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5.若关于$x,y$的多项式$xy^2 + 2x^2y^2$的次数与关于$a,b$的单项式$a^nb^3$的次数相同，则下列选项中，与单项式$a^nb^3$是同类项的是(
A.$a^2b^3$
B.$a^3b$
C.$-\frac{1}{2}ab^3$
D.$ab$
C
).A.$a^2b^3$
B.$a^3b$
C.$-\frac{1}{2}ab^3$
D.$ab$
答案
5. C 解析 由题意,知$3+n=2+2$,则$n=1$,故与单项式$a^nb^3$是同类项的是$-\frac{1}{2}ab^3$.
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先回忆多项式次数的定义，计算出给定多项式的次数；第二步，回忆单项式次数的定义，根据“多项式与单项式次数相同”的条件列等式，求出n的值，确定目标单项式的形式；第三步，回忆同类项的定义，逐一比对选项，选出符合要求的同类项。
【解析】
1. 计算多项式$xy^2 + 2x^2y^2$的次数：
多项式的次数是次数最高的项的次数，其中项$xy^2$的次数为$1+2=3$，项$2x^2y^2$的次数为$2+2=4$，因此该多项式的次数为4。
2. 求n的值：
单项式的次数是所有字母的指数和，已知单项式$a^nb^3$的次数与上述多项式次数相同，可列等式：
$n + 3 = 4$
解得$n=1$，即目标单项式为$ab^3$。
3. 根据同类项定义判断选项：
同类项的定义为：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项。
A选项$a^2b^3$中a的指数为2，不符合；
B选项$a^3b$中a的指数为3、b的指数为1，不符合；
C选项$-\frac{1}{2}ab^3$所含字母为a、b，a的指数为1、b的指数为3，符合要求；
D选项$ab$中b的指数为1，不符合。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
多项式的次数；单项式的次数；同类项的定义
【点评】
本题是整式基础概念的综合应用题，核心考查对多项式次数、单项式次数、同类项三个基础概念的理解和应用，只要准确掌握概念就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步，先回忆多项式次数的定义，计算出给定多项式的次数；第二步，回忆单项式次数的定义，根据“多项式与单项式次数相同”的条件列等式，求出n的值，确定目标单项式的形式；第三步，回忆同类项的定义，逐一比对选项，选出符合要求的同类项。
【解析】
1. 计算多项式$xy^2 + 2x^2y^2$的次数：
多项式的次数是次数最高的项的次数，其中项$xy^2$的次数为$1+2=3$，项$2x^2y^2$的次数为$2+2=4$，因此该多项式的次数为4。
2. 求n的值：
单项式的次数是所有字母的指数和，已知单项式$a^nb^3$的次数与上述多项式次数相同，可列等式：
$n + 3 = 4$
解得$n=1$，即目标单项式为$ab^3$。
3. 根据同类项定义判断选项：
同类项的定义为：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项。
A选项$a^2b^3$中a的指数为2，不符合；
B选项$a^3b$中a的指数为3、b的指数为1，不符合；
C选项$-\frac{1}{2}ab^3$所含字母为a、b，a的指数为1、b的指数为3，符合要求；
D选项$ab$中b的指数为1，不符合。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
多项式的次数；单项式的次数；同类项的定义
【点评】
本题是整式基础概念的综合应用题，核心考查对多项式次数、单项式次数、同类项三个基础概念的理解和应用，只要准确掌握概念就能快速解题。
【难度系数】
0.8
6. 阅读材料:我们知道，$4x - 2x + x = (4 - 2 + 1)x = 3x$，类似地，我们把$(a + b)$看成一个整体，则$4(a + b) - 2(a + b) + (a + b) = (4 - 2 + 1)(a + b) = 3(a + b)$。“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。
尝试应用:
(1)把$(a - b)^2$看成一个整体，将多项式$3(a - b)^2 + 6(a - b)^2 - 2(a - b)^2$化简；
(2)已知$a = 3, b = 4$，求$3(a - b)^2 + 6(a - b)^2 - 2(a - b)^2$的值。
尝试应用:
(1)把$(a - b)^2$看成一个整体，将多项式$3(a - b)^2 + 6(a - b)^2 - 2(a - b)^2$化简；
(2)已知$a = 3, b = 4$，求$3(a - b)^2 + 6(a - b)^2 - 2(a - b)^2$的值。
答案
6. 解 (1)$3(a-b)^2+6(a-b)^2-2(a-b)^2=(3+6-2)(a-b)^2=7(a-b)^2$.
(2)当$a=3,b=4$时,原式$=7×(3-4)^2=7$.
(2)当$a=3,b=4$时,原式$=7×(3-4)^2=7$.
解析
【分析】
(1) 本题运用材料给出的整体思想，将$(a-b)^2$看作一个整体，类比合并同类项的运算规则：同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，只需把三项的系数3、6、-2做加减运算，就能得到化简结果。
(2) 先直接使用第(1)问的化简结论，再将$a=3$、$b=4$代入化简后的式子，按照有理数运算顺序，先算括号内的减法，再算乘方，最后算乘法，即可求出代数式的值。
【解析】
(1) 把$(a-b)^2$看成一个整体，合并同类项：
$3(a-b)^2+6(a-b)^2-2(a-b)^2=(3+6-2)(a-b)^2=7(a-b)^2$
(2) 当$a=3,b=4$时，将数值代入化简后的式子计算：
原式$=7×(3-4)^2=7×(-1)^2=7×1=7$
【答案】
(1) $7(a-b)^2$；(2) $7$
【知识点】
合并同类项；整体思想；代数式求值
【点评】
本题属于基础应用型题目，重点考查对整体思想的理解和合并同类项法则的运用，解题的关键是明确整体部分对应同类项的字母部分，合并完系数后代入数值按运算规则计算即可。
【难度系数】
0.85
(1) 本题运用材料给出的整体思想，将$(a-b)^2$看作一个整体，类比合并同类项的运算规则：同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，只需把三项的系数3、6、-2做加减运算，就能得到化简结果。
(2) 先直接使用第(1)问的化简结论，再将$a=3$、$b=4$代入化简后的式子，按照有理数运算顺序，先算括号内的减法，再算乘方，最后算乘法，即可求出代数式的值。
【解析】
(1) 把$(a-b)^2$看成一个整体，合并同类项：
$3(a-b)^2+6(a-b)^2-2(a-b)^2=(3+6-2)(a-b)^2=7(a-b)^2$
(2) 当$a=3,b=4$时，将数值代入化简后的式子计算：
原式$=7×(3-4)^2=7×(-1)^2=7×1=7$
【答案】
(1) $7(a-b)^2$；(2) $7$
【知识点】
合并同类项；整体思想；代数式求值
【点评】
本题属于基础应用型题目，重点考查对整体思想的理解和合并同类项法则的运用，解题的关键是明确整体部分对应同类项的字母部分，合并完系数后代入数值按运算规则计算即可。
【难度系数】
0.85
7. 下面是小乐同学进行整式化简的过程,请认真阅读并完成相应任务.
解:$2m^2 + 2m^2n - 2m^2 + mn^2$
$= 2m^2 - 2m^2 + 2m^2n + mn^2$ （第一步）
$= 3m^2n$ （第二步）
任务1:填空.
以上化简过程中,第
任务2:请写出正确的化简过程,并计算当$m=-4,n=-\dfrac{1}{2}$时代数式的值.
解:$2m^2 + 2m^2n - 2m^2 + mn^2$
$= 2m^2 - 2m^2 + 2m^2n + mn^2$ （第一步）
$= 3m^2n$ （第二步）
任务1:填空.
以上化简过程中,第
二
步开始出现错误,具体错误是把“$2m^2n$”与“$mn^2$”当成同类项合并成了一项
;任务2:请写出正确的化简过程,并计算当$m=-4,n=-\dfrac{1}{2}$时代数式的值.
答案
7. 任务1:二 把“$2m^2n$”与“$mn^2$”当成同类项合并成了一项
任务2:解 $2m^2+2m^2n-2m^2+mn^2=2m^2-2m^2+2m^2n+mn^2=2m^2n+mn^2$.
当$m=-4,n=-\frac{1}{2}$时,原式$=2×(-4)^2×(-\frac{1}{2})+(-4)×(-\frac{1}{2})^2=-16+(-1)=-17$.
任务2:解 $2m^2+2m^2n-2m^2+mn^2=2m^2-2m^2+2m^2n+mn^2=2m^2n+mn^2$.
当$m=-4,n=-\frac{1}{2}$时,原式$=2×(-4)^2×(-\frac{1}{2})+(-4)×(-\frac{1}{2})^2=-16+(-1)=-17$.
解析
【分析】
任务1解题思路：逐步骤检查整式化简过程是否符合运算规则：第一步运用加法交换律调整项的位置，符合运算定律，无错误；第二步合并同类项前需先判断项是否为同类项，同类项要求所含字母相同且相同字母的指数也对应相等，观察2m²n和mn²，二者相同字母的指数不匹配，不是同类项，不能合并，由此可定位错误步骤及错误原因。
任务2解题思路：先严格按照合并同类项规则化简原式，仅将同类项合并，非同类项直接保留；再将m、n的取值代入化简后的式子，按照有理数运算顺序计算，注意负数乘方的符号处理。
【解析】
任务1：
第一步利用加法交换律交换项的位置，运算正确；
第二步中，2m²n与mn²不属于同类项，不能合并，因此从第二步开始出现错误，具体错误是把“2m²n”与“mn²”当成同类项合并成了一项。
任务2：
正确化简过程：
$2m^2 + 2m^2n - 2m^2 + mn^2$
$= 2m^2 - 2m^2 + 2m^2n + mn^2$
$= 2m^2n + mn^2$
将$m=-4,n=-\dfrac{1}{2}$代入上式：
原式$=2×(-4)^2×(-\dfrac{1}{2}) + (-4)×(-\dfrac{1}{2})^2$
$=2×16×(-\dfrac{1}{2}) + (-4)×\dfrac{1}{4}$
$=-16 -1$
$=-17$
【答案】
任务1：二；把“$2m^2n$”与“$mn^2$”当成同类项合并成了一项
任务2：化简结果为$2m^2n + mn^2$，当$m=-4,n=-\dfrac{1}{2}$时，代数式的值为$-17$
【知识点】
同类项的定义；合并同类项；代数式求值
【点评】
本题考查合并同类项的基础规则，解题核心是准确判断同类项，只有同类项才可以合并，代入求值时要注意负数乘方的符号判断，避免因细节失误失分。
【难度系数】
0.8
任务1解题思路：逐步骤检查整式化简过程是否符合运算规则：第一步运用加法交换律调整项的位置，符合运算定律，无错误；第二步合并同类项前需先判断项是否为同类项，同类项要求所含字母相同且相同字母的指数也对应相等，观察2m²n和mn²，二者相同字母的指数不匹配，不是同类项，不能合并，由此可定位错误步骤及错误原因。
任务2解题思路：先严格按照合并同类项规则化简原式，仅将同类项合并，非同类项直接保留；再将m、n的取值代入化简后的式子，按照有理数运算顺序计算，注意负数乘方的符号处理。
【解析】
任务1：
第一步利用加法交换律交换项的位置，运算正确；
第二步中，2m²n与mn²不属于同类项，不能合并，因此从第二步开始出现错误，具体错误是把“2m²n”与“mn²”当成同类项合并成了一项。
任务2：
正确化简过程：
$2m^2 + 2m^2n - 2m^2 + mn^2$
$= 2m^2 - 2m^2 + 2m^2n + mn^2$
$= 2m^2n + mn^2$
将$m=-4,n=-\dfrac{1}{2}$代入上式：
原式$=2×(-4)^2×(-\dfrac{1}{2}) + (-4)×(-\dfrac{1}{2})^2$
$=2×16×(-\dfrac{1}{2}) + (-4)×\dfrac{1}{4}$
$=-16 -1$
$=-17$
【答案】
任务1：二；把“$2m^2n$”与“$mn^2$”当成同类项合并成了一项
任务2：化简结果为$2m^2n + mn^2$，当$m=-4,n=-\dfrac{1}{2}$时，代数式的值为$-17$
【知识点】
同类项的定义；合并同类项；代数式求值
【点评】
本题考查合并同类项的基础规则，解题核心是准确判断同类项，只有同类项才可以合并，代入求值时要注意负数乘方的符号判断，避免因细节失误失分。
【难度系数】
0.8
