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1. [2025·合肥包河区期末]我国古代数学有很多伟大的发现.下列与我国古代数学发现相关的图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是 (
B
)答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先要明确轴对称图形和中心对称图形的定义，再依次对四个选项的图形进行判断：第一步判断图形是否为轴对称图形（沿某条直线折叠后直线两侧部分可完全重合），第二步判断是否为中心对称图形（绕某点旋转180°后能与原图形重合），最终选出同时满足两个条件的选项即可。
【解析】
先明确两类对称图形的定义：
1. 轴对称图形：沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
2. 中心对称图形：在平面内，将图形绕某一个点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合的图形。
逐个分析选项：
选项A（杨辉三角）：是轴对称图形，但绕中心旋转180°后无法与原图重合，不是中心对称图形，不符合要求；
选项B（割圆术示意图）：沿过圆心的任意直线对折都可完全重合，是轴对称图形；绕圆心旋转180°后也能与原图完全重合，是中心对称图形，符合要求；
选项C（赵爽弦图）：是中心对称图形，但不存在直线使图形对折后两侧完全重合，不是轴对称图形，不符合要求；
选项D（洛书）：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合要求。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形识别，中心对称图形识别
【点评】
本题结合我国古代数学成就设置情境，考查两类对称图形的基本判定，形式新颖，注重基础概念的应用，能帮助学生感受传统数学文化的魅力。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确轴对称图形和中心对称图形的定义，再依次对四个选项的图形进行判断：第一步判断图形是否为轴对称图形（沿某条直线折叠后直线两侧部分可完全重合），第二步判断是否为中心对称图形（绕某点旋转180°后能与原图形重合），最终选出同时满足两个条件的选项即可。
【解析】
先明确两类对称图形的定义：
1. 轴对称图形：沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
2. 中心对称图形：在平面内，将图形绕某一个点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合的图形。
逐个分析选项：
选项A（杨辉三角）：是轴对称图形，但绕中心旋转180°后无法与原图重合，不是中心对称图形，不符合要求；
选项B（割圆术示意图）：沿过圆心的任意直线对折都可完全重合，是轴对称图形；绕圆心旋转180°后也能与原图完全重合，是中心对称图形，符合要求；
选项C（赵爽弦图）：是中心对称图形，但不存在直线使图形对折后两侧完全重合，不是轴对称图形，不符合要求；
选项D（洛书）：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合要求。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形识别，中心对称图形识别
【点评】
本题结合我国古代数学成就设置情境，考查两类对称图形的基本判定，形式新颖，注重基础概念的应用，能帮助学生感受传统数学文化的魅力。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=BC=4\sqrt{2}$,将$△ ABC$绕点C逆时针旋转$60°$得到$△ MNC$,连接BM,则BM的长是
$4+4\sqrt{3}$
.答案
$4+4\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先根据旋转的性质可知旋转前后对应边相等、对应角相等，先结合等腰Rt△ABC的边长求出斜边AC的长度；由旋转角为60°可判断△ACM为等边三角形，得到AM=CM；结合AB=BC可知BM垂直平分AC，将BM拆分为等腰Rt△ABC斜边上的中线和等边△ACM的高两段分别计算，相加即可得到BM的长度。
【解析】
解：连接AM，设AC与BM交于点O。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，$AB=BC=4\sqrt{2}$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+(4\sqrt{2})^2}=\sqrt{32+32}=8$。
∵△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△MNC，
∴$CA=CM$，$∠ ACM=60°$，
∴△ACM是等边三角形，
∴$AM=CM=AC=8$。
又
∵$AB=BC$，
∴点B、M都在AC的垂直平分线上，即BM垂直平分AC，O为AC中点。
在Rt△ABC中，O是斜边AC的中点，
∴$BO=\frac{1}{2}AC=4$。
在等边△ACM中，OM是AC边上的高，
∴$OM=CM·\sin60°=8×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$。
∴$BM=BO+OM=4+4\sqrt{3}$。
【答案】
$4+4\sqrt{3}$
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，解题的关键是利用旋转的性质得到等边三角形，再结合特殊三角形的性质拆分待求线段进行计算，对几何图形的性质综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先根据旋转的性质可知旋转前后对应边相等、对应角相等，先结合等腰Rt△ABC的边长求出斜边AC的长度；由旋转角为60°可判断△ACM为等边三角形，得到AM=CM；结合AB=BC可知BM垂直平分AC，将BM拆分为等腰Rt△ABC斜边上的中线和等边△ACM的高两段分别计算，相加即可得到BM的长度。
【解析】
解：连接AM，设AC与BM交于点O。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，$AB=BC=4\sqrt{2}$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+(4\sqrt{2})^2}=\sqrt{32+32}=8$。
∵△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△MNC，
∴$CA=CM$，$∠ ACM=60°$，
∴△ACM是等边三角形，
∴$AM=CM=AC=8$。
又
∵$AB=BC$，
∴点B、M都在AC的垂直平分线上，即BM垂直平分AC，O为AC中点。
在Rt△ABC中，O是斜边AC的中点，
∴$BO=\frac{1}{2}AC=4$。
在等边△ACM中，OM是AC边上的高，
∴$OM=CM·\sin60°=8×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$。
∴$BM=BO+OM=4+4\sqrt{3}$。
【答案】
$4+4\sqrt{3}$
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，解题的关键是利用旋转的性质得到等边三角形，再结合特殊三角形的性质拆分待求线段进行计算，对几何图形的性质综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
3. 如图是一个隧道的横截面示意图，若它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，路面AB=8 m，高
CD=8 m，则此圆的半径OA的长度为(
A.6.5 m
B.6 m
C.5.5 m
D.5 m
CD=8 m，则此圆的半径OA的长度为(
D
)A.6.5 m
B.6 m
C.5.5 m
D.5 m
答案
3.D
解析
【分析】
本题是圆中半径计算的常规题型，解题思路如下：首先观察图形可知CD垂直于路面AB，可利用垂径定理求出AD的长度；接着设圆的半径为r，用含r的式子表示出直角三角形OAD的直角边OD的长度；最后在Rt△OAD中利用勾股定理列方程，求解即可得到半径OA的长度。
【解析】
解：
∵CD是隧道的高，
∴$CD⊥ AB$，
根据垂径定理可得：$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{m}$，
设圆的半径$OA=r\ \mathrm{m}$，则$OC=r\ \mathrm{m}$，
∴$OD=CD-OC=(8-r)\ \mathrm{m}$，
在$Rt△ OAD$中，由勾股定理得：$OA^2=AD^2+OD^2$，
代入数据得：$r^2=4^2+(8-r)^2$，
展开得：$r^2=16+64-16r+r^2$，
整理得：$16r=80$，
解得：$r=5$，
即OA的长度为5m。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，将垂径定理与勾股定理结合，通过设未知数列方程的方式求解半径是这类题的常用解法，熟练掌握垂径定理是解题的前提。
【难度系数】
0.7
本题是圆中半径计算的常规题型，解题思路如下：首先观察图形可知CD垂直于路面AB，可利用垂径定理求出AD的长度；接着设圆的半径为r，用含r的式子表示出直角三角形OAD的直角边OD的长度；最后在Rt△OAD中利用勾股定理列方程，求解即可得到半径OA的长度。
【解析】
解：
∵CD是隧道的高，
∴$CD⊥ AB$，
根据垂径定理可得：$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{m}$，
设圆的半径$OA=r\ \mathrm{m}$，则$OC=r\ \mathrm{m}$，
∴$OD=CD-OC=(8-r)\ \mathrm{m}$，
在$Rt△ OAD$中，由勾股定理得：$OA^2=AD^2+OD^2$，
代入数据得：$r^2=4^2+(8-r)^2$，
展开得：$r^2=16+64-16r+r^2$，
整理得：$16r=80$，
解得：$r=5$，
即OA的长度为5m。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，将垂径定理与勾股定理结合，通过设未知数列方程的方式求解半径是这类题的常用解法，熟练掌握垂径定理是解题的前提。
【难度系数】
0.7
