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15.如图,在$6×6$的正方形网格中,点$A,B,C,D$均在格点上,请仅用无刻度的直尺完成以下作图(保留作图痕迹,不写作法).
(1)在图①中,在$AC$上画一点$E$,使得$△ ABE∽△ CDE$;
(2)在图②中,在$AB$上画一点$F$,使得$△ ACF∽△ ABC$.
(1)在图①中,在$AC$上画一点$E$,使得$△ ABE∽△ CDE$;
(2)在图②中,在$AB$上画一点$F$,使得$△ ACF∽△ ABC$.
答案
解：
(1) 连接BD，BD与AC的交点即为所求点E，保留连线BD的作图痕迹，如图①所示。
(2) 作∠ACF=∠ABC，使边CF交AB于点F，点F即为所求，保留对应作图痕迹，如图②所示。
注：所作图形满足对应相似判定条件，痕迹清晰即可。
(1) 连接BD，BD与AC的交点即为所求点E，保留连线BD的作图痕迹，如图①所示。
(2) 作∠ACF=∠ABC，使边CF交AB于点F，点F即为所求，保留对应作图痕迹，如图②所示。
注：所作图形满足对应相似判定条件，痕迹清晰即可。
16. 图①是一种伸缩遮阳棚，其侧面示意图如图②所示. 遮阳棚AB的长为3 m，其与墙面的夹角∠BAD=60°，其靠墙端离地面的高度AD为4 m，BC垂直于地面DE，且BC=0.5 m.（结果保留根号）
（1）求遮阳棚前端B到墙面AD的距离；
（2）当太阳光线与地面夹角∠CFE=60°时，求地面阴影DF的长度.
17. 提升题 综合与实践.
“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形. 它是我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他巧妙地利用图形的面积证明了“勾股定理”，体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲. 某数学小组对“赵爽弦图”进行了如下探究.
【初步探究】
（1）在如图①所示的“赵爽弦图”中，若AB=5，BE=3，连接HF，则HF=.
【深入探究】
（2）在如图②所示的“赵爽弦图”中，连接DF并延长，交BC于点I，I为BC的中点.
①求证：△CDG∽△DFG；
②若HE=2，求正方形ABCD的面积.
【拓展延伸】
（3）在如图③所示的“赵爽弦图”中，若正方形ABCD与正方形EFGH的边长之比为$\sqrt{5}:1$，连接GE，DE，直接写出$\tan∠DEG$的值.
（1）求遮阳棚前端B到墙面AD的距离；
（2）当太阳光线与地面夹角∠CFE=60°时，求地面阴影DF的长度.
17. 提升题 综合与实践.
“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形. 它是我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他巧妙地利用图形的面积证明了“勾股定理”，体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲. 某数学小组对“赵爽弦图”进行了如下探究.
【初步探究】
（1）在如图①所示的“赵爽弦图”中，若AB=5，BE=3，连接HF，则HF=.
【深入探究】
（2）在如图②所示的“赵爽弦图”中，连接DF并延长，交BC于点I，I为BC的中点.
①求证：△CDG∽△DFG；
②若HE=2，求正方形ABCD的面积.
【拓展延伸】
（3）在如图③所示的“赵爽弦图”中，若正方形ABCD与正方形EFGH的边长之比为$\sqrt{5}:1$，连接GE，DE，直接写出$\tan∠DEG$的值.
答案
$\boldsymbol{\sqrt{2}}$
（2）①证明：
∵ I为BC中点，在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$∠ BFC=90°$，
∴ $FI = BI = CI$，$∠ ICF = ∠ IFC$。
∵ $∠ IFC = ∠ DFG$，$∠ ICF + ∠ CDG = 90°$，$∠ DFG + ∠ GDF = 90°$，
∴ $∠ CDG = ∠ DFG$。
又∵ $∠ CGD = ∠ DGF = 90°$，
∴ $△ CDG ∽ △ DFG$。
②解：设$CF=DG=x$，$CG=BF=y$，
由$△ CDG ∽ △ DFG$得$\frac{DG}{FG} = \frac{CG}{DG}$，即$DG^2 = CG· FG$。
由题意小正方形边长$HE=FG=y-x=2$，代入得：
$x^2 = y(y-x) = 2y$
将$y=x+2$代入上式：
$x^2 = 2(x+2) \implies x^2 - 2x - 4 = 0$
解得$x=1+\sqrt{5}$（舍去负根），因此$y=3+\sqrt{5}$。
正方形ABCD的面积：
$S = CD^2 = CG^2 + DG^2 = y^2 + x^2 = (3+\sqrt{5})^2 + (1+\sqrt{5})^2 = 20 + 8\sqrt{5}$
（3）$\tan∠ DEG = \boldsymbol{3}$
（2）①证明：
∵ I为BC中点，在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$∠ BFC=90°$，
∴ $FI = BI = CI$，$∠ ICF = ∠ IFC$。
∵ $∠ IFC = ∠ DFG$，$∠ ICF + ∠ CDG = 90°$，$∠ DFG + ∠ GDF = 90°$，
∴ $∠ CDG = ∠ DFG$。
又∵ $∠ CGD = ∠ DGF = 90°$，
∴ $△ CDG ∽ △ DFG$。
②解：设$CF=DG=x$，$CG=BF=y$，
由$△ CDG ∽ △ DFG$得$\frac{DG}{FG} = \frac{CG}{DG}$，即$DG^2 = CG· FG$。
由题意小正方形边长$HE=FG=y-x=2$，代入得：
$x^2 = y(y-x) = 2y$
将$y=x+2$代入上式：
$x^2 = 2(x+2) \implies x^2 - 2x - 4 = 0$
解得$x=1+\sqrt{5}$（舍去负根），因此$y=3+\sqrt{5}$。
正方形ABCD的面积：
$S = CD^2 = CG^2 + DG^2 = y^2 + x^2 = (3+\sqrt{5})^2 + (1+\sqrt{5})^2 = 20 + 8\sqrt{5}$
（3）$\tan∠ DEG = \boldsymbol{3}$
解析
第16题解答
解：
（1）过点B作$BG ⊥ AD$，垂足为G。
在$\mathrm{Rt}△ ABG$中，$∠ AGB=90°$，$∠ BAD=60°$，$AB=3\ \mathrm{m}$，
$BG = AB· \sin60° = 3× \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{m}$
即遮阳棚前端B到墙面AD的距离为$\frac{3\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{m}$。
（2）过点C作$CK ⊥ DE$，垂足为K，过点B作$BM ⊥ AD$，垂足为M。
由题意可知四边形BMDK是矩形，因此$DK = BM = \frac{3\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，
$AM = AB· \cos60° = 3× \frac{1}{2} = 1.5\ \mathrm{m}$
$MD = AD - AM = 4 - 1.5 = 2.5\ \mathrm{m}$
由$BC ⊥ DE$，$AD ⊥ DE$，可知四边形BCKM是矩形，因此：
$CK = MD - BC = 2.5 - 0.5 = 2\ \mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ CKF$中，$∠ CKF=90°$，$∠ CFK=60°$，
$KF = \frac{CK}{\tan60°} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m}$
因此：
$DF = DK - KF = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{6}\ \mathrm{m}$
即地面阴影DF的长度为$\frac{5\sqrt{3}}{6}\ \mathrm{m}$。
---
第17题解答
解：
（1）在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ AEB=90°$，$AB=5$，$BE=3$，
$AE = \sqrt{AB^2 - BE^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$
小正方形EFGH的边长为$AE - BE = 4-3=1$，HF为小正方形对角线：
$HF = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
解：
（1）过点B作$BG ⊥ AD$，垂足为G。
在$\mathrm{Rt}△ ABG$中，$∠ AGB=90°$，$∠ BAD=60°$，$AB=3\ \mathrm{m}$，
$BG = AB· \sin60° = 3× \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{m}$
即遮阳棚前端B到墙面AD的距离为$\frac{3\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{m}$。
（2）过点C作$CK ⊥ DE$，垂足为K，过点B作$BM ⊥ AD$，垂足为M。
由题意可知四边形BMDK是矩形，因此$DK = BM = \frac{3\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，
$AM = AB· \cos60° = 3× \frac{1}{2} = 1.5\ \mathrm{m}$
$MD = AD - AM = 4 - 1.5 = 2.5\ \mathrm{m}$
由$BC ⊥ DE$，$AD ⊥ DE$，可知四边形BCKM是矩形，因此：
$CK = MD - BC = 2.5 - 0.5 = 2\ \mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ CKF$中，$∠ CKF=90°$，$∠ CFK=60°$，
$KF = \frac{CK}{\tan60°} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m}$
因此：
$DF = DK - KF = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{6}\ \mathrm{m}$
即地面阴影DF的长度为$\frac{5\sqrt{3}}{6}\ \mathrm{m}$。
---
第17题解答
解：
（1）在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ AEB=90°$，$AB=5$，$BE=3$，
$AE = \sqrt{AB^2 - BE^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$
小正方形EFGH的边长为$AE - BE = 4-3=1$，HF为小正方形对角线：
$HF = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
