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11. 某校七年级三个班级的学生在植树节这天义务植树，一班植树$a$棵，二班植树的棵数比一班的3倍多40棵，三班植树的棵数比二班的一半少30棵。
(1)三个班共植树多少棵？(用含$a$的式子表示)
(2)当$a=30$时，三个班中哪个班植树最多？
(1)三个班共植树多少棵？(用含$a$的式子表示)
(2)当$a=30$时，三个班中哪个班植树最多？
答案
(1)因为一班植树 a 棵,所以二班植树(3a+40)棵,三班植树$[\dfrac{1}{2}(3a+40)-30]$棵,则三个班共植树 a+(3a+40)+$[\dfrac{1}{2}(3a+40)-30]$=$a+3a+40+\dfrac{3}{2}a+20-30$=(5.5a+30)棵。
答:三个班共植树(5.5a+30)棵。
(2)当 a=30 时,一班植树 30 棵,二班植树 3a+40=3×30+40=130(棵),三班植树$\dfrac{1}{2}×(3×30+40)-30$=35(棵),因为 30＜35＜130,所以二班植树最多。
答:三个班共植树(5.5a+30)棵。
(2)当 a=30 时,一班植树 30 棵,二班植树 3a+40=3×30+40=130(棵),三班植树$\dfrac{1}{2}×(3×30+40)-30$=35(棵),因为 30＜35＜130,所以二班植树最多。
解析
【分析】
（1）要计算三个班共植树的棵数，首先需要根据题目给出的数量关系，分别写出二班、三班植树棵数的代数式，再将三个班的代数式相加，合并同类项化简即可得到结果。（2）要判断当a=30时哪个班植树最多，只需将a=30分别代入三个班植树棵数的代数式，计算出具体数值后比较大小即可。
【解析】
(1) 已知一班植树$a$棵，根据“二班植树的棵数比一班的3倍多40棵”，可得二班植树$(3a+40)$棵；
再根据“三班植树的棵数比二班的一半少30棵”，可得三班植树$[\dfrac{1}{2}(3a+40)-30]$棵；
三个班共植树的棵数为：
$\begin{aligned}&a+(3a+40)+[\dfrac{1}{2}(3a+40)-30]\\=&a+3a+40+\dfrac{3}{2}a+20-30\\=&5.5a+30\end{aligned}$
(2) 当$a=30$时：
一班植树棵数：$a=30$棵；
二班植树棵数：$3a+40=3×30+40=130$棵；
三班植树棵数：$\dfrac{1}{2}×(3×30+40)-30=35$棵；
比较大小可得$30＜35＜130$，因此二班植树最多。
【答案】
(1) 三个班共植树$(5.5a+30)$棵；
(2) 当$a=30$时，二班植树最多。
【知识点】
列代数式，整式的加减，代数式求值
【点评】
本题是整式加减的基础应用题型，解题核心是准确梳理不同量之间的数量关系，正确列出对应代数式，化简和代入计算时注意运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
（1）要计算三个班共植树的棵数，首先需要根据题目给出的数量关系，分别写出二班、三班植树棵数的代数式，再将三个班的代数式相加，合并同类项化简即可得到结果。（2）要判断当a=30时哪个班植树最多，只需将a=30分别代入三个班植树棵数的代数式，计算出具体数值后比较大小即可。
【解析】
(1) 已知一班植树$a$棵，根据“二班植树的棵数比一班的3倍多40棵”，可得二班植树$(3a+40)$棵；
再根据“三班植树的棵数比二班的一半少30棵”，可得三班植树$[\dfrac{1}{2}(3a+40)-30]$棵；
三个班共植树的棵数为：
$\begin{aligned}&a+(3a+40)+[\dfrac{1}{2}(3a+40)-30]\\=&a+3a+40+\dfrac{3}{2}a+20-30\\=&5.5a+30\end{aligned}$
(2) 当$a=30$时：
一班植树棵数：$a=30$棵；
二班植树棵数：$3a+40=3×30+40=130$棵；
三班植树棵数：$\dfrac{1}{2}×(3×30+40)-30=35$棵；
比较大小可得$30＜35＜130$，因此二班植树最多。
【答案】
(1) 三个班共植树$(5.5a+30)$棵；
(2) 当$a=30$时，二班植树最多。
【知识点】
列代数式，整式的加减，代数式求值
【点评】
本题是整式加减的基础应用题型，解题核心是准确梳理不同量之间的数量关系，正确列出对应代数式，化简和代入计算时注意运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
12. 某城市的体育馆连续举办了三场排球赛，第一场的观众有x人，第二场的观众比第一场减少了y人，第三场的观众比第二场减少了40%，求这三场排球赛共有观众多少人。
答案
第一场的观众有 x 人,第二场的观众有(x-y)人,第三场的观众有(1-40%)(x-y)人,则这三场排球赛共有观众 x+(x-y)+(1-40%)(x-y)=(2.6x-1.6y)人。
答:这三场排球赛共有观众(2.6x-1.6y)人。
答:这三场排球赛共有观众(2.6x-1.6y)人。
解析
【分析】
要计算三场排球赛的总观众人数，需先分别求出每场的观众人数，再将三场人数相加后化简。首先根据题目给出的数量关系：第二场观众比第一场少y人，可直接写出第二场人数；第三场比第二场减少40%，即第三场人数是第二场的(1-40%)，据此写出第三场人数；最后将三场人数相加，合并同类项得到最终结果。
【解析】
解：由题意可知：
第一场观众人数：$x$人
第二场观众比第一场减少$y$人，故第二场人数：$(x-y)$人
第三场观众比第二场减少40%，即第三场人数是第二场的$1-40\%=60\%$，故第三场人数：$60\%(x-y)=0.6(x-y)$人
三场总人数为三场人数之和：
$\begin{aligned}&x+(x-y)+0.6(x-y)\\=&x + x - y + 0.6x - 0.6y\\=&(x+x+0.6x)+(-y-0.6y)\\=&2.6x - 1.6y\end{aligned}$
【答案】
这三场排球赛共有观众$\boxed{(2.6x-1.6y)}$人。
【知识点】
列代数式；整式的加减；合并同类项
【点评】
本题是整式加减的基础应用题，解题的核心是准确理解“减少了”“减少百分之几”的数量关系，正确表示出每一场的观众人数，再通过合并同类项化简得到最终结果，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
要计算三场排球赛的总观众人数，需先分别求出每场的观众人数，再将三场人数相加后化简。首先根据题目给出的数量关系：第二场观众比第一场少y人，可直接写出第二场人数；第三场比第二场减少40%，即第三场人数是第二场的(1-40%)，据此写出第三场人数；最后将三场人数相加，合并同类项得到最终结果。
【解析】
解：由题意可知：
第一场观众人数：$x$人
第二场观众比第一场减少$y$人，故第二场人数：$(x-y)$人
第三场观众比第二场减少40%，即第三场人数是第二场的$1-40\%=60\%$，故第三场人数：$60\%(x-y)=0.6(x-y)$人
三场总人数为三场人数之和：
$\begin{aligned}&x+(x-y)+0.6(x-y)\\=&x + x - y + 0.6x - 0.6y\\=&(x+x+0.6x)+(-y-0.6y)\\=&2.6x - 1.6y\end{aligned}$
【答案】
这三场排球赛共有观众$\boxed{(2.6x-1.6y)}$人。
【知识点】
列代数式；整式的加减；合并同类项
【点评】
本题是整式加减的基础应用题，解题的核心是准确理解“减少了”“减少百分之几”的数量关系，正确表示出每一场的观众人数，再通过合并同类项化简得到最终结果，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
13. 若$P=\frac{1}{2}(x^2 - y^2 + 3), Q=\frac{1}{2}(x^2 - 2y^2 + 2)$，则$P,Q$的大小关系是（
A.$P＞Q$
B.$P＜Q$
C.$P=Q$
D.$P≤ Q$
A
）A.$P＞Q$
B.$P＜Q$
C.$P=Q$
D.$P≤ Q$
答案
13. A
解析
【分析】
要比较两个整式P和Q的大小，常用作差法：计算P-Q的值，若结果大于0，则P＞Q；若结果小于0，则P＜Q；若结果等于0，则P=Q。解题时先将P、Q的表达式代入P-Q，再通过去括号、合并同类项化简，最后结合平方的非负性判断化简结果的正负即可。
【解析】
计算$P-Q$：
$\begin{aligned}P-Q&=\frac{1}{2}(x^2 - y^2 + 3)-\frac{1}{2}(x^2 - 2y^2 + 2)\\&=\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}y^2 + \frac{3}{2} - \frac{1}{2}x^2 + y^2 - 1\\&=(\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x^2) + (-\frac{1}{2}y^2 + y^2) + (\frac{3}{2} - 1)\\&=\frac{1}{2}y^2 + \frac{1}{2}\end{aligned}$
因为任何数的平方都是非负数，即$y^2≥0$，所以$\frac{1}{2}y^2≥0$，因此$\frac{1}{2}y^2 + \frac{1}{2}≥\frac{1}{2}＞0$，即$P-Q＞0$，所以$P＞Q$。
【答案】
A
【知识点】
作差法比较大小；整式的加减；平方的非负性
【点评】
作差法是比较两个代数式大小的常用方法，本题的解题关键是正确对P-Q进行去括号、合并同类项的化简，再结合平方的非负性判断差的符号即可得出结论，计算过程中要注意去括号时符号的变化。
【难度系数】
0.8
要比较两个整式P和Q的大小，常用作差法：计算P-Q的值，若结果大于0，则P＞Q；若结果小于0，则P＜Q；若结果等于0，则P=Q。解题时先将P、Q的表达式代入P-Q，再通过去括号、合并同类项化简，最后结合平方的非负性判断化简结果的正负即可。
【解析】
计算$P-Q$：
$\begin{aligned}P-Q&=\frac{1}{2}(x^2 - y^2 + 3)-\frac{1}{2}(x^2 - 2y^2 + 2)\\&=\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}y^2 + \frac{3}{2} - \frac{1}{2}x^2 + y^2 - 1\\&=(\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x^2) + (-\frac{1}{2}y^2 + y^2) + (\frac{3}{2} - 1)\\&=\frac{1}{2}y^2 + \frac{1}{2}\end{aligned}$
因为任何数的平方都是非负数，即$y^2≥0$，所以$\frac{1}{2}y^2≥0$，因此$\frac{1}{2}y^2 + \frac{1}{2}≥\frac{1}{2}＞0$，即$P-Q＞0$，所以$P＞Q$。
【答案】
A
【知识点】
作差法比较大小；整式的加减；平方的非负性
【点评】
作差法是比较两个代数式大小的常用方法，本题的解题关键是正确对P-Q进行去括号、合并同类项的化简，再结合平方的非负性判断差的符号即可得出结论，计算过程中要注意去括号时符号的变化。
【难度系数】
0.8
14. 已知$A=2ma^2 -6a +1$，$B=3a^2 -ma -2$。
(1)当$m=-\dfrac{1}{4}$，$a=2$时，$A$的值为
(2)若无论$a$取何值时，$A-2B=5$总成立，则$m$的值为
(1)当$m=-\dfrac{1}{4}$，$a=2$时，$A$的值为
-13
。(2)若无论$a$取何值时，$A-2B=5$总成立，则$m$的值为
3
。答案
14. (1)-13 (2)3
解析
【分析】
(1) 第一问为代数式代入求值问题，解题思路是直接将给定的$m$和$a$的数值代入$A$的表达式，按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算即可得到结果。
(2) 第二问为整式恒成立问题，解题思路是先计算$A-2B$的结果，合并同类项后，由于无论$a$取何值等式都成立，说明所有含$a$的项的系数都为0，据此列方程求解$m$的值即可。
【解析】
(1) 将$m=-\dfrac{1}{4}$，$a=2$代入$A=2ma^2 -6a +1$得：
$\begin{aligned}A&=2×(-\dfrac{1}{4})×2^2 -6×2 +1\\&=2×(-\dfrac{1}{4})×4 -12 +1\\&=-2 -12 +1\\&=-13\end{aligned}$
(2) 先计算$A-2B$：
$\begin{aligned}A-2B&=(2ma^2 -6a +1) - 2×(3a^2 -ma -2)\\&=2ma^2 -6a +1 -6a^2 +2ma +4\\&=(2m-6)a^2 + (2m-6)a +5\end{aligned}$
因为无论$a$取何值，$A-2B=5$总成立，所以含$a$的项的系数均为0，即：
$2m -6 = 0$
解得$m=3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-13}$；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
代数式求值，整式的加减，多项式恒成立条件
【点评】
本题是整式加减的基础应用题型，第一问侧重考查有理数混合运算的准确性，第二问的核心是理解“代数式的值与字母取值无关”的本质是对应字母的系数为0，掌握这一规律即可快速求解此类问题。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问为代数式代入求值问题，解题思路是直接将给定的$m$和$a$的数值代入$A$的表达式，按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算即可得到结果。
(2) 第二问为整式恒成立问题，解题思路是先计算$A-2B$的结果，合并同类项后，由于无论$a$取何值等式都成立，说明所有含$a$的项的系数都为0，据此列方程求解$m$的值即可。
【解析】
(1) 将$m=-\dfrac{1}{4}$，$a=2$代入$A=2ma^2 -6a +1$得：
$\begin{aligned}A&=2×(-\dfrac{1}{4})×2^2 -6×2 +1\\&=2×(-\dfrac{1}{4})×4 -12 +1\\&=-2 -12 +1\\&=-13\end{aligned}$
(2) 先计算$A-2B$：
$\begin{aligned}A-2B&=(2ma^2 -6a +1) - 2×(3a^2 -ma -2)\\&=2ma^2 -6a +1 -6a^2 +2ma +4\\&=(2m-6)a^2 + (2m-6)a +5\end{aligned}$
因为无论$a$取何值，$A-2B=5$总成立，所以含$a$的项的系数均为0，即：
$2m -6 = 0$
解得$m=3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-13}$；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
代数式求值，整式的加减，多项式恒成立条件
【点评】
本题是整式加减的基础应用题型，第一问侧重考查有理数混合运算的准确性，第二问的核心是理解“代数式的值与字母取值无关”的本质是对应字母的系数为0，掌握这一规律即可快速求解此类问题。
【难度系数】
0.7
15. 数学中运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要。例如:已知$a^2+2a=1$,则代数式$2a^2+4a+4=2(a^2+2a)+4=2×1+4=6$。
请你根据以上材料解答以下问题:
(1)若$x^2-3x=4$,则$1-2x^2+6x=$
(2)已知$a-b=5,b-c=3$,求代数式$a+2b-(b+2c)$的值。
请你根据以上材料解答以下问题:
(1)若$x^2-3x=4$,则$1-2x^2+6x=$
-7
。(2)已知$a-b=5,b-c=3$,求代数式$a+2b-(b+2c)$的值。
答案
15. (1)-7
(2)因为 a-b=5,b-c=3,所以 a+2b-(b+2c)=a+2b-b-2c=a-b+2(b-c)=5+2×3=5+6=11。
(2)因为 a-b=5,b-c=3,所以 a+2b-(b+2c)=a+2b-b-2c=a-b+2(b-c)=5+2×3=5+6=11。
解析
【分析】
本题考查整体思想在代数式求值中的应用。(1)观察已知条件$x^2-3x=4$，待求式中的$-2x^2+6x$可提取公因式$-2$，转化为$-2(x^2-3x)$，再将已知的$x^2-3x=4$整体代入即可计算结果；(2)先对待求式$a+2b-(b+2c)$去括号、合并同类项，再将化简后的式子拆分为含有$a-b$和$b-c$的形式，最后把已知的$a-b=5$、$b-c=3$整体代入计算即可。
【解析】
(1) 先对代数式变形：
$1 - 2x^2 + 6x = 1 - 2(x^2 - 3x)$
将$x^2 - 3x = 4$代入上式：
原式$=1 - 2×4 = 1 - 8 = -7$
(2) 先化简待求代数式：
$a + 2b - (b + 2c) = a + 2b - b - 2c = a + b - 2c$
将式子变形为含已知条件的形式：
$a + b - 2c = (a - b) + 2(b - c)$
将$a - b = 5$，$b - c = 3$代入上式：
原式$=5 + 2×3 = 5 + 6 = 11$
【答案】
(1)$-7$；(2)$11$
【知识点】
整体代入求值，整式的加减，代数式求值
【点评】
本题解题的核心是运用整体思想，将待求式转化为含有已知代数式的形式，无需单独求解每个未知数的值，能有效简化计算步骤，降低运算量。
【难度系数】
0.8
本题考查整体思想在代数式求值中的应用。(1)观察已知条件$x^2-3x=4$，待求式中的$-2x^2+6x$可提取公因式$-2$，转化为$-2(x^2-3x)$，再将已知的$x^2-3x=4$整体代入即可计算结果；(2)先对待求式$a+2b-(b+2c)$去括号、合并同类项，再将化简后的式子拆分为含有$a-b$和$b-c$的形式，最后把已知的$a-b=5$、$b-c=3$整体代入计算即可。
【解析】
(1) 先对代数式变形：
$1 - 2x^2 + 6x = 1 - 2(x^2 - 3x)$
将$x^2 - 3x = 4$代入上式：
原式$=1 - 2×4 = 1 - 8 = -7$
(2) 先化简待求代数式：
$a + 2b - (b + 2c) = a + 2b - b - 2c = a + b - 2c$
将式子变形为含已知条件的形式：
$a + b - 2c = (a - b) + 2(b - c)$
将$a - b = 5$，$b - c = 3$代入上式：
原式$=5 + 2×3 = 5 + 6 = 11$
【答案】
(1)$-7$；(2)$11$
【知识点】
整体代入求值，整式的加减，代数式求值
【点评】
本题解题的核心是运用整体思想，将待求式转化为含有已知代数式的形式，无需单独求解每个未知数的值，能有效简化计算步骤，降低运算量。
【难度系数】
0.8
