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1.若一种服装的销售盈利$y$(单位:万元)与销售数量$x$(单位:万件)满足函数关系式$y=-x^2+2x+10$,则盈利的 (
A.最大值为9万元
B.最大值为11万元
C.最小值为9万元
D.最小值为11万元
B
)A.最大值为9万元
B.最大值为11万元
C.最小值为9万元
D.最小值为11万元
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查二次函数的最值问题，解题思路如下：首先明确给出的函数是二次函数，先根据二次项系数的正负判断函数有最大值还是最小值：二次项系数小于0时，抛物线开口向下，函数有最大值，可先排除含最小值的选项；再通过配方法或者顶点坐标公式计算出最大值，对应正确选项即可。
【解析】
已知盈利与销售数量的函数关系式为$y=-x^2+2x+10$，这是二次函数，其中二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值，不存在最小值，首先排除C、D选项。
用配方法将函数化为顶点式计算最值：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x+10\\&=-(x^2-2x)+10\\&=-(x^2-2x+1-1)+10\\&=-(x-1)^2 +1 +10\\&=-(x-1)^2 +11\end{aligned}$
当$x=1$（万件）时，$y$取得最大值，最大值为11万元，因此选B。
（也可使用顶点纵坐标公式验证：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，最值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入$a=-1,b=2,c=10$，得$\frac{4×(-1)×10 - 2^2}{4×(-1)}=\frac{-44}{-4}=11$，结果一致。）
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；二次函数最值计算；配方法
【点评】
本题是二次函数最值的基础应用，解题的核心是先根据二次项系数的符号判断最值的类型，再选择合适的方法计算最值即可，解题时注意不要混淆抛物线开口方向对应的最值类型。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数的最值问题，解题思路如下：首先明确给出的函数是二次函数，先根据二次项系数的正负判断函数有最大值还是最小值：二次项系数小于0时，抛物线开口向下，函数有最大值，可先排除含最小值的选项；再通过配方法或者顶点坐标公式计算出最大值，对应正确选项即可。
【解析】
已知盈利与销售数量的函数关系式为$y=-x^2+2x+10$，这是二次函数，其中二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值，不存在最小值，首先排除C、D选项。
用配方法将函数化为顶点式计算最值：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x+10\\&=-(x^2-2x)+10\\&=-(x^2-2x+1-1)+10\\&=-(x-1)^2 +1 +10\\&=-(x-1)^2 +11\end{aligned}$
当$x=1$（万件）时，$y$取得最大值，最大值为11万元，因此选B。
（也可使用顶点纵坐标公式验证：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，最值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入$a=-1,b=2,c=10$，得$\frac{4×(-1)×10 - 2^2}{4×(-1)}=\frac{-44}{-4}=11$，结果一致。）
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；二次函数最值计算；配方法
【点评】
本题是二次函数最值的基础应用，解题的核心是先根据二次项系数的符号判断最值的类型，再选择合适的方法计算最值即可，解题时注意不要混淆抛物线开口方向对应的最值类型。
【难度系数】
0.8
2.大理洱海乘船游览项目深受游客喜爱，某游船公司调研发现，当船票单价为$ x $元时，日销量为$ (-2x + 500) $张，则当$ x = $
125
时，日售船票总收入最大。答案
2.125
解析
【分析】
要解决日售船票总收入最大的问题，首先需明确总收入的计算逻辑：日总收入=船票单价×日销量。我们可以先据此列出总收入关于单价x的函数关系式，观察可得该函数为二次函数，且二次项系数小于0，抛物线开口向下，因此函数在顶点处取得最大值，只需要计算二次函数顶点的横坐标即可得到x的取值。
【解析】
设日售船票总收入为y元，根据“总收入=单价×销量”可得：
$y = x(-2x + 500)$
整理得：$y = -2x^2 + 500x$
这是关于x的二次函数，其中$a=-2＜0$，因此函数存在最大值，二次函数顶点的横坐标对应取得最大值时的x值，根据顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-2$，$b=500$：
$x = -\frac{500}{2×(-2)} = \frac{500}{4} = 125$
即当x=125时，日售船票总收入最大。
【答案】
125
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数最值在实际经营问题中的基础应用，解题核心是正确结合题意列出函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值，是该类题型的常考基础样式。
【难度系数】
0.8
要解决日售船票总收入最大的问题，首先需明确总收入的计算逻辑：日总收入=船票单价×日销量。我们可以先据此列出总收入关于单价x的函数关系式，观察可得该函数为二次函数，且二次项系数小于0，抛物线开口向下，因此函数在顶点处取得最大值，只需要计算二次函数顶点的横坐标即可得到x的取值。
【解析】
设日售船票总收入为y元，根据“总收入=单价×销量”可得：
$y = x(-2x + 500)$
整理得：$y = -2x^2 + 500x$
这是关于x的二次函数，其中$a=-2＜0$，因此函数存在最大值，二次函数顶点的横坐标对应取得最大值时的x值，根据顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-2$，$b=500$：
$x = -\frac{500}{2×(-2)} = \frac{500}{4} = 125$
即当x=125时，日售船票总收入最大。
【答案】
125
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数最值在实际经营问题中的基础应用，解题核心是正确结合题意列出函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值，是该类题型的常考基础样式。
【难度系数】
0.8
3.便民商店经营一种商品，在销售中发现一周利润$y$(单位:元)与销售单价$x$(单位:元)之间的关系满足$y=-2x^2+80x+758$，由于某种原因，销售单价需满足$15≤ x≤19$，那么一周可获得的最大利润为
1 556
元.答案
3.1 556
解析
【分析】
本题是二次函数在利润最值问题中的应用，解题思路清晰明确：第一步先判断二次函数的开口方向，由二次项系数为负可知抛物线开口向下，函数存在最大值；第二步利用对称轴公式计算二次函数的对称轴；第三步结合给定的自变量取值范围判断最值位置：开口向下的二次函数在对称轴左侧y随x的增大而增大，给定的x范围全部在对称轴左侧，因此当x取区间最大值时，y取得最大值，最后代入求值即可。
【解析】
对于二次函数$y=-2x^2+80x+758$，
∵ 二次项系数$a=-2＜0$，
∴ 抛物线开口向下，函数存在最大值，
根据对称轴公式可得对称轴为：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{80}{2×(-2)}=20$，
已知销售单价的取值范围为$15≤ x≤19$，全部在对称轴$x=20$的左侧，
结合开口向下的二次函数性质可知，在$x≤20$区间内，$y$随$x$的增大而增大，
因此当$x=19$时，$y$取得最大值，代入计算：
$\begin{aligned}y&=-2×19^2+80×19+758\\&=-2×361+1520+758\\&=-722+1520+758\\&=1556\end{aligned}$
【答案】
1556
【知识点】
二次函数的性质；二次函数最值计算；限定区间函数最值
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题关键是不能直接将顶点函数值作为最终最值，需要结合题目给出的自变量取值范围，根据二次函数的增减性确定最值对应的自变量取值，再代入计算即可，避免忽略取值范围导致出错。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数在利润最值问题中的应用，解题思路清晰明确：第一步先判断二次函数的开口方向，由二次项系数为负可知抛物线开口向下，函数存在最大值；第二步利用对称轴公式计算二次函数的对称轴；第三步结合给定的自变量取值范围判断最值位置：开口向下的二次函数在对称轴左侧y随x的增大而增大，给定的x范围全部在对称轴左侧，因此当x取区间最大值时，y取得最大值，最后代入求值即可。
【解析】
对于二次函数$y=-2x^2+80x+758$，
∵ 二次项系数$a=-2＜0$，
∴ 抛物线开口向下，函数存在最大值，
根据对称轴公式可得对称轴为：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{80}{2×(-2)}=20$，
已知销售单价的取值范围为$15≤ x≤19$，全部在对称轴$x=20$的左侧，
结合开口向下的二次函数性质可知，在$x≤20$区间内，$y$随$x$的增大而增大，
因此当$x=19$时，$y$取得最大值，代入计算：
$\begin{aligned}y&=-2×19^2+80×19+758\\&=-2×361+1520+758\\&=-722+1520+758\\&=1556\end{aligned}$
【答案】
1556
【知识点】
二次函数的性质；二次函数最值计算；限定区间函数最值
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题关键是不能直接将顶点函数值作为最终最值，需要结合题目给出的自变量取值范围，根据二次函数的增减性确定最值对应的自变量取值，再代入计算即可，避免忽略取值范围导致出错。
【难度系数】
0.7
4.“五一”期间，某影城开业，影城每天运营成本为1 000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数$y$(单位:张)与电影票售价$x$(单位:元/张)之间满足一次函数关系：$y=-4x+220(10≤ x≤50$，且$x$是整数)，设影城每天的利润为$w$(单位:元)(利润=票房收入-运营成本).
(1)试求$w$与$x$之间的函数关系式.
(2)影城将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少元？
(1)试求$w$与$x$之间的函数关系式.
(2)影城将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少元？
答案
4.解：(1)$w=-4x^2+220x-1\ 000(10≤x≤50,且x是整数)$.
(2)影城将电影票售价定为 27 元/张或 28 元/张时,每天获利最大,最大利润是 2 024 元.
(2)影城将电影票售价定为 27 元/张或 28 元/张时,每天获利最大,最大利润是 2 024 元.
解析
【分析】
(1) 求w与x的函数关系式时，结合题目给出的“利润=票房收入-运营成本”的等量关系，票房收入为售价x乘售出票数y，已知y与x的一次函数表达式，直接代入化简即可，同时需保留题目给出的x的取值范围。
(2) 求利润最大值时，第一问得到的函数为二次函数，且二次项系数小于0，图象开口向下，顶点处取得最大值。先通过二次函数顶点横坐标公式算出理论最值点，再结合x是整数的限制，取距离顶点最近的整数代入计算，比较后得到最大利润及对应售价。
【解析】
(1) 根据题意，利润=票房收入-运营成本，其中票房收入为$x· y$，运营成本为1000元，因此：
$w = x· y - 1000$
将$y=-4x+220$代入上式，展开化简得：
$w = x(-4x+220)-1000 = -4x^2+220x-1000$
结合题中x的取值限制，最终函数关系式为$w=-4x^2+220x-1000(10≤ x≤50,且x是整数)$。
(2) 对于二次函数$w=-4x^2+220x-1000$，$a=-4＜0$，抛物线开口向下，函数存在最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式，得最值点横坐标为：
$x=-\frac{b}{2a} = -\frac{220}{2×(-4)} = 27.5$
由于x是整数，且$27.5$在$10≤x≤50$的范围内，因此分别代入$x=27$和$x=28$计算：
当$x=27$时，$w=-4×27^2+220×27-1000=2024$；
当$x=28$时，$w=-4×28^2+220×28-1000=2024$。
【答案】
(1) $w=-4x^2+220x-1000(10≤ x≤50,且x是整数)$
(2) 影城将电影票售价定为27元/张或28元/张时，每天获利最大，最大利润是2024元。
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数最值求解，函数关系式建立
【点评】
本题是典型的销售利润最值问题，解题核心是先根据等量关系建立二次函数模型，再结合二次函数性质求最值，需要特别注意自变量的实际取值限制，避免直接取顶点的非整数值导致出错。
【难度系数】
0.7
(1) 求w与x的函数关系式时，结合题目给出的“利润=票房收入-运营成本”的等量关系，票房收入为售价x乘售出票数y，已知y与x的一次函数表达式，直接代入化简即可，同时需保留题目给出的x的取值范围。
(2) 求利润最大值时，第一问得到的函数为二次函数，且二次项系数小于0，图象开口向下，顶点处取得最大值。先通过二次函数顶点横坐标公式算出理论最值点，再结合x是整数的限制，取距离顶点最近的整数代入计算，比较后得到最大利润及对应售价。
【解析】
(1) 根据题意，利润=票房收入-运营成本，其中票房收入为$x· y$，运营成本为1000元，因此：
$w = x· y - 1000$
将$y=-4x+220$代入上式，展开化简得：
$w = x(-4x+220)-1000 = -4x^2+220x-1000$
结合题中x的取值限制，最终函数关系式为$w=-4x^2+220x-1000(10≤ x≤50,且x是整数)$。
(2) 对于二次函数$w=-4x^2+220x-1000$，$a=-4＜0$，抛物线开口向下，函数存在最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式，得最值点横坐标为：
$x=-\frac{b}{2a} = -\frac{220}{2×(-4)} = 27.5$
由于x是整数，且$27.5$在$10≤x≤50$的范围内，因此分别代入$x=27$和$x=28$计算：
当$x=27$时，$w=-4×27^2+220×27-1000=2024$；
当$x=28$时，$w=-4×28^2+220×28-1000=2024$。
【答案】
(1) $w=-4x^2+220x-1000(10≤ x≤50,且x是整数)$
(2) 影城将电影票售价定为27元/张或28元/张时，每天获利最大，最大利润是2024元。
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数最值求解，函数关系式建立
【点评】
本题是典型的销售利润最值问题，解题核心是先根据等量关系建立二次函数模型，再结合二次函数性质求最值，需要特别注意自变量的实际取值限制，避免直接取顶点的非整数值导致出错。
【难度系数】
0.7
5. 中考趋势·项目式学习 将进货单价为30元的某种商品按零售价100元卖出时，每天能卖出20件.若该商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件，为了获得最大利润，决定每件降价x元(零售价不小于进货单价).
(1)每件商品的利润为
(2)每日的利润$y=$
(3)当每件降价
(1)每件商品的利润为
(70−x)
元，每日销售量为(20+x)
件；(2)每日的利润$y=$
$-x^2+50x+1\ 400$
，其中自变量$x$的取值范围为$0≤x≤70$
；(3)当每件降价
25
元时，可获得最大利润，最大利润是2 025
元.答案
5.(1)(70−x)；(20+x) (2)$-x^2+50x+1\ 400$；$0≤x≤70$ (3)25；2 025
解析
【分析】
解决这道题要紧扣销售利润的核心公式：①单件利润=售价-进价；②总利润=单件利润×销售量。首先结合题目给出的降价规则，先表示出降价后的单件利润和日销售量，再代入总利润公式得到二次函数解析式，结合“零售价不小于进货单价”的限制求出自变量x的取值范围，最后利用二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
(1) 原来售价100元，降价x元后售价为$(100-x)$元，进货单价为30元，因此每件利润为$(100-x)-30=70-x$元；
原来日销量20件，每降价1元销量增加1件，降价x元后销量增加x件，因此每日销售量为$(20+x)$件。
(2) 总利润$y=$单件利润×日销售量，因此$y=(70-x)(20+x)$，展开得：
$y=70×20+70x-20x-x^2=-x^2+50x+1400$；
自变量取值范围：首先降价金额不能为负，即$x≥0$；其次零售价不小于进货单价，即$100-x≥30$，解得$x≤70$，因此x的取值范围是$0≤x≤70$。
(3) 二次函数$y=-x^2+50x+1400$中，$a=-1＜0$，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。
根据顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，其中$a=-1，b=50$，代入得：
$x=-\frac{50}{2×(-1)}=25$，符合$0≤25≤70$的取值范围；
将$x=25$代入函数得最大利润：
$y=-25^2+50×25+1400=-625+1250+1400=2025$元。
【答案】
(1)$(70−x)$；$(20+x)$
(2)$-x^2+50x+1400$；$0≤x≤70$
(3)25；2025
【知识点】
销售利润计算，二次函数的最值，自变量取值范围确定
【点评】
这是一道结合实际销售场景的函数应用题，解题关键是理清各量之间的数量关系，正确列出函数解析式，同时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，再利用二次函数的性质求解最值即可。
【难度系数】
0.75
解决这道题要紧扣销售利润的核心公式：①单件利润=售价-进价；②总利润=单件利润×销售量。首先结合题目给出的降价规则，先表示出降价后的单件利润和日销售量，再代入总利润公式得到二次函数解析式，结合“零售价不小于进货单价”的限制求出自变量x的取值范围，最后利用二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
(1) 原来售价100元，降价x元后售价为$(100-x)$元，进货单价为30元，因此每件利润为$(100-x)-30=70-x$元；
原来日销量20件，每降价1元销量增加1件，降价x元后销量增加x件，因此每日销售量为$(20+x)$件。
(2) 总利润$y=$单件利润×日销售量，因此$y=(70-x)(20+x)$，展开得：
$y=70×20+70x-20x-x^2=-x^2+50x+1400$；
自变量取值范围：首先降价金额不能为负，即$x≥0$；其次零售价不小于进货单价，即$100-x≥30$，解得$x≤70$，因此x的取值范围是$0≤x≤70$。
(3) 二次函数$y=-x^2+50x+1400$中，$a=-1＜0$，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。
根据顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，其中$a=-1，b=50$，代入得：
$x=-\frac{50}{2×(-1)}=25$，符合$0≤25≤70$的取值范围；
将$x=25$代入函数得最大利润：
$y=-25^2+50×25+1400=-625+1250+1400=2025$元。
【答案】
(1)$(70−x)$；$(20+x)$
(2)$-x^2+50x+1400$；$0≤x≤70$
(3)25；2025
【知识点】
销售利润计算，二次函数的最值，自变量取值范围确定
【点评】
这是一道结合实际销售场景的函数应用题，解题关键是理清各量之间的数量关系，正确列出函数解析式，同时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，再利用二次函数的性质求解最值即可。
【难度系数】
0.75
6.新情境 色彩艳丽、小巧精美的傣族花包以独有的民族特色成为游客喜爱的纪念品.每个花包的成本为10元,某老板发现,当售价定为12元/个时,每天的销售量为200个,若售价每提高1元,销售量就会减少10个.
(1)当每个花包的售价定为16元时,每天的销售量为
(2)当花包的售价定为多少时,该老板每天获得的利润最大?最大利润是多少?
(1)当每个花包的售价定为16元时,每天的销售量为
160
个;当每个花包的售价定为x元时,每天的销售量为$(-10x+320)$
个.(2)当花包的售价定为多少时,该老板每天获得的利润最大?最大利润是多少?
答案
6.解：(1)160；$(-10x+320)$
(2)当花包的售价定为 21 元/个时,该老板每天获得的利润最大,最大利润是 1 210 元.
(2)当花包的售价定为 21 元/个时,该老板每天获得的利润最大,最大利润是 1 210 元.
解析
【分析】
(1) 先计算售价从12元涨到16元的涨幅，结合“每涨1元销量减10个”算出减少的销量，用原销量减去减少的销量即可得到16元时的销量；若售价为x元，先算出售价涨幅为$(x-12)$元，同理列出销量的表达式再化简即可。
(2) 利润的计算公式为“总利润=单个利润×销售量”，先根据该公式列出总利润关于售价x的二次函数表达式，再结合二次函数的性质，开口向下的抛物线在顶点处取得最大值，利用二次函数顶点坐标公式求出对应售价和最大利润即可。
【解析】
(1) 当售价定为16元时，相比12元上涨了$16-12=4$元，
则销售量减少$4×10=40$个，
此时每天的销售量为$200-40=160$个。
当售价定为x元时，相比12元上涨了$(x-12)$元，
则销售量减少$10(x-12)$个，
此时每天的销售量为$200-10(x-12)=200-10x+120=-10x+320$个。
(2) 设该老板每天获得的利润为w元，
单个花包的利润为$(x-10)$元，每天的销售量为$(-10x+320)$个，
根据总利润公式可得：
$w=(x-10)(-10x+320)$
展开得：$w=-10x^2+420x-3200$
$\because a=-10＜0$，$\therefore$ 该二次函数图象开口向下，w有最大值，
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{420}{2×(-10)}=21$时，w取得最大值，
将$x=21$代入表达式得：
$w=(21-10)×(-10×21+320)=11×100=1210$元。
【答案】
(1) $160$；$-10x+320$
(2) 当花包的售价定为21元/个时，每天获得的利润最大，最大利润是1210元。
【知识点】
一次函数的实际应用；二次函数利润问题；二次函数的最值
【点评】
本题结合民族文创产品的销售情境考查利润类函数问题，解题核心是明确销售问题中各个量的数量关系，正确列出函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，是销售类最值问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
(1) 先计算售价从12元涨到16元的涨幅，结合“每涨1元销量减10个”算出减少的销量，用原销量减去减少的销量即可得到16元时的销量；若售价为x元，先算出售价涨幅为$(x-12)$元，同理列出销量的表达式再化简即可。
(2) 利润的计算公式为“总利润=单个利润×销售量”，先根据该公式列出总利润关于售价x的二次函数表达式，再结合二次函数的性质，开口向下的抛物线在顶点处取得最大值，利用二次函数顶点坐标公式求出对应售价和最大利润即可。
【解析】
(1) 当售价定为16元时，相比12元上涨了$16-12=4$元，
则销售量减少$4×10=40$个，
此时每天的销售量为$200-40=160$个。
当售价定为x元时，相比12元上涨了$(x-12)$元，
则销售量减少$10(x-12)$个，
此时每天的销售量为$200-10(x-12)=200-10x+120=-10x+320$个。
(2) 设该老板每天获得的利润为w元，
单个花包的利润为$(x-10)$元，每天的销售量为$(-10x+320)$个，
根据总利润公式可得：
$w=(x-10)(-10x+320)$
展开得：$w=-10x^2+420x-3200$
$\because a=-10＜0$，$\therefore$ 该二次函数图象开口向下，w有最大值，
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{420}{2×(-10)}=21$时，w取得最大值，
将$x=21$代入表达式得：
$w=(21-10)×(-10×21+320)=11×100=1210$元。
【答案】
(1) $160$；$-10x+320$
(2) 当花包的售价定为21元/个时，每天获得的利润最大，最大利润是1210元。
【知识点】
一次函数的实际应用；二次函数利润问题；二次函数的最值
【点评】
本题结合民族文创产品的销售情境考查利润类函数问题，解题核心是明确销售问题中各个量的数量关系，正确列出函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，是销售类最值问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
