1. 如果$x:y=2:3$，那么下列各式成立的是（）

A.$\frac{x-y}{y}=\frac{1}{3}$
B.$2x=3y$
C.$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}$
D.$\frac{x+1}{y+1}=\frac{3}{4}$

1.C

【分析】
本题考查比例的基本性质的应用，解题思路有两种：一是先将已知比例$x:y=2:3$利用比例的基本性质转化为等积式$3x=2y$，再将各选项的比例式也转化为等积式，和已知的等积式对比判断是否成立；二是采用设参数法，设$x=2k$，$y=3k$（$k≠0$），代入各选项计算验证是否恒成立，逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
已知$x:y=2:3$，根据比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）可得$3x=2y$，我们逐一分析选项：
选项A：对$\frac{x-y}{y}=\frac{1}{3}$交叉相乘得$3(x-y)=y$，整理得$3x=4y$，和已知$3x=2y$不符，故A错误；
选项B：$2x=3y$，和已知推导的$3x=2y$不符，故B错误；
选项C：对$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}$交叉相乘得$3x=2y$，和已知结论一致，故C正确；
选项D：设$x=2k$，$y=3k$（$k≠0$），代入得$\frac{x+1}{y+1}=\frac{2k+1}{3k+1}$，当$k=2$时，$\frac{2×2+1}{3×2+1}=\frac{5}{7}≠\frac{3}{4}$，该式不是对所有符合条件的$x,y$成立，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
1.比例的基本性质 2.比例式变形
【点评】
本题是比例相关的基础题型，解题时既可以通过比例的基本性质将比例式和等积式互相转化来验证，也可以用设参数的方法代入计算，注意不要仅代入特殊值判断D选项，要确认式子是否恒成立。
【难度系数】
0.8

2. [2024·阜阳颍州区期中]已知线段$a=4$，$b=6$，如果线段$b$是线段$a$和$c$的比例中项，那么线段$c$的长度是（）

A.$2\sqrt{6}$
B.8
C.9
D.10

2.C

【分析】
解题时首先要明确比例中项的定义：若线段b是线段a和c的比例中项，则满足b² = a·c。本题已知a、b的长度，只需将数值代入上述等式求解c即可，同时要注意线段的长度为正数，最终结果只需保留正值。
【解析】
解：
∵线段b是线段a和c的比例中项，
∴根据比例中项的性质可得：$b^2 = a· c$，
将$a=4$，$b=6$代入等式得：
$6^2 = 4c$，
即$36 = 4c$，
解得：$c = 36÷4 = 9$，
∵线段长度为正数，9符合取值要求，
∴线段c的长度是9。
【答案】
C
【知识点】
1. 比例中项的定义
2. 比例的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查比例中项性质的应用，解题时需注意线段长度的非负性，无需考虑负根，掌握比例中项的概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8

3. [新课标—跨学科题][2024·山西中考]黄金分割在汉字的结构中也有体现.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB//NP，“晋”字的笔画“\”的位置在AB的黄金分割点C处，且$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.若$NP=2$ cm，则BC的长为 cm.（结果保留根号）

3.$(\sqrt{5}-1)$

【分析】
解题时首先观察图形，习字格是正方形，已知AB//NP，结合正方形对边平行且相等的性质，可先得出AB的长度等于正方形的边长NP；再根据题目给出的黄金分割点的比例关系$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，代入AB的长度即可计算出BC的长。
【解析】
∵ 四边形MNQP是正方形，
∴ NP=2 cm，且MN//PQ，
又
∵ AB//NP，
∴ 四边形ABPN是平行四边形，
∴ AB=NP=2 cm。
已知点C是AB的黄金分割点，且$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
将AB=2 cm代入得：
$BC=AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$（cm）。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
正方形的性质；黄金分割的定义
【点评】
本题结合汉字书写的结构特点考查黄金分割的实际应用，将数学知识和传统文化结合，解题关键是正确提取题干中的比例关系，结合正方形性质求出对应线段长度，整体计算量小，考查内容较为基础。
【难度系数】
0.8

4. 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{3}{5}$，且$2b -5d +f≠0$，求$\frac{2a -5c +e}{2b -5d +f}$的值。

4.$\frac{3}{5}$

【分析】
已知多个分数比值相等，求同比例缩放后的分子和与分母和的比值，可采用两种思路：一是设公共比值为参数，将各个分子用对应分母乘参数的形式表示，代入所求分式后约分化简即可得到结果；二是利用等比性质的拓展，将原式中各分子分母对应缩放后，满足等比性质（分母和不为0）的条件，可直接得到比值。
【解析】
方法一（设参数法）：
设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{3}{5}=k$，则$a=\frac{3}{5}b$，$c=\frac{3}{5}d$，$e=\frac{3}{5}f$。
将上述关系代入所求分式的分子：
$2a-5c+e=2×\frac{3}{5}b -5×\frac{3}{5}d +\frac{3}{5}f=\frac{3}{5}(2b-5d+f)$
已知$2b-5d+f≠0$，因此：
$\frac{2a -5c +e}{2b -5d +f}=\frac{\frac{3}{5}(2b-5d+f)}{2b-5d+f}=\frac{3}{5}$
方法二（等比性质法）：
由比例的基本性质可得：$\frac{a}{b}=\frac{2a}{2b}=\frac{-5c}{-5d}=\frac{e}{f}=\frac{3}{5}$，
又因为$2b-5d+f≠0$，根据等比性质可得：
$\frac{2a -5c +e}{2b -5d +f}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
等比性质，比例求值
【点评】
本题是比例性质的基础应用题型，两种解题方法都很常用，设参数法是解决比例类问题的通用方法，适用性更广；使用等比性质时要注意满足分母和不为0的前提条件。
【难度系数】
0.8

5. 如图，若直线$a// b// c$，则下列结论不正确的是（）


A.$\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{DE}{EF}$
B.$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{DF}{DE}$
C.$\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{AC}{DF}$
D.$\dfrac{BE}{CF}=\dfrac{AB}{AC}$

5.D

【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：首先明确定理内容：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。先确定本题中被平行线a、b、c所截的两条直线是m和n，找到两条直线上的对应线段：AB对应DE，BC对应EF，AC对应DF；再结合比例的基本性质逐一验证每个选项的比例是否符合对应成比例的要求，选出不正确的选项即可。
【解析】
根据平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例。
已知$a// b// c$，截直线m、n，可得对应线段成比例：$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$，$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}$，$\frac{BC}{AC}=\frac{EF}{DF}$。
选项A：$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$，符合定理结论，正确；
选项B：由$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}$，根据比例的基本性质交叉变形可得$\frac{AC}{AB}=\frac{DF}{DE}$，正确；
选项C：由$\frac{BC}{AC}=\frac{EF}{DF}$，根据比例的基本性质交叉变形可得$\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$，正确；
选项D：BE、CF不是直线m、n上被平行线截得的线段，不存在该比例关系，错误。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例的基本性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的核心是准确识别被平行线所截的两条直线，找准对应线段，避免将非截线上的线段误作为对应线段判断比例关系。
【难度系数】
0.8

6.一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距(任意相邻两根木条间距相等)且平行的木条构成.已知$BC=42\ \mathrm{cm}$，则$AC$的长度为.

6.70 cm

【分析】
解题时首先抓住题目中“竖直部分木条等距且平行”的条件，联想到平行线分线段成比例定理：一组平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。接下来观察局部示意图，数出BC对应的等份数、AC总共有多少等份，再代入已知的BC长度，通过比例关系即可计算出AC的长度。
【解析】
∵ 护栏的竖直木条等距且平行，
∴ 根据平行线分线段成比例的性质，这些竖直木条截线段AC所得的各小段长度相等。
观察局部示意图可知，AC被竖直木条分为5等份，其中BC占3等份，因此$\frac{BC}{AC}=\frac{3}{5}$。
将$BC=42\ \mathrm{cm}$代入得：$\frac{42}{AC}=\frac{3}{5}$，
解得$AC=\frac{42×5}{3}=70\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$70\ \mathrm{cm}$
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何定理的应用，解题的核心是准确识别线段对应的等份比例，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.7

7.[2024·阜阳期末]如图,在$△ ABC$中,D是AC的中点,点F在BD上,连接AF并延长交BC于点E.若$BF:FD=3:1,BC=8$,则CE的长为.

7.$\frac{16}{5}$

【分析】
本题属于线段长度求解问题，已知线段比例和中点条件，可通过作平行线构造相似三角形结合中位线性质解题：首先过点D作BC的平行线交AE于点G，先利用D是AC中点的条件，得到DG是△AEC的中位线，推出DG与CE的数量关系；再通过平行线证明△DGF与△BEF相似，结合BF:FD=3:1得到DG与BE的数量关系；最后结合BC=BE+CE=8，代入关系计算即可得到CE的长度。
【解析】
解：过点D作$DG// BC$，交AE于点G。
1. 由D是AC中点，且$DG// BC$，可知DG是$△ AEC$的中位线，根据中位线性质得：
$DG=\frac{1}{2}CE$，即$CE=2DG$ ①。
2. 由$DG// BC$，可得$∠ GDF=∠ EBF$，$∠ DGF=∠ BEF$，因此$△ DGF∽△ BEF$。
根据相似三角形对应边成比例得：$\frac{DG}{BE}=\frac{FD}{BF}$。
已知$BF:FD=3:1$，即$\frac{FD}{BF}=\frac{1}{3}$，代入得$BE=3DG$ ②。
3. 已知$BC=BE+CE=8$，将①②代入得：
$3DG+2DG=8$，解得$DG=\frac{8}{5}$。
因此$CE=2DG=2×\frac{8}{5}=\frac{16}{5}$。
【答案】
$\frac{16}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，线段比例计算
【点评】
本题是几何中常见的线段长度求解题型，解题核心是合理添加平行线辅助线，将已知的线段比例和中点条件转化为所求线段与已知线段的数量关系，较好地考查了几何辅助线构造能力和性质定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

8.[方程思想]如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC//EF//DB.若BE=5，BF=3，AE=BC，则$\frac{BD}{AC}$的值为（）


A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{2}{5}$

8.A

【分析】
题目给出三组平行线，可结合平行线分线段成比例、相似三角形的性质求解。我们要求$\frac{BD}{AC}$的值，观察到$AC// DB$，可推出$△ AEC ∽ △ BED$，因此$\frac{BD}{AC}=\frac{BE}{AE}$，只需先求出$AE$的长度即可。已知$AE=BC$，我们可以设$AE=BC=x$，再借助$EF// AC$得到的线段比例关系列方程求解$x$，最后代入比例式即可得到结果。
【解析】
设$AE=BC=x$，则$FC=BC-BF=x-3$。
1. 因为$EF// AC$，根据平行线分线段成比例定理，在$△ ABC$中有：
$\frac{BE}{AE}=\frac{BF}{FC}$
代入$BE=5$，$BF=3$，得：
$\frac{5}{x}=\frac{3}{x-3}$
交叉相乘解方程：
$5(x-3)=3x$
$5x-15=3x$
解得$x=\frac{15}{2}$，即$AE=\frac{15}{2}$。
2. 因为$AC// DB$，所以$∠ A=∠ B$，$∠ C=∠ D$，可证$△ AEC ∽ △ BED$，根据相似三角形对应边成比例：
$\frac{BD}{AC}=\frac{BE}{AE}$
代入$BE=5$，$AE=\frac{15}{2}$，得：
$\frac{BD}{AC}=\frac{5}{\frac{15}{2}}=\frac{2}{3}$
【答案】A
【知识点】
平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是方程思想在几何计算中的典型应用，解题的关键是结合平行线的性质找到线段间的比例关系，通过设未知数列方程求出未知线段长度，再结合相似三角形的性质得到所求比例。
【难度系数】
0.6