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4. 如图8，P是等边△ABC内一点，连接AP，CP，将△PAC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△P'AB，连接PP'，若AP'=2，则PP'的长为
2
.答案
4. 2
解析
【分析】
解题时先回忆旋转的性质：旋转前后的图形全等，对应边相等，对应角相等，旋转角相等。首先由△PAC绕点A旋转得到△P'AB，可得AP=AP'，且旋转角∠P'AP等于等边△ABC的内角∠BAC=60°，再根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”可判定△P'AP是等边三角形，最后利用等边三角形三边相等的性质即可求出PP'的长度。
【解析】
解：
∵△PAC绕点A逆时针旋转得到△P'AB，
∴△PAC≌△P'AB，
∴AP=AP'，∠PAC=∠P'AB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠PAC+∠BAP=60°，
∴∠P'AB+∠BAP=∠P'AP=60°，
又
∵AP=AP'，
∴△P'AP是等边三角形，
∴PP'=AP'，
∵AP'=2，
∴PP'=2。
【答案】
2
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题是旋转性质与等边三角形知识结合的基础题，解题的突破口是结合旋转性质推出△P'AP为等边三角形，这类题型是图形旋转章节的常考基础题型，掌握相关性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆旋转的性质：旋转前后的图形全等，对应边相等，对应角相等，旋转角相等。首先由△PAC绕点A旋转得到△P'AB，可得AP=AP'，且旋转角∠P'AP等于等边△ABC的内角∠BAC=60°，再根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”可判定△P'AP是等边三角形，最后利用等边三角形三边相等的性质即可求出PP'的长度。
【解析】
解：
∵△PAC绕点A逆时针旋转得到△P'AB，
∴△PAC≌△P'AB，
∴AP=AP'，∠PAC=∠P'AB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠PAC+∠BAP=60°，
∴∠P'AB+∠BAP=∠P'AP=60°，
又
∵AP=AP'，
∴△P'AP是等边三角形，
∴PP'=AP'，
∵AP'=2，
∴PP'=2。
【答案】
2
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题是旋转性质与等边三角形知识结合的基础题，解题的突破口是结合旋转性质推出△P'AP为等边三角形，这类题型是图形旋转章节的常考基础题型，掌握相关性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
5*. 如图9,将等腰Rt△ABC绕点A逆时针旋转45°,得到△ADE. 已知,AB=3,连接BE,则BE=
$3\sqrt{3}$
.答案
5. $3\sqrt{3}$
解析
【分析】
解决本题首先要结合旋转的性质，先分析等腰直角△ABC的边角特征：等腰直角三角形的底角为45°，先用勾股定理算出斜边AC的长度；再根据旋转的性质得到对应边AE=AC，旋转角为45°，进而推出∠BAE为直角；最后在直角△ABE中利用勾股定理计算BE的长度即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=3，
∴AB=BC=3，∠ABC=90°，∠BAC=45°，
由勾股定理可得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，
∵△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，
∴根据旋转的性质，$AE=AC=3\sqrt{2}$，旋转角$∠ CAE=45°$，
∴$∠ BAE=∠ BAC+∠ CAE=45°+45°=90°$，即△ABE是直角三角形，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{3^2+(3\sqrt{2})^2}=\sqrt{9+18}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
旋转的性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是结合旋转性质确定所求线段所在三角形的形状和边长，再利用勾股定理求解，需要学生熟练掌握旋转和特殊三角形的相关性质。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要结合旋转的性质，先分析等腰直角△ABC的边角特征：等腰直角三角形的底角为45°，先用勾股定理算出斜边AC的长度；再根据旋转的性质得到对应边AE=AC，旋转角为45°，进而推出∠BAE为直角；最后在直角△ABE中利用勾股定理计算BE的长度即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=3，
∴AB=BC=3，∠ABC=90°，∠BAC=45°，
由勾股定理可得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，
∵△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，
∴根据旋转的性质，$AE=AC=3\sqrt{2}$，旋转角$∠ CAE=45°$，
∴$∠ BAE=∠ BAC+∠ CAE=45°+45°=90°$，即△ABE是直角三角形，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{3^2+(3\sqrt{2})^2}=\sqrt{9+18}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
旋转的性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是结合旋转性质确定所求线段所在三角形的形状和边长，再利用勾股定理求解，需要学生熟练掌握旋转和特殊三角形的相关性质。
【难度系数】
0.6
三、解答题
1. 如图10，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,-1),B(1,-3),C(3,-4).
(1)将△ABC向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到△A₁B₁C₁，画出两次平移后的△A₁B₁C₁，并写出点C₁的坐标；
(2)画出△A₁B₁C₁绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A₂B₂C₂，并写出点C₂的坐标.
1. 如图10，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,-1),B(1,-3),C(3,-4).
(1)将△ABC向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到△A₁B₁C₁，画出两次平移后的△A₁B₁C₁，并写出点C₁的坐标；
(2)画出△A₁B₁C₁绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A₂B₂C₂，并写出点C₂的坐标.
答案
1. (1) 图略，$C_1(4,1)$ (2) 图略，$C_2(-1,4)$
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中图形的平移和旋转变换的坐标规律。对于(1)，先明确平移的坐标变化规则：横坐标遵循右加左减，纵坐标遵循上加下减，将△ABC各顶点按要求平移即可得到对应点坐标，再连线得到平移后图形；对于(2)，回忆绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律：点(x,y)旋转后对应点坐标为(-y,x)，将△A₁B₁C₁各顶点按此规则变换得到对应点，连线即可得到旋转后的图形。
【解析】
(1) 已知点C的坐标为(3,-4)，根据平移规则：向上平移5个单位，纵坐标加5；向右平移1个单位，横坐标加1。
则点C₁的横坐标为：$3+1=4$，纵坐标为：$-4+5=1$，即$C_1(4,1)$。
依次平移A、B点得到对应点$A_1$、$B_1$，顺次连接三点即可得到△A₁B₁C₁，图略。
(2) 已知$C_1(4,1)$，绕原点O逆时针旋转90°时，点$(x,y)$对应点坐标为$(-y,x)$，将$x=4,y=1$代入：
点C₂的横坐标为$-1$，纵坐标为$4$，即$C_2(-1,4)$。
依次旋转$A_1$、$B_1$得到对应点$A_2$、$B_2$，顺次连接三点即可得到△A₂B₂C₂，图略。
【答案】
(1) $C_1(4,1)$（图略）；(2) $C_2(-1,4)$（图略）
【知识点】
图形的平移；图形的旋转；坐标与图形变换
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形变换的基础题型，重点考查平移、旋转的坐标变化规律，解题核心是熟练掌握两种变换对应的坐标运算规则，注意变换顺序不要混淆，计算细心即可得分。
【难度系数】
0.8
本题考查平面直角坐标系中图形的平移和旋转变换的坐标规律。对于(1)，先明确平移的坐标变化规则：横坐标遵循右加左减，纵坐标遵循上加下减，将△ABC各顶点按要求平移即可得到对应点坐标，再连线得到平移后图形；对于(2)，回忆绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律：点(x,y)旋转后对应点坐标为(-y,x)，将△A₁B₁C₁各顶点按此规则变换得到对应点，连线即可得到旋转后的图形。
【解析】
(1) 已知点C的坐标为(3,-4)，根据平移规则：向上平移5个单位，纵坐标加5；向右平移1个单位，横坐标加1。
则点C₁的横坐标为：$3+1=4$，纵坐标为：$-4+5=1$，即$C_1(4,1)$。
依次平移A、B点得到对应点$A_1$、$B_1$，顺次连接三点即可得到△A₁B₁C₁，图略。
(2) 已知$C_1(4,1)$，绕原点O逆时针旋转90°时，点$(x,y)$对应点坐标为$(-y,x)$，将$x=4,y=1$代入：
点C₂的横坐标为$-1$，纵坐标为$4$，即$C_2(-1,4)$。
依次旋转$A_1$、$B_1$得到对应点$A_2$、$B_2$，顺次连接三点即可得到△A₂B₂C₂，图略。
【答案】
(1) $C_1(4,1)$（图略）；(2) $C_2(-1,4)$（图略）
【知识点】
图形的平移；图形的旋转；坐标与图形变换
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形变换的基础题型，重点考查平移、旋转的坐标变化规律，解题核心是熟练掌握两种变换对应的坐标运算规则，注意变换顺序不要混淆，计算细心即可得分。
【难度系数】
0.8
2. 已知$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ ACB=90°$，点D是平面内任意一点，CD绕着点C逆时针旋转$90°$到CE.
(1)如图11-1，若D为$△ ABC$内一点，求证：$AD=BE$；
(2)如图11-2，若D为AB边上一点，$AD=5$，$BD=12$，求DE的长.
(1)如图11-1，若D为$△ ABC$内一点，求证：$AD=BE$；
(2)如图11-2，若D为AB边上一点，$AD=5$，$BD=12$，求DE的长.
答案
(1) 提示:证$△ ACD≌ △ BCE$. (2) $DE=13$
解析
【分析】
(1) 要证明线段相等，通常可证明线段所在的三角形全等。首先根据旋转的性质得到CD=CE、∠DCE=90°，结合等腰直角三角形AC=BC、∠ACB=90°的性质，可推导出∠ACD=∠BCE，利用SAS即可证明△ACD≌△BCE，从而得到对应边AD=BE。
(2) 借助(1)的全等结论，可得BE=AD，且∠CBE=∠A=45°，结合△ABC中∠ABC=45°，可推出∠DBE=90°，即△DBE为直角三角形，再用勾股定理即可求出DE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，
∴ CD=CE，∠DCE=90°，
∵ △ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴ AC=BC，∠ACB=∠DCE=90°，
∴ ∠ACB - ∠BCD = ∠DCE - ∠BCD，即$∠ ACD=∠ BCE$，
在$△ ACD$和$△ BCE$中：
$\begin{cases}AC=BC \\∠ ACD=∠ BCE \\CD=CE\end{cases}$
∴ $△ ACD≌△ BCE(\mathrm{SAS})$，
∴ $AD=BE$。
(2) 解：
由(1)的全等结论可得$BE=AD=5$，$∠ CBE=∠ A$，
∵ △ABC是等腰直角三角形，$∠ ACB=90°$，
∴ $∠ A=∠ ABC=45°$，
∴ $∠ CBE=45°$，
∴ $∠ DBE=∠ ABC+∠ CBE=45°+45°=90°$，即$△ DBE$是直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△ DBE$中，$BE=5$，$BD=12$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{BE^2+BD^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$。
【答案】
(1) AD=BE得证；(2) $\boldsymbol{13}$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是旋转相关的基础综合题，解题关键是利用旋转的性质构造全等三角形，实现线段和角度的转化，第二问需要结合全等结论推导直角三角形，再用勾股定理计算，是几何部分的常见典型考题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明线段相等，通常可证明线段所在的三角形全等。首先根据旋转的性质得到CD=CE、∠DCE=90°，结合等腰直角三角形AC=BC、∠ACB=90°的性质，可推导出∠ACD=∠BCE，利用SAS即可证明△ACD≌△BCE，从而得到对应边AD=BE。
(2) 借助(1)的全等结论，可得BE=AD，且∠CBE=∠A=45°，结合△ABC中∠ABC=45°，可推出∠DBE=90°，即△DBE为直角三角形，再用勾股定理即可求出DE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，
∴ CD=CE，∠DCE=90°，
∵ △ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴ AC=BC，∠ACB=∠DCE=90°，
∴ ∠ACB - ∠BCD = ∠DCE - ∠BCD，即$∠ ACD=∠ BCE$，
在$△ ACD$和$△ BCE$中：
$\begin{cases}AC=BC \\∠ ACD=∠ BCE \\CD=CE\end{cases}$
∴ $△ ACD≌△ BCE(\mathrm{SAS})$，
∴ $AD=BE$。
(2) 解：
由(1)的全等结论可得$BE=AD=5$，$∠ CBE=∠ A$，
∵ △ABC是等腰直角三角形，$∠ ACB=90°$，
∴ $∠ A=∠ ABC=45°$，
∴ $∠ CBE=45°$，
∴ $∠ DBE=∠ ABC+∠ CBE=45°+45°=90°$，即$△ DBE$是直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△ DBE$中，$BE=5$，$BD=12$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{BE^2+BD^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$。
【答案】
(1) AD=BE得证；(2) $\boldsymbol{13}$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是旋转相关的基础综合题，解题关键是利用旋转的性质构造全等三角形，实现线段和角度的转化，第二问需要结合全等结论推导直角三角形，再用勾股定理计算，是几何部分的常见典型考题。
【难度系数】
0.7
