐标为（
A.(1,0)
B.(1,3)
C.(−1,−1)
D.(−1,2)
B
）A.(1,0)
B.(1,3)
C.(−1,−1)
D.(−1,2)
答案
2. B
解析
【分析】
解题思路如下：首先先计算蚂蚁沿矩形爬行一周的总路程，确定爬行的周期；再用总爬行长度2024除以周期长度，得到完整的循环次数和剩余爬行长度；最后按照A→B→C→D→A的爬行顺序，根据剩余长度判断蚂蚁最终所处的位置坐标。
【解析】
第一步：计算矩形各边的长度：
AB边：A(1,-1)、B(-1,-1)纵坐标相同，长度为$|1 - (-1)|=2$；
BC边：B(-1,-1)、C(-1,3)横坐标相同，长度为$|3 - (-1)|=4$；
CD边：C(-1,3)、D(1,3)纵坐标相同，长度为$|1 - (-1)|=2$；
DA边：D(1,3)、A(1,-1)横坐标相同，长度为$|3 - (-1)|=4$。
第二步：计算爬行一周的总路程：$2+4+2+4=12$，即蚂蚁每爬行12个单位长度就回到起点A，周期为12。
第三步：计算2024除以12的余数：$2024÷12=168······8$，说明蚂蚁爬完168个完整周期后，又爬行了8个单位长度。
第四步：按爬行顺序判断位置：爬2个单位到B，爬6个单位到C，爬8个单位刚好到D点，D点坐标为$(1,3)$。
【答案】
B
【知识点】
1. 两点距离计算
2. 周期规律应用
3. 点的坐标确定
【点评】
本题属于平面直角坐标系中的规律探索题，需要先明确运动的周期，再结合余数判断最终位置，能够有效考察学生的逻辑推理和坐标计算能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先先计算蚂蚁沿矩形爬行一周的总路程，确定爬行的周期；再用总爬行长度2024除以周期长度，得到完整的循环次数和剩余爬行长度；最后按照A→B→C→D→A的爬行顺序，根据剩余长度判断蚂蚁最终所处的位置坐标。
【解析】
第一步：计算矩形各边的长度：
AB边：A(1,-1)、B(-1,-1)纵坐标相同，长度为$|1 - (-1)|=2$；
BC边：B(-1,-1)、C(-1,3)横坐标相同，长度为$|3 - (-1)|=4$；
CD边：C(-1,3)、D(1,3)纵坐标相同，长度为$|1 - (-1)|=2$；
DA边：D(1,3)、A(1,-1)横坐标相同，长度为$|3 - (-1)|=4$。
第二步：计算爬行一周的总路程：$2+4+2+4=12$，即蚂蚁每爬行12个单位长度就回到起点A，周期为12。
第三步：计算2024除以12的余数：$2024÷12=168······8$，说明蚂蚁爬完168个完整周期后，又爬行了8个单位长度。
第四步：按爬行顺序判断位置：爬2个单位到B，爬6个单位到C，爬8个单位刚好到D点，D点坐标为$(1,3)$。
【答案】
B
【知识点】
1. 两点距离计算
2. 周期规律应用
3. 点的坐标确定
【点评】
本题属于平面直角坐标系中的规律探索题，需要先明确运动的周期，再结合余数判断最终位置，能够有效考察学生的逻辑推理和坐标计算能力。
【难度系数】
0.7
3.如图，所有正方形的中心均为坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，各正方形的边长依次为2,4,6,8,10,…,顶点$A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,\dots$的坐标分别为$A_1(1,1),A_2(-1,1),A_3(-1,-1),A_4(1,-1),A_5(2,2),A_6(-2,2),\dots$则顶点$A_{2024}$的坐标是
(506,−506)
。答案
3. (506,−506)
解析
【分析】
观察点的下标和坐标特征可知，每4个点为一个循环周期，分别对应四个象限的正方形顶点，同一周期内所有点的横、纵坐标的绝对值相等，等于周期数。首先计算2024除以4的结果，判断$A_{2024}$是第几个周期的第几个点，再结合对应象限的坐标符号特征即可求出坐标。
【解析】
观察已知点的坐标规律：
① 每4个点为1组，第1组（$A_1$~$A_4$）坐标的绝对值为1，第2组（$A_5$~$A_8$）坐标的绝对值为2，以此类推，第$k$组的点横、纵坐标的绝对值均为$k$；
② 每组的4个点依次对应第一、第二、第三、第四象限的顶点，第四象限点的坐标符号为(正,负)。
计算2024所属的组别：$2024÷4=506$，说明$A_{2024}$是第506组的第4个点，对应第四象限，横、纵坐标绝对值为506，因此坐标为$(506,-506)$。
【答案】
$(506,-506)$
【知识点】
1. 平面直角坐标系点的坐标特征
2. 图形变化规律探究
【点评】
本题是典型的坐标规律探究题，解题核心是先通过已知点归纳出下标和坐标的周期对应关系，再结合象限符号特征求解，能够有效锻炼学生的观察和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
观察点的下标和坐标特征可知，每4个点为一个循环周期，分别对应四个象限的正方形顶点，同一周期内所有点的横、纵坐标的绝对值相等，等于周期数。首先计算2024除以4的结果，判断$A_{2024}$是第几个周期的第几个点，再结合对应象限的坐标符号特征即可求出坐标。
【解析】
观察已知点的坐标规律：
① 每4个点为1组，第1组（$A_1$~$A_4$）坐标的绝对值为1，第2组（$A_5$~$A_8$）坐标的绝对值为2，以此类推，第$k$组的点横、纵坐标的绝对值均为$k$；
② 每组的4个点依次对应第一、第二、第三、第四象限的顶点，第四象限点的坐标符号为(正,负)。
计算2024所属的组别：$2024÷4=506$，说明$A_{2024}$是第506组的第4个点，对应第四象限，横、纵坐标绝对值为506，因此坐标为$(506,-506)$。
【答案】
$(506,-506)$
【知识点】
1. 平面直角坐标系点的坐标特征
2. 图形变化规律探究
【点评】
本题是典型的坐标规律探究题，解题核心是先通过已知点归纳出下标和坐标的周期对应关系，再结合象限符号特征求解，能够有效锻炼学生的观察和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在平面直角坐标系中,动点P按照图中箭头所示方向依次运动,第1次从点$(-1,0)$运动到点$(0,1)$,第2次运动到点$(1,0)$,第3次运动到点$(2,-2)$……按这样的运动规律,动点P第2024次运动到达的点的坐标为 (
A.$(2022,0)$
B.$(2023,0)$
C.$(2022,1)$
D.$(2024,-2)$
B
)A.$(2022,0)$
B.$(2023,0)$
C.$(2022,1)$
D.$(2024,-2)$
答案
4. B
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要分两步找动点P的运动规律：首先观察横坐标的变化特点，再总结纵坐标的循环周期，最后结合第2024次运动的信息计算对应坐标。先列出前几次运动后的点坐标，对比横、纵坐标的变化，找到通用规律后即可代入计算。
【解析】
先整理前几次运动后点的坐标：
第1次运动后：$(0,1)$，横坐标为$1-1=0$，纵坐标为1
第2次运动后：$(1,0)$，横坐标为$2-1=1$，纵坐标为0
第3次运动后：$(2,-2)$，横坐标为$3-1=2$，纵坐标为-2
第4次运动后：$(3,0)$，横坐标为$4-1=3$，纵坐标为0
第5次运动后：$(4,1)$，横坐标为$5-1=4$，纵坐标为1
……
总结规律：
1. 横坐标：第$n$次运动后，点的横坐标为$n-1$；
2. 纵坐标：每4次运动为一个循环周期，循环的纵坐标依次为$1、0、-2、0$。
计算第2024次运动的坐标：
横坐标：$2024-1=2023$
周期计算：$2024÷4=506$，余数为0，说明纵坐标对应循环周期的最后一个值，即纵坐标为0。
因此第2024次运动到达的点的坐标为$(2023,0)$。
【答案】
B
【知识点】
点的坐标规律探究，周期问题，坐标与图形变化
【点评】
本题是规律探究类常考题型，解题核心是分别拆解横、纵坐标的变化规律，横坐标为逐次加1的线性变化，纵坐标为周期循环变化，结合整除运算即可快速确定目标位置的坐标。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们需要分两步找动点P的运动规律：首先观察横坐标的变化特点，再总结纵坐标的循环周期，最后结合第2024次运动的信息计算对应坐标。先列出前几次运动后的点坐标，对比横、纵坐标的变化，找到通用规律后即可代入计算。
【解析】
先整理前几次运动后点的坐标：
第1次运动后：$(0,1)$，横坐标为$1-1=0$，纵坐标为1
第2次运动后：$(1,0)$，横坐标为$2-1=1$，纵坐标为0
第3次运动后：$(2,-2)$，横坐标为$3-1=2$，纵坐标为-2
第4次运动后：$(3,0)$，横坐标为$4-1=3$，纵坐标为0
第5次运动后：$(4,1)$，横坐标为$5-1=4$，纵坐标为1
……
总结规律：
1. 横坐标：第$n$次运动后，点的横坐标为$n-1$；
2. 纵坐标：每4次运动为一个循环周期，循环的纵坐标依次为$1、0、-2、0$。
计算第2024次运动的坐标：
横坐标：$2024-1=2023$
周期计算：$2024÷4=506$，余数为0，说明纵坐标对应循环周期的最后一个值，即纵坐标为0。
因此第2024次运动到达的点的坐标为$(2023,0)$。
【答案】
B
【知识点】
点的坐标规律探究，周期问题，坐标与图形变化
【点评】
本题是规律探究类常考题型，解题核心是分别拆解横、纵坐标的变化规律，横坐标为逐次加1的线性变化，纵坐标为周期循环变化，结合整除运算即可快速确定目标位置的坐标。
【难度系数】
0.7
5.如图,在一张单位长度为1的方格纸上,△A₁A₂A₃,△A₃A₄A₅,△A₅A₆A₇,…是斜边在x轴上,斜边长分别为2,4,6,…的等腰直角三角形.若△A₁A₂A₃的顶点坐标分别为A₁(2,0),A₂(1,-1),A₃(0,0),则依图中所示规律,点A₂₀₂₅的横坐标为 (
A.1 014
B.−1 014
C.1 012
D.−1 012
A
)A.1 014
B.−1 014
C.1 012
D.−1 012
答案
5. A
解析
【分析】
首先观察图形可发现所有下标为奇数的点都在x轴上，纵坐标均为0，因此只需探究奇数下标点的横坐标规律即可。我们先列出已知的奇数下标点的坐标，按下标除以4的余数分类，总结出对应规律，再判断2025所属的类别，代入规律计算就能得到A₂₀₂₅的横坐标。
【解析】
先整理已知的奇数下标点的坐标：
A₁(2,0)，下标1=4×0+1，横坐标为2=2×(0+1)；
A₃(0,0)，下标3=4×0+3，横坐标为0=-2×0；
A₅(4,0)，下标5=4×1+1，横坐标为4=2×(1+1)；
A₇(-2,0)，下标7=4×1+3，横坐标为-2=-2×1；
A₉(6,0)，下标9=4×2+1，横坐标为6=2×(2+1)；
……
由此总结规律：当下标为4n+1（n为非负整数）时，点$A_{4n+1}$的横坐标为2(n+1)，纵坐标为0。
计算2025除以4的余数：2025=4×506+1，符合4n+1的形式，其中n=506。
代入规律得A₂₀₂₅的横坐标为2×(506+1)=1014。
【答案】
A
【知识点】
平面直角坐标系点坐标规律；等腰直角三角形性质；规律探究
【点评】
本题是坐标系中的规律探究类问题，解题关键是先定位特殊点的位置特征，通过列举已知点的坐标分类归纳规律，再代入所求下标计算，重点考查学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.65
首先观察图形可发现所有下标为奇数的点都在x轴上，纵坐标均为0，因此只需探究奇数下标点的横坐标规律即可。我们先列出已知的奇数下标点的坐标，按下标除以4的余数分类，总结出对应规律，再判断2025所属的类别，代入规律计算就能得到A₂₀₂₅的横坐标。
【解析】
先整理已知的奇数下标点的坐标：
A₁(2,0)，下标1=4×0+1，横坐标为2=2×(0+1)；
A₃(0,0)，下标3=4×0+3，横坐标为0=-2×0；
A₅(4,0)，下标5=4×1+1，横坐标为4=2×(1+1)；
A₇(-2,0)，下标7=4×1+3，横坐标为-2=-2×1；
A₉(6,0)，下标9=4×2+1，横坐标为6=2×(2+1)；
……
由此总结规律：当下标为4n+1（n为非负整数）时，点$A_{4n+1}$的横坐标为2(n+1)，纵坐标为0。
计算2025除以4的余数：2025=4×506+1，符合4n+1的形式，其中n=506。
代入规律得A₂₀₂₅的横坐标为2×(506+1)=1014。
【答案】
A
【知识点】
平面直角坐标系点坐标规律；等腰直角三角形性质；规律探究
【点评】
本题是坐标系中的规律探究类问题，解题关键是先定位特殊点的位置特征，通过列举已知点的坐标分类归纳规律，再代入所求下标计算，重点考查学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.65
