24. (12分)某段铁路需要在铁路两旁安置两座探照灯,如图3 - 11,灯$A$射线从$AM$开始顺时针旋转至$AN$便立即回转,灯$B$射线从$BP$开始顺时针旋转至$BQ$便立即回转,两灯不停交叉照射巡视。若灯$A$转动的速度是每秒$2^{\circ}$,灯$B$转动的速度是每秒$1^{\circ}$,假定主道路是平行的,即$PQ // MN$,且$\angle BAM:\angle BAN = 2:1$。

(1)填空:$\angle BAM = $______$^{\circ}$;
(2)若灯$B$射线先转动30s,灯$A$射线才开始转动,在灯$B$射线到达$BQ$之前,$A$灯转动几秒,两灯的光束互相平行?
(3)若两灯同时开始转动,两灯射出的光束交于点$C$,且$\angle ACB = 150^{\circ}$,求在灯$B$射线到达$BQ$之前转动的时间。

解：(1) $\because \angle BAM : \angle BAN = 2 : 1, \angle BAM + \angle BAN = 180^{\circ}$，
$\therefore \angle BAM = 180^{\circ} \times \frac{2}{2 + 1} = 120^{\circ}$。
故答案为 120。
(2) 设 A 灯转动$t$ s，其光束为射线$AC$时与灯 B 射线$BD$平行。

当$0 ＜ t ＜ 90$时，则有$\angle MAC = (2t)^{\circ}, \angle PBD = (30 + t)^{\circ}$，
如图①，$\because PQ // MN, \therefore \angle PBD = \angle BDA$。
$\because AC // BD$，
$\therefore \angle CAM = \angle BDA$，
$\therefore \angle CAM = \angle PBD$，
$\therefore (2t)^{\circ} = (30 + t)^{\circ}$，解得$t = 30$；
当$90 ＜ t ＜ 150$时，此时的灯 A 射线已到达$AN$再回转，
则有$\angle CAN = (2t - 180)^{\circ}, \angle PBD = (t + 30)^{\circ}$，
如图②，$\because PQ // MN$，
$\therefore \angle PBD + \angle BDA = 180^{\circ}$。
$\because AC // BD$，
$\therefore \angle CAN = \angle BDA$，
$\therefore \angle PBD + \angle CAN = 180^{\circ}$，
$\therefore (30 + t)^{\circ} + (2t - 180)^{\circ} = 180^{\circ}$，
解得$t = 110$。
综上所述，当 A 灯转动 30 s 或 110 s 时，两灯的光束互相平行。
(3) $\because PQ // MN$，
$\therefore \angle ABP = \angle MAB = 120^{\circ}, \angle QBA = \angle BAN = 60^{\circ}$。
设灯 B 射线转动时间为$t$ s，
如图③，当$\angle ACB = 150^{\circ}$时，$\angle ABC = (120 - t)^{\circ}, \angle BAC = (2t - 120)^{\circ}$或$[60 - (2t - 180)]^{\circ}$。
又$\because \angle ACB = 150^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC + \angle BAC = 30^{\circ}$，
则$(120 - t)^{\circ} + (2t - 120)^{\circ} = 30^{\circ}$，
解得$t = 30$，此时$AC$与$BC$不相交，不符合题意；
或$[60 - (2t - 180)]^{\circ} + (120 - t)^{\circ} = 30^{\circ}$，
解得$t = 110$；
如图④，当$\angle ACB = 150^{\circ}$时，$\angle ABC = (t - 120)^{\circ}, \angle BAC = (2t - 180 - 60)^{\circ}$，
则$(t - 120)^{\circ} + (2t - 180 - 60)^{\circ} = 30^{\circ}$，
解得$t = 130$。
综上所述，在灯 B 射线到达$BQ$之前转动的时间为 110 s 或 130 s。