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1. (★)一种电子计算机每秒可进行$10^{16}$次运算,在$10^{16}$中,底数是,指数是,$10^{16}$计算的结果叫作.这种计算机工作$10^{3}$s可进行运算的次数列式表示为.
答案
解：
根据乘方的定义，在形如$a^n$的乘方运算中，$a$是底数，$n$是指数，乘方运算的结果叫作幂。
因此在$10^{16}$中，底数是$\boldsymbol{10}$，指数是$\boldsymbol{16}$，$10^{16}$计算的结果叫作$\boldsymbol{幂}$。
计算机工作$10^3\ \mathrm{s}$的总运算次数为每秒运算次数乘工作时间，列式表示为$\boldsymbol{10^{16} × 10^{3}}$。
根据乘方的定义，在形如$a^n$的乘方运算中，$a$是底数，$n$是指数，乘方运算的结果叫作幂。
因此在$10^{16}$中，底数是$\boldsymbol{10}$，指数是$\boldsymbol{16}$，$10^{16}$计算的结果叫作$\boldsymbol{幂}$。
计算机工作$10^3\ \mathrm{s}$的总运算次数为每秒运算次数乘工作时间，列式表示为$\boldsymbol{10^{16} × 10^{3}}$。
2. (★)根据乘方的意义填空：
(1) $10^{16}×10^{3}=(\underbrace{10×10×···×10}_{\_\_\_\_\_\_个10})×(10×10×10)= \underbrace{10×10×···×10}_{\_\_\_\_\_\_个10}=10^{(\_\_\_\_\_\_)}$；
(2) $m^2·m^3=m^{(\_\_\_\_\_\_)}$；
(3) $6^m×6^n=6^{(\_\_\_\_\_\_)}$；(m,n都是正整数)
(4) $a^m·a^n=(\underbrace{a·a·····a}_{\_\_\_\_\_\_个a})·(\underbrace{a·a·····a}_{\_\_\_\_\_\_个a})=\underbrace{a·a·····a}_{\_\_\_\_\_\_个a}=a^{(\_\_\_\_\_\_)}$.
(m,n都是正整数)
(1) $10^{16}×10^{3}=(\underbrace{10×10×···×10}_{\_\_\_\_\_\_个10})×(10×10×10)= \underbrace{10×10×···×10}_{\_\_\_\_\_\_个10}=10^{(\_\_\_\_\_\_)}$；
(2) $m^2·m^3=m^{(\_\_\_\_\_\_)}$；
(3) $6^m×6^n=6^{(\_\_\_\_\_\_)}$；(m,n都是正整数)
(4) $a^m·a^n=(\underbrace{a·a·····a}_{\_\_\_\_\_\_个a})·(\underbrace{a·a·····a}_{\_\_\_\_\_\_个a})=\underbrace{a·a·····a}_{\_\_\_\_\_\_个a}=a^{(\_\_\_\_\_\_)}$.
(m,n都是正整数)
答案
解：
(1) 依次填入：$\boldsymbol{16}$；$\boldsymbol{19}$；$\boldsymbol{19}$
(2) 填入：$\boldsymbol{5}$
(3) 填入：$\boldsymbol{m+n}$
(4) 依次填入：$\boldsymbol{m}$；$\boldsymbol{n}$；$\boldsymbol{m+n}$；$\boldsymbol{m+n}$
(1) 依次填入：$\boldsymbol{16}$；$\boldsymbol{19}$；$\boldsymbol{19}$
(2) 填入：$\boldsymbol{5}$
(3) 填入：$\boldsymbol{m+n}$
(4) 依次填入：$\boldsymbol{m}$；$\boldsymbol{n}$；$\boldsymbol{m+n}$；$\boldsymbol{m+n}$
3. (★)观察第2题各小题等号两边的底数、指数的关系,写出你发现的规律.
答案
解：
规律：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即对于任意底数$a$与任意正整数$m$、$n$，都有$a^m · a^n = a^{m+n}$。
规律：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即对于任意底数$a$与任意正整数$m$、$n$，都有$a^m · a^n = a^{m+n}$。
4. (★)三个或三个以上同底数幂相乘,第3题的规律还成立吗?请说明理由.
答案
解：三个或三个以上同底数幂相乘，“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的规律仍然成立。
理由如下：
方法1：根据乘方的定义推导
设m、n、p……均为正整数，以三个同底数幂相乘为例：
$a^m · a^n · a^p$
$= \underbrace{a· a · \dots · a}_{m个a} · \underbrace{a· a · \dots · a}_{n个a} · \underbrace{a· a · \dots · a}_{p个a}$
$= \underbrace{a· a · \dots · a}_{(m+n+p)个a}$
$= a^{m+n+p}$
方法2：结合两个同底数幂的乘法法则推导
已知对任意正整数m、n，有$a^m · a^n = a^{m+n}$，根据乘法结合律：
$a^m · a^n · a^p = (a^m · a^n) · a^p = a^{m+n} · a^p = a^{(m+n)+p} = a^{m+n+p}$
以此类推，任意k（k≥3，k为正整数）个同底数幂相乘，最终结果都满足底数不变，所有指数相加，规律依然成立。
理由如下：
方法1：根据乘方的定义推导
设m、n、p……均为正整数，以三个同底数幂相乘为例：
$a^m · a^n · a^p$
$= \underbrace{a· a · \dots · a}_{m个a} · \underbrace{a· a · \dots · a}_{n个a} · \underbrace{a· a · \dots · a}_{p个a}$
$= \underbrace{a· a · \dots · a}_{(m+n+p)个a}$
$= a^{m+n+p}$
方法2：结合两个同底数幂的乘法法则推导
已知对任意正整数m、n，有$a^m · a^n = a^{m+n}$，根据乘法结合律：
$a^m · a^n · a^p = (a^m · a^n) · a^p = a^{m+n} · a^p = a^{(m+n)+p} = a^{m+n+p}$
以此类推，任意k（k≥3，k为正整数）个同底数幂相乘，最终结果都满足底数不变，所有指数相加，规律依然成立。
5. (★)计算：$x^2 · x^3 =$ 【 】
A.$x$
B.$x^5$
C.$x^6$
D.$x^8$
A.$x$
B.$x^5$
C.$x^6$
D.$x^8$
答案
B
解析
根据同底数幂的乘法运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$x^2 · x^3 = x^{2+3}=x^5$。
6. (★)式子$a^{2m+3}$不能写成
【】
A.$a^{2m} · a^3$
B.$a^m · a^{m+3}$
C.$a^{2m}+3$
D.$a^{m+1} · a^{m+2}$
【】
A.$a^{2m} · a^3$
B.$a^m · a^{m+3}$
C.$a^{2m}+3$
D.$a^{m+1} · a^{m+2}$
答案
C
解析
根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，逐一验证选项：
1. 选项A：$a^{2m} · a^3 = a^{2m+3}$，符合原式；
2. 选项B：$a^m · a^{m+3} = a^{m+m+3}=a^{2m+3}$，符合原式；
3. 选项C：$a^{2m}+3$是$a^{2m}$与3的和，和$a^{2m+3}$意义完全不同，不可能相等；
4. 选项D：$a^{m+1} · a^{m+2}=a^{(m+1)+(m+2)}=a^{2m+3}$，符合原式。
因此式子$a^{2m+3}$不能写成选项C的形式。
1. 选项A：$a^{2m} · a^3 = a^{2m+3}$，符合原式；
2. 选项B：$a^m · a^{m+3} = a^{m+m+3}=a^{2m+3}$，符合原式；
3. 选项C：$a^{2m}+3$是$a^{2m}$与3的和，和$a^{2m+3}$意义完全不同，不可能相等；
4. 选项D：$a^{m+1} · a^{m+2}=a^{(m+1)+(m+2)}=a^{2m+3}$，符合原式。
因此式子$a^{2m+3}$不能写成选项C的形式。
7. (★)计算:(1)$10^3×10^4=$；
(2)$(-x)·(-x)^2·x^4=$.
(2)$(-x)·(-x)^2·x^4=$.
答案
(1) $\boldsymbol{10^7}$；(2) $\boldsymbol{-x^7}$
解析
解：
(1) 根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加：
$10^3 × 10^4 = 10^{3+4} = 10^7$
(2) 计算过程如下：
$(-x) · (-x)^2 · x^4$
$= (-x)^{1+2} · x^4$
$= (-x)^3 · x^4$
$= -x^3 · x^4$
$= -x^{3+4}$
$= -x^7$
最终
(1) 根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加：
$10^3 × 10^4 = 10^{3+4} = 10^7$
(2) 计算过程如下：
$(-x) · (-x)^2 · x^4$
$= (-x)^{1+2} · x^4$
$= (-x)^3 · x^4$
$= -x^3 · x^4$
$= -x^{3+4}$
$= -x^7$
最终
8. (★★)计算$-x^2 · (-x)^2$的结果是。
答案
解：
$\begin{aligned}-x^2 · (-x)^2 &= -x^2 · x^2 \\&= -x^{2+2} \\&= -x^4\end{aligned}$
最终结果为$\boldsymbol{-x^4}$。
$\begin{aligned}-x^2 · (-x)^2 &= -x^2 · x^2 \\&= -x^{2+2} \\&= -x^4\end{aligned}$
最终结果为$\boldsymbol{-x^4}$。
9. (★★)计算:
(1) $a · a^4 · a^3$;
(2) $-x^4 · x^8$;
(3) $(-2) × (-2)^4 × (-2)^5$;
(4) $a^{2m} · a^{m+3}$.
(1) $a · a^4 · a^3$;
(2) $-x^4 · x^8$;
(3) $(-2) × (-2)^4 × (-2)^5$;
(4) $a^{2m} · a^{m+3}$.
答案
解：
(1) 原式 = $a^{1+4+3} = a^8$
(2) 原式 = $-x^{4+8} = -x^{12}$
(3) 原式 = $(-2)^{1+4+5} = (-2)^{10} = 1024$
(4) 原式 = $a^{2m+m+3} = a^{3m+3}$
(1) 原式 = $a^{1+4+3} = a^8$
(2) 原式 = $-x^{4+8} = -x^{12}$
(3) 原式 = $(-2)^{1+4+5} = (-2)^{10} = 1024$
(4) 原式 = $a^{2m+m+3} = a^{3m+3}$
