9. 已知直线$AB:y= kx+b经过B(1,4),A(5,0)$两点,且与直线$y= 2x-4交于点C$.
(1)求直线$AB的函数解析式并求出点C$的坐标.
(2)现有一点$P在直线AB$上,过点$P作PQ// y轴交直线y= 2x-4于点Q$,若线段$PQ的长为4$,求点$P$的坐标.

(1)把点 $(1,4)$，$(5,0)$ 分别代入 $y = kx + b$ 得
$\begin{cases}4 = k + b, \\0 = 5k + b,\end{cases}$
解得
$\begin{cases}k = -1, \\b = 5.\end{cases}$
所以直线 $AB$ 的函数解析式为 $y = -x + 5$。
联立两方程得
$\begin{cases}y = -x + 5, \\y = 2x - 4,\end{cases}$
解得
$\begin{cases}x = 3, \\y = 2.\end{cases}$
所以点 $C$ 的坐标为 $(3,2)$。
(2)设 $P(x,-x + 5)$，则 $Q(x,2x - 4)$。
当 $x \leq 3$ 时，如图①，$PQ = -x + 5 - (2x - 4) = 4$，解得 $x = \frac{5}{3}$，
∴点 $P$ 的坐标为 $(\frac{5}{3},\frac{10}{3})$。

当 $x ＞ 3$ 时，如图②，$PQ = 2x - 4 - (-x + 5) = 4$，解得 $x = \frac{13}{3}$，
∴点 $P$ 的坐标为 $(\frac{13}{3},\frac{2}{3})$。

综上所述，点 $P$ 的坐标为 $(\frac{5}{3},\frac{10}{3})$ 或 $(\frac{13}{3},\frac{2}{3})$。

10. 如图,直线$l_{1}:y_{1}= -x+b与x轴交于点A$,与$y轴交于点B$,且当$y_{1}≤0$时,$x≥6$,点$P(a,\frac {1}{2}a)在直线l_{2}:y_{2}= kx$上.
(1)求$b$的值;
(2)如果点$P在\triangle AOB$内部,求$a$的取值范围;
(3)如果点$P在AB$上,点$Q在x$轴上,当$\triangle POQ$为等腰三角形时,直接写出点$Q$的坐标.

(1)∵直线 $l_1:y_1 = -x + b$ 与 $x$ 轴交于点 $A$，与 $y$ 轴交于点 $B$，且当 $y_1 \leq 0$ 时，$x \geq 6$，
∴点 $A$ 的坐标为 $(6,0)$。
当 $x = 6$ 时，$y_1 = 0 = -x + b$，∴$b = 6$。
(2)由(1)得 $y_1 = -x + 6$。
∵点 $P(a,\frac{1}{2}a)$ 在直线 $l_2$ 上，
∴$k \cdot a = \frac{1}{2}a$，∴$k = \frac{1}{2}$，∴$y_2 = \frac{1}{2}x$。
联立两方程得
$\begin{cases}y = -x + 6, \\y = \frac{1}{2}x,\end{cases}$
解得
$\begin{cases}x = 4, \\y = 2.\end{cases}$
∴当点 $P$ 在 $AB$ 上时，点 $P$ 的坐标为 $(4,2)$。
又∵点 $P$ 在 $ \triangle AOB$ 的内部，
∴
$\begin{cases}0 ＜ a ＜ 4, \\frac{1}{2}a ＜ 2,\end{cases}$
解得
$\begin{cases}0 ＜ a ＜ 4, \\a ＜ 4,\end{cases}$
∴$0 ＜ a ＜ 4$。
(3)如图，由(2)可得点 $P$ 在 $AB$ 上时，点 $P$ 的坐标为 $(4,2)$，

∴$OP = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}$。
①当 $OP = OQ$ 时，则 $Q_1(-2\sqrt{5},0)$，$Q_2(2\sqrt{5},0)$；
②当 $OP = PQ$ 时，则 $Q_3(8,0)$；
③当 $QO = QP$ 时，设 $Q(m,0)$，$m^2 = (m - 4)^2 + 2^2$，解得 $m = \frac{5}{2}$，则 $Q_4(\frac{5}{2},0)$。
∴$Q_1(-2\sqrt{5},0)$，$Q_2(2\sqrt{5},0)$，$Q_3(8,0)$，$Q_4(\frac{5}{2},0)$。