11.如图，把一个长方形卡片ABCD放在每行宽度为1的横线纸中，恰好四个顶点都在横线上.若$α=37°$，则BC的长约为（参考数据：$\cos 37°\approx0.8$）.

$\boldsymbol{5}$

解：
过点B作BE⊥点A所在的横线，垂足为E，
由题意可知，相邻横线间距为1，A、B两点的竖直距离为2，即BE=2。
∵ AB与水平线的夹角为α=37°，
∴ 在Rt△ABE中，$\sinα = \frac{BE}{AB}$，
∴ $AB = \frac{BE}{\sin37°} \approx \frac{2}{0.6} = \frac{10}{3}$。
过点D作DF⊥点A所在的横线，垂足为F，
A、D两点的竖直距离为4，即DF=4。
∵ 四边形ABCD是矩形，∠BAD=90°，
∴ $∠ α + ∠ DAF = 90°$，
又∵ $∠ ADF + ∠ DAF = 90°$，
∴ $∠ ADF = α = 37°$。
在Rt△ADF中，$\cos∠ ADF = \frac{DF}{AD}$，
∴ $AD = \frac{DF}{\cos37°} \approx \frac{4}{0.8} = 5$。
∵ 矩形对边相等，
∴ $BC = AD = 5$。
最终

12. 提升题 如图，在平面直角坐标系中，已知点$A(8,0)$和点$B(0,6)$，$C$为$AB$的中点，$P$在线段$OA$，$OB$上移动.若直线$PC$截$△ AOB$所得的三角形与$△ AOB$相似，则点$P$的坐标为.

解：
已知$A(8,0)$，$B(0,6)$，则$OA=8$，$OB=6$，$∠ AOB=90°$，由勾股定理得$AB=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
$C$是$AB$中点，故$C$的坐标为$(4,3)$，且$AC=BC=5$。
分情况讨论：
1. 当$P$在$OB$上时
直线$PC$与$AB$交于$C$，截得$△ PBC$，要使$△ PBC ∽ △ AOB$：
若$PC // OA$，则$PC ⊥ OB$，$P$为$OB$中点，得$P(0,3)$，符合条件。
若$∠ BCP=90°$，由$△ BCP ∽ △ BOA$，得$\frac{BC}{BO}=\frac{BP}{BA}$，即$\frac{5}{6}=\frac{BP}{10}$，解得$BP=\frac{25}{3}＞6$，对应$P$在线段$OB$延长线上，舍去。
2. 当$P$在$OA$上时
直线$PC$与$AB$交于$C$，截得$△ PAC$，要使$△ PAC ∽ △ AOB$：
若$PC // OB$，则$PC ⊥ OA$，$P$为$OA$中点，得$P(4,0)$，符合条件。
若$∠ ACP=90°$，由$△ ACP ∽ △ AOB$，得$\frac{AC}{OA}=\frac{AP}{AB}$，即$\frac{5}{8}=\frac{AP}{10}$，解得$AP=\frac{25}{4}$，故$OP=OA-AP=8-\frac{25}{4}=\frac{7}{4}$，得$P(\frac{7}{4},0)$，符合条件。
综上，点$P$的坐标为$\boldsymbol{(0,3)、(4,0)、(\frac{7}{4},0)}$。

三、解答题
13.(1)计算：$\sqrt{27} - 2\sin^2 45° + \tan 60° · \cos 30°$；
(2)如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于点F，求证：△ABF∽△EAD.

(1) 计算：
解：原式$=3\sqrt{3} - 2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$
$=3\sqrt{3} - 2×\frac{1}{2} + \frac{3}{2}$
$=3\sqrt{3} - 1 + \frac{3}{2}$
$=3\sqrt{3} + \frac{1}{2}$
---
(2) 证明：
证明：∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ D = 90°$，$AB// CD$，
∴ $∠ BAF = ∠ AED$。
∵ $BF⊥ AE$，
∴ $∠ AFB = 90°$，
∴ $∠ AFB = ∠ D = 90°$，
∴ $△ ABF ∽ △ EAD$（两角分别相等的两个三角形相似）。

14.如图,不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时,另一端B到地面的高度为60 cm;当AB的一端B碰到地面时,另一端A到地面的高度为90 cm.求跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH的长.

解：
当点A接触地面时，过点B作BC垂直于地面，垂足为C，由题意得$BC=60\ \mathrm{cm}$。
∵ $OH⊥$地面，$BC⊥$地面，
∴ $OH// BC$，
∴ $△ AOH ∽ △ ABC$，
∴ $\frac{OH}{BC}=\frac{AO}{AB}$，即 $\frac{OH}{60}=\frac{AO}{AB}$ ①。
当点B接触地面时，过点A作AD垂直于地面，垂足为D，由题意得$AD=90\ \mathrm{cm}$。
∵ $OH⊥$地面，$AD⊥$地面，
∴ $OH// AD$，
∴ $△ BOH ∽ △ BAD$，
∴ $\frac{OH}{AD}=\frac{BO}{AB}$，即 $\frac{OH}{90}=\frac{BO}{AB}$ ②。
将①+②得：
$\frac{OH}{60}+\frac{OH}{90}=\frac{AO+BO}{AB}$，
又∵ $AO+BO=AB$，
∴ $\frac{OH}{60}+\frac{OH}{90}=1$，
解得 $OH=36\ \mathrm{cm}$。
答：跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH的长为36 cm。