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3. 如图12，四边形ABCD是正方形，M，N分别在CD，BC上，连接AM，AN，MN且∠MAN=45°，
(1)证明：DM+BN=MN；
(2)如果正方形的边长是4，求△CNM的周长。
(1)证明：DM+BN=MN；
(2)如果正方形的边长是4，求△CNM的周长。
答案
3. (1) 提示:将$△ ADM$顺时针旋转90°得到$△ ABE$. (2) 8
解析
【分析】
(1) 要证明两条线段的和等于第三条线段，常用截长补短的思路，本题结合正方形邻边相等、内角为90°的特点，可通过旋转将分散的DM和BN转化到同一条线段上：将△ADM绕点A顺时针旋转90°，使AD与AB重合，得到△ABE，此时DM=BE，只需证明MN等于BN与BE的和即EN的长度，再通过证明△AMN≌△AEN即可得证。
(2) 求△CNM的周长，可直接利用第一问得到的MN=DM+BN的结论，将周长中的MN替换为DM+BN，再将线段重新组合，转化为正方形两条边长的和，代入边长数值计算即可。
【解析】
(1) 证明：将△ADM绕点A顺时针旋转90°，使AD与AB重合，得到△ABE。
由旋转的性质可得：△ADM≌△ABE，
∴AM=AE，DM=BE，∠DAM=∠BAE。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
又
∵∠MAN=45°，
∴∠DAM+∠BAN=∠BAD - ∠MAN = 90°-45°=45°，
∴∠BAE+∠BAN=∠EAN=45°，即∠EAN=∠MAN。
在△AMN和△AEN中：
$\{\begin{array}{l}AM=AE \\∠MAN=∠EAN \\AN=AN\end{array} $
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN=EN，
又
∵EN=BN+BE=BN+DM，
∴DM+BN=MN。
(2) 解：△CNM的周长$C_{△ CNM}=CN+CM+MN$，
由(1)的结论知MN=DM+BN，代入得：
$C_{△ CNM}=CN+CM+DM+BN=(CN+BN)+(CM+DM)=BC+CD$，
∵正方形边长为4，
∴BC=CD=4，
∴$C_{△ CNM}=4+4=8$。
【答案】
(1) 证明详见解析；(2) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
正方形的性质；旋转的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是正方形中45°角的经典题型，通过旋转将分散的线段集中到一起，结合全等三角形证明线段和差关系，是解决这类问题的常用技巧，第二问直接利用第一问的结论转化周长，体现了转化思想的应用，也提醒同学们解决几何综合题时要注意前后问的关联。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明两条线段的和等于第三条线段，常用截长补短的思路，本题结合正方形邻边相等、内角为90°的特点，可通过旋转将分散的DM和BN转化到同一条线段上：将△ADM绕点A顺时针旋转90°，使AD与AB重合，得到△ABE，此时DM=BE，只需证明MN等于BN与BE的和即EN的长度，再通过证明△AMN≌△AEN即可得证。
(2) 求△CNM的周长，可直接利用第一问得到的MN=DM+BN的结论，将周长中的MN替换为DM+BN，再将线段重新组合，转化为正方形两条边长的和，代入边长数值计算即可。
【解析】
(1) 证明：将△ADM绕点A顺时针旋转90°，使AD与AB重合，得到△ABE。
由旋转的性质可得：△ADM≌△ABE，
∴AM=AE，DM=BE，∠DAM=∠BAE。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
又
∵∠MAN=45°，
∴∠DAM+∠BAN=∠BAD - ∠MAN = 90°-45°=45°，
∴∠BAE+∠BAN=∠EAN=45°，即∠EAN=∠MAN。
在△AMN和△AEN中：
$\{\begin{array}{l}AM=AE \\∠MAN=∠EAN \\AN=AN\end{array} $
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN=EN，
又
∵EN=BN+BE=BN+DM，
∴DM+BN=MN。
(2) 解：△CNM的周长$C_{△ CNM}=CN+CM+MN$，
由(1)的结论知MN=DM+BN，代入得：
$C_{△ CNM}=CN+CM+DM+BN=(CN+BN)+(CM+DM)=BC+CD$，
∵正方形边长为4，
∴BC=CD=4，
∴$C_{△ CNM}=4+4=8$。
【答案】
(1) 证明详见解析；(2) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
正方形的性质；旋转的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是正方形中45°角的经典题型，通过旋转将分散的线段集中到一起，结合全等三角形证明线段和差关系，是解决这类问题的常用技巧，第二问直接利用第一问的结论转化周长，体现了转化思想的应用，也提醒同学们解决几何综合题时要注意前后问的关联。
【难度系数】
0.7
一、选择题
1. 下列结论中,错误的是(
A.形状大小完全相同的两个图形一定关于某点成中心对称
B.成中心对称的两个图形,对称中心到两对称点的距离相等
C.成中心对称的两个图形,对称中心在两对称点的连线上
D.成中心对称的两个图形,对应线段平行(或在同一直线上)且相等
1. 下列结论中,错误的是(
A
)A.形状大小完全相同的两个图形一定关于某点成中心对称
B.成中心对称的两个图形,对称中心到两对称点的距离相等
C.成中心对称的两个图形,对称中心在两对称点的连线上
D.成中心对称的两个图形,对应线段平行(或在同一直线上)且相等
答案
1. A
解析
【分析】
本题考查中心对称的概念与性质，解题思路是先回顾中心对称的定义和相关性质，再逐一比对每个选项的描述是否符合相关概念，最终找出错误的结论。首先要明确：形状大小完全相同的图形是全等图形，但全等图形不一定成中心对称，成中心对称的图形首先是全等的，同时还要满足绕对称中心旋转180°后能重合的要求，再结合中心对称的性质判断其余选项即可。
【解析】
首先回忆中心对称的定义与性质：
中心对称定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点成中心对称。
中心对称性质：①成中心对称的两个图形全等；②对称点的连线经过对称中心，且被对称中心平分；③对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
对各选项逐一分析：
A选项：形状大小完全相同的两个图形是全等图形，但全等图形不一定满足绕某点旋转180°后重合的要求（例如平移得到的两个全等三角形就不成中心对称），因此该结论错误；
B选项：根据性质②，对称中心平分对称点的连线，因此对称中心到两对称点的距离相等，结论正确；
C选项：根据性质②，对称点的连线经过对称中心，因此对称中心在两对称点的连线上，结论正确；
D选项：符合性质③的描述，结论正确。
综上，错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
中心对称的定义、中心对称的性质
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是准确理解中心对称的概念，区分全等与中心对称的逻辑关系，熟练掌握中心对称的性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
本题考查中心对称的概念与性质，解题思路是先回顾中心对称的定义和相关性质，再逐一比对每个选项的描述是否符合相关概念，最终找出错误的结论。首先要明确：形状大小完全相同的图形是全等图形，但全等图形不一定成中心对称，成中心对称的图形首先是全等的，同时还要满足绕对称中心旋转180°后能重合的要求，再结合中心对称的性质判断其余选项即可。
【解析】
首先回忆中心对称的定义与性质：
中心对称定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点成中心对称。
中心对称性质：①成中心对称的两个图形全等；②对称点的连线经过对称中心，且被对称中心平分；③对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
对各选项逐一分析：
A选项：形状大小完全相同的两个图形是全等图形，但全等图形不一定满足绕某点旋转180°后重合的要求（例如平移得到的两个全等三角形就不成中心对称），因此该结论错误；
B选项：根据性质②，对称中心平分对称点的连线，因此对称中心到两对称点的距离相等，结论正确；
C选项：根据性质②，对称点的连线经过对称中心，因此对称中心在两对称点的连线上，结论正确；
D选项：符合性质③的描述，结论正确。
综上，错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
中心对称的定义、中心对称的性质
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是准确理解中心对称的概念，区分全等与中心对称的逻辑关系，熟练掌握中心对称的性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
2. 已知点$A(-2,3)$与点$B$关于点$C(4,1)$成中心对称，则点$B$的坐标是(
A.$(1,2)$
B.$(10,-1)$
C.$(-1,2)$
D.$(10,1)$
B
)A.$(1,2)$
B.$(10,-1)$
C.$(-1,2)$
D.$(10,1)$
答案
2. B
解析
【分析】
本题考查中心对称性质的应用，解题思路如下：首先回忆中心对称的性质：若两个点关于某点成中心对称，则该对称中心是这两个点所连线段的中点。因此我们可以设点B的坐标为(x,y)，再利用中点坐标公式分别列关于x、y的一元一次方程，求解即可得到点B的坐标。
【解析】
设点B的坐标为$(x,y)$。
∵ 点$A(-2,3)$与点B关于点$C(4,1)$成中心对称，
∴ 点C是线段AB的中点。
根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则它们的中点坐标为$(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2})$，可得：
$\begin{cases}\dfrac{-2 + x}{2} = 4 \\\dfrac{3 + y}{2} = 1\end{cases}$
解第一个方程：$-2 + x = 8$，得$x=10$；
解第二个方程：$3 + y = 2$，得$y=-1$。
∴ 点B的坐标为$(10,-1)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
中心对称的性质；中点坐标公式
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是理解中心对称与线段中点的对应关系，只要熟练掌握中点坐标公式，就能快速计算得出结果。
【难度系数】
0.8
本题考查中心对称性质的应用，解题思路如下：首先回忆中心对称的性质：若两个点关于某点成中心对称，则该对称中心是这两个点所连线段的中点。因此我们可以设点B的坐标为(x,y)，再利用中点坐标公式分别列关于x、y的一元一次方程，求解即可得到点B的坐标。
【解析】
设点B的坐标为$(x,y)$。
∵ 点$A(-2,3)$与点B关于点$C(4,1)$成中心对称，
∴ 点C是线段AB的中点。
根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则它们的中点坐标为$(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2})$，可得：
$\begin{cases}\dfrac{-2 + x}{2} = 4 \\\dfrac{3 + y}{2} = 1\end{cases}$
解第一个方程：$-2 + x = 8$，得$x=10$；
解第二个方程：$3 + y = 2$，得$y=-1$。
∴ 点B的坐标为$(10,-1)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
中心对称的性质；中点坐标公式
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是理解中心对称与线段中点的对应关系，只要熟练掌握中点坐标公式，就能快速计算得出结果。
【难度系数】
0.8
3. 下列图形中，△A'B'C'与△ABC成中心对称的是(
B
)答案
3. B
解析
【分析】
要判断两个三角形是否成中心对称，首先明确中心对称的核心判定依据：若两个图形成中心对称，则将其中一个图形绕对称中心旋转180°后，能够与另一个图形完全重合，且两个图形所有对应点的连线都经过对称中心，被对称中心平分。我们用这个特征逐一分析选项：
①选项A：△A'B'C'是△ABC绕点O旋转小于180°的角度得到的，旋转后不能重合，不符合中心对称要求；
②选项B：对应点A与A'、B与B'、C与C'的连线都经过点O，且O是各对应点连线的中点，将△ABC绕O旋转180°后可与△A'B'C'完全重合，符合中心对称的特征；
③选项C：两个三角形对应点的连线被中间竖直线垂直平分，属于轴对称，不是中心对称；
④选项D：两个三角形对应点连线平行且相等，属于平移变换，不是中心对称。
【解析】
根据中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，就称这两个图形成中心对称。
选项A：△A'B'C'由△ABC绕O旋转锐角得到，旋转角度不是180°，不符合中心对称定义，错误；
选项B：△ABC绕点O旋转180°后能与△A'B'C'完全重合，符合中心对称定义，正确；
选项C：两个图形关于中间竖直线成轴对称，不是中心对称，错误；
选项D：△A'B'C'由△ABC平移得到，属于平移变换，不是中心对称，错误。
【答案】
B
【知识点】
中心对称的判定；图形变换的区分
【点评】
本题考查常见图形变换的识别，解题关键是熟练掌握中心对称、旋转、轴对称、平移的核心特征，准确区分不同类型的图形变换，是对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
要判断两个三角形是否成中心对称，首先明确中心对称的核心判定依据：若两个图形成中心对称，则将其中一个图形绕对称中心旋转180°后，能够与另一个图形完全重合，且两个图形所有对应点的连线都经过对称中心，被对称中心平分。我们用这个特征逐一分析选项：
①选项A：△A'B'C'是△ABC绕点O旋转小于180°的角度得到的，旋转后不能重合，不符合中心对称要求；
②选项B：对应点A与A'、B与B'、C与C'的连线都经过点O，且O是各对应点连线的中点，将△ABC绕O旋转180°后可与△A'B'C'完全重合，符合中心对称的特征；
③选项C：两个三角形对应点的连线被中间竖直线垂直平分，属于轴对称，不是中心对称；
④选项D：两个三角形对应点连线平行且相等，属于平移变换，不是中心对称。
【解析】
根据中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，就称这两个图形成中心对称。
选项A：△A'B'C'由△ABC绕O旋转锐角得到，旋转角度不是180°，不符合中心对称定义，错误；
选项B：△ABC绕点O旋转180°后能与△A'B'C'完全重合，符合中心对称定义，正确；
选项C：两个图形关于中间竖直线成轴对称，不是中心对称，错误；
选项D：△A'B'C'由△ABC平移得到，属于平移变换，不是中心对称，错误。
【答案】
B
【知识点】
中心对称的判定；图形变换的区分
【点评】
本题考查常见图形变换的识别，解题关键是熟练掌握中心对称、旋转、轴对称、平移的核心特征，准确区分不同类型的图形变换，是对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
4. 如图1，$△ ABC$绕点$O$旋转$180°$得到$△ DEF$，下列说法错误的是(
A.$△ ABC$与$△ DEF$关于点$B$成中心对称
B.点$B$和点$E$关于点$O$对称
C.$AB// DE$
D.$CE=BF$
A
)A.$△ ABC$与$△ DEF$关于点$B$成中心对称
B.点$B$和点$E$关于点$O$对称
C.$AB// DE$
D.$CE=BF$
答案
4. A
解析
【分析】
首先根据题目给出的“△ABC绕点O旋转180°得到△DEF”，可判断△ABC和△DEF关于点O成中心对称，接下来结合中心对称的性质：对应点的连线被对称中心平分、对应线段平行且相等，依次对四个选项进行验证，找出说法错误的选项即可。
【解析】
∵△ABC绕点O旋转180°得到△DEF，
∴△ABC与△DEF关于点O成中心对称，根据中心对称的性质可得：
1. 对应点B和点E、点C和点F的连线都经过对称中心O，且被O平分，即$OB=OE$，$OC=OF$；
2. 对应线段AB和DE平行且相等，BC和EF平行且相等，AC和DF平行且相等。
对各选项判断如下：
A. 两个三角形的对称中心是点O，不是点B，故该说法错误，符合题意；
B. 点B和点E是对应点，故点B和点E关于点O对称，该说法正确，不符合题意；
C. AB和DE是对应线段，故$AB// DE$，该说法正确，不符合题意；
D.
∵$OC=OF$，$OE=OB$，
∴$OC-OE=OF-OB$，即$CE=BF$，该说法正确，不符合题意。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
中心对称的性质，旋转的性质
【点评】
本题考查中心对称相关知识，解题的关键是明确旋转180°对应的图形变换是中心对称，熟练运用中心对称的对应点、对应线段的性质即可判断，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
首先根据题目给出的“△ABC绕点O旋转180°得到△DEF”，可判断△ABC和△DEF关于点O成中心对称，接下来结合中心对称的性质：对应点的连线被对称中心平分、对应线段平行且相等，依次对四个选项进行验证，找出说法错误的选项即可。
【解析】
∵△ABC绕点O旋转180°得到△DEF，
∴△ABC与△DEF关于点O成中心对称，根据中心对称的性质可得：
1. 对应点B和点E、点C和点F的连线都经过对称中心O，且被O平分，即$OB=OE$，$OC=OF$；
2. 对应线段AB和DE平行且相等，BC和EF平行且相等，AC和DF平行且相等。
对各选项判断如下：
A. 两个三角形的对称中心是点O，不是点B，故该说法错误，符合题意；
B. 点B和点E是对应点，故点B和点E关于点O对称，该说法正确，不符合题意；
C. AB和DE是对应线段，故$AB// DE$，该说法正确，不符合题意；
D.
∵$OC=OF$，$OE=OB$，
∴$OC-OE=OF-OB$，即$CE=BF$，该说法正确，不符合题意。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
中心对称的性质，旋转的性质
【点评】
本题考查中心对称相关知识，解题的关键是明确旋转180°对应的图形变换是中心对称，熟练运用中心对称的对应点、对应线段的性质即可判断，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
5. 如图2,在等边△ABC中,O为BC的中点,AB=2,△BPQ与△BAO关于点B中心对称,连接CP,则CP的长为(
A.$\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{5}$
C.4
D.$2\sqrt{3}$
D
)A.$\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{5}$
C.4
D.$2\sqrt{3}$
答案
5. D
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步，利用等边三角形“三线合一”的性质，先求出AO、BO的长度以及∠AOB的度数；第二步，根据中心对称的性质，可知成中心对称的两个三角形全等，得到对应边、对应角的相等关系，确定∠Q为直角；第三步，计算直角△PQC的两条直角边长度，最后用勾股定理求出CP的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=2，
∴BC=AB=2，
∵O为BC的中点，
∴AO⊥BC（等边三角形三线合一），$BO=OC=\frac{1}{2}BC=1$，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∵△BPQ与△BAO关于点B中心对称，
∴△BPQ≌△BAO，
∴$PQ=AO=\sqrt{3}$，$BQ=BO=1$，$∠Q=∠AOB=90°$，
∴$QC=BQ+BC=1+2=3$，
在Rt△PQC中，由勾股定理得：
$CP=\sqrt{PQ^2+QC^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+3^2}=\sqrt{3+9}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质、中心对称的性质、勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，需要熟练掌握等边三角形和中心对称的性质，通过性质转化线段和角的关系，构造直角三角形即可用勾股定理求解。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：第一步，利用等边三角形“三线合一”的性质，先求出AO、BO的长度以及∠AOB的度数；第二步，根据中心对称的性质，可知成中心对称的两个三角形全等，得到对应边、对应角的相等关系，确定∠Q为直角；第三步，计算直角△PQC的两条直角边长度，最后用勾股定理求出CP的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=2，
∴BC=AB=2，
∵O为BC的中点，
∴AO⊥BC（等边三角形三线合一），$BO=OC=\frac{1}{2}BC=1$，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∵△BPQ与△BAO关于点B中心对称，
∴△BPQ≌△BAO，
∴$PQ=AO=\sqrt{3}$，$BQ=BO=1$，$∠Q=∠AOB=90°$，
∴$QC=BQ+BC=1+2=3$，
在Rt△PQC中，由勾股定理得：
$CP=\sqrt{PQ^2+QC^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+3^2}=\sqrt{3+9}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质、中心对称的性质、勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，需要熟练掌握等边三角形和中心对称的性质，通过性质转化线段和角的关系，构造直角三角形即可用勾股定理求解。
【难度系数】
0.7
