9.（易错题）如图，在$\odot O$中，若$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，则下列关于弦$AB$与弦$AC$之间关系正确的是 （ ）
A. $AB=AC$
B. $AB＞2AC$
C. $AB=2AC$
D. $AB＜2AC$

D

10.（教材P90 习题24.1第13题变式）如图，A，B是$\odot O$上的点，$∠ AOB=120°$，C是$\overset{\frown}{AB}$的中点．若$\odot O$的半径为2，则四边形ACBO的面积为$\underline{\hspace{5em}}$．

$2\sqrt{3}$

11. 如图,以$□ ABCD$的一个顶点$A$为圆心、$AB$长为半径作圆,分别交$BC$,$AD$于点$E$,$F$,$BA$的延长线交$\odot A$于点$G$.判断$\overset{\frown}{EF}$和$\overset{\frown}{FG}$是否相等,并说明理由.

第11题

解：连接$AE。$ 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC，$所以$\angle GAD = \angle GBC，$$\angle DAE = \angle AEB。$ 因为$AB = AE，$所以$\angle GBC = \angle AEB，$所以$\angle DAE = \angle GAD，$所以$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}。$ ;

12. 如图，$∠ AOB=90°$，$C,D$ 是 $\overset{\frown}{AB}$ 的三等分点，$AB$ 与 $OC,OD$ 分别交于点 $E,F$. 求证：$AE=BF=CD$.

解：连接$AC，$$BD。$ 因为$C，$$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，所以$AC = CD = BD，$且$\angle AOC=\frac{1}{3}\times90^{\circ}=30^{\circ}。$ 因为$OA = OC，$所以$\angle OAC=\angle OCA = 75^{\circ}。$ 因为$\angle AOB = 90^{\circ}，$$OA = OB，$所以$\angle OAE=\angle OBF = 45^{\circ}。$ 所以$\angle AEC=\angle OAE+\angle AOC=45^{\circ}+30^{\circ}=75^{\circ}。$ 所以$\angle AEC=\angle ACE，$所以$AE = AC。$ 同理，可证$BF = BD。$ 所以$AE = BF = CD。$ ;

13. 如图，$\odot O$ 的半径 $OA ⊥ OC$，点 $D$ 在 $\overset{\frown}{AC}$ 上，且 $\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD}$，$OA=4$．
（1）求 $∠ COD$ 的度数；
（2）求弦 $AD$ 的长；
（3）已知 $P$ 是半径 $OC$ 上一动点，求 $AP+PD$ 的最小值．

第13题

（1）解：因为$OA\perp OC，$所以$\angle AOC = 90^{\circ}。$ 因为$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD}，$所以$\angle AOD = 2\angle COD，$所以$\angle COD=\frac{1}{3}\angle AOC = 30^{\circ}。$ （2）解：由（1），知$\angle AOD = 2\angle COD = 2\times30^{\circ}=60^{\circ}。$ 因为$OA = OD，$所以$\triangle AOD$为等边三角形，所以$AD = OA = 4。$ （3）解：如图，过点$D$作$DE\perp OC，$交$\odot O$于点$E，$连接$AE，$交$OD，$$OC$于点$B，$$P，$连接$DP，$$OE，$则此时$AP + PD$的值最小。 根据圆的对称性，易得$E$是点$D$关于$OC$的对称点，$OC$是$DE$的垂直平分线，所以$PD = PE，$所以$AP + PD=AP + PE = AE。$ 由（1），知$\angle COD = 30^{\circ}，$所以$\angle COE=\angle COD = 30^{\circ}，$所以$\angle DOE = 60^{\circ}。$ 因为$\angle AOD = 60^{\circ}，$所以$\angle DOE=\angle AOD。$ 因为$AO = EO，$所以$OB\perp AE，$所以$AB = BE。$ 在$Rt\triangle AOB$中，因为$\angle AOB = 60^{\circ}，$所以$\angle OAB = 30^{\circ}。$ 因为$OA = 4，$所以$OB=\frac{1}{2}OA = 2，$所以$AB=\sqrt{OA^{2}-OB^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}} = 2\sqrt{3}，$所以$BE = AB = 2\sqrt{3}。$ 所以$AE=AB + BE = 4\sqrt{3}，$即$AP + PD$的最小值为$4\sqrt{3}。$ ;