如图①是一个平分角的仪器，其中$OD=OE$，$FD=FE$。

(1)如图②，将仪器放置在$△ ABC$上，使点$O$与顶点$A$重合，$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，沿$AF$画一条射线$AP$，交$BC$于点$P$.$AP$是$∠ BAC$的平分线吗？请判断并说明理由.
(2)如图③，在(1)的条件下，过点$P$作$PQ ⊥ AB$于点$Q$，若$PQ=6$，$AC=9$，$△ ABC$的面积是60，求$AB$的长.

(1)AP 是∠BAC 的平分线. 理由如下：
在△ADF 和△AEF 中，
$\begin{cases} AD=AE, \\ FD=FE, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴ △ADF ≌△AEF( SSS ).
∴ ∠DAF=∠EAF.
∴ AP 平分∠BAC.
(2)如图,过点 P 作 PG⊥AC 于点 G.

∵ AP 平分∠BAC,PQ⊥AB，
∴ PG=PQ=6.
∵ $S_{△ABC} =S_{△ABP}+S_{△APC}$
$=\frac{1}{2}AB · PQ+\frac{1}{2}AC · PG$,
∴ $\frac{1}{2}AB×6+\frac{1}{2}×9×6=60.$
∴ AB=11.

【分析】
(1) 要判断AP是否为∠BAC的平分线，只需证明∠DAF=∠EAF即可。已知O与A重合时AD=AE，又有FD=FE，加上公共边AF，可通过SSS判定△ADF与△AEF全等，利用全等三角形对应角相等即可得到两角相等，从而判定AP是角平分线。
(2) 已知AP是角平分线，PQ⊥AB，根据角平分线的性质，点P到AC的距离等于PQ的长度，因此过P作PG⊥AC可得PG=PQ=6。△ABC的面积可拆分为△ABP和△ACP的面积之和，分别以AB、AC为底，PQ、PG为高表示两个小三角形的面积，代入已知的总面积、AC长度、PQ和PG的数值列方程，即可求出AB的长。
【解析】
(1) AP是∠BAC的平分线，理由如下：
在△ADF和△AEF中，
$\begin{cases} AD=AE, \\ FD=FE, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴△ADF≌△AEF(SSS)，
∴∠DAF=∠EAF，即AP平分∠BAC。
(2) 如图，过点P作PG⊥AC于点G。

∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，PG⊥AC，
∴PG=PQ=6，
∵$S_{△ABC}=S_{△ABP}+S_{△APC}=\frac{1}{2}AB·PQ+\frac{1}{2}AC·PG$，
代入数值可得：$\frac{1}{2}×AB×6+\frac{1}{2}×9×6=60$，
计算得$3AB+27=60$，解得AB=11。
【答案】
(1) AP 是∠BAC 的平分线. 理由如下：
在△ADF 和△AEF 中，
$\begin{cases} AD=AE, \\ FD=FE, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴ △ADF ≌△AEF( SSS ).
∴ ∠DAF=∠EAF.
∴ AP 平分∠BAC.
(2) 如图,过点 P 作 PG⊥AC 于点 G.

∵ AP 平分∠BAC,PQ⊥AB，
∴ PG=PQ=6.
∵ $S_{△ABC} =S_{△ABP}+S_{△APC}$
$=\frac{1}{2}AB · PQ+\frac{1}{2}AC · PG$,
∴ $\frac{1}{2}AB×6+\frac{1}{2}×9×6=60.$
∴ AB=11.
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合几何仪器考查基础几何定理的应用，第一问利用全等判定证明角平分线，第二问通过角平分线的性质得到等长的高，再拆分三角形面积列方程求解，考查了学生对基础定理的掌握和转化思想的应用。
【难度系数】
0.7