1. (2024·宜宾)如图,AB是$\odot O$的直径.若$∠CDB=60^{\circ }$,则$∠ABC$的度数为 ( )
A. $30°$
B. $45°$
C. $60°$
D. $90°$

A

2. 如图,点 A,B,C,D 在$\odot O$上,$OA⊥BC$,垂足为 E,连接 AD,CD.若$∠ADC=30^{\circ },AE=\sqrt {3}$,则BC 的长为
( )
A. 6
B. $4\sqrt{3}$
C. $2\sqrt{3}$
D. 3

A

3. (2024·海安期中)如图，$\odot O$的直径$AB$平分弦$CD$（不是直径），连接$AC$，$BD$。若$∠ C=50°$，则$∠ D$的度数为 （ ）
A. $50°$
B. $45°$
C. $40°$
D. $32°$

C

4. （易错题）已知$\bigodot O$的直径$AB$为$2$，弦$AC$的长为$\sqrt{2}$，则弦$AC$所对的圆周角的度数为______．

$45^{\circ}$或$135^{\circ}$

5. (2024·陕西)如图，AB为$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，$∠ A=53°$，则$∠ B$的度数是________．

$37^{\circ}$

6. 如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$于点E，点M在$\odot O$上，MD恰好经过圆心O，连接MB.
(1) 若$CD=16$，$BE=4$，求$\odot O$的直径；
(2) 若$∠ M=∠ D$，求$∠ D$的度数.

第6题

解：（1）$\because AB$是$\odot O$的直径，弦$CD\perp AB，$$CD = 16，$ $\therefore \angle OED = 90^{\circ}，$$DE=\frac{1}{2}CD = 8。$ $\because BE = 4，$$\therefore OE = OB - BE = OD - 4。$ 在$Rt\triangle OED$中，$\because OE^{2}+DE^{2}=OD^{2}，$ $\therefore (OD - 4)^{2}+8^{2}=OD^{2}，$ $OD^{2}-8OD + 16+64=OD^{2}，$ $-8OD=-80，$ $\therefore OD = 10。$ $\therefore \odot O$的直径是$20。$ （2）由（1），得$\angle OED = 90^{\circ}，$$\therefore \angle EOD+\angle D = 90^{\circ}。$ $\because \angle M=\angle D，$$\angle EOD = 2\angle M，$ $\therefore \angle EOD+\angle D = 2\angle M+\angle D = 2\angle D+\angle D = 90^{\circ}，$ $3\angle D = 90^{\circ}，$ $\therefore \angle D = 30^{\circ}。$

7. 如图，AB是$\odot O$的弦，且$AB=6$，C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，D是优弧AB上的一点，$∠ ADC=30°$，则圆心O到弦AB的距离为 （ ）
A. $3\sqrt{3}$
B. $\dfrac{3}{2}$
C. $\sqrt{3}$
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

C

8. 如图,点A,B,C,D在$\odot O$上,$AC⊥ BC$,$AC=4$,$∠ ADC=30°$,则BC的长为________.

$4\sqrt{3}$