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典例1 如图，BD是$△ ABC$的中线，G是BD上一点，且$BG=2GD$，连接AG，若$△ ABC$的面积为6，则图中阴影部分的面积是
2
。答案
答案2
解析
∵BD是△ABC的中线，△ABC的面积为6，
∴S△ABD=$\frac{1}{2}$S△ABC=3.
∵BG=2GD，
∴BG=$\frac{2}{3}$BD，
∴$S_{△ABG}=\frac{2}{3}S_{△ABD}=2.$
解析
∵BD是△ABC的中线，△ABC的面积为6，
∴S△ABD=$\frac{1}{2}$S△ABC=3.
∵BG=2GD，
∴BG=$\frac{2}{3}$BD，
∴$S_{△ABG}=\frac{2}{3}S_{△ABD}=2.$
解析
【分析】
解题时先从已知条件“BD是△ABC的中线”入手，回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，据此可先求出△ABD的面积。再结合条件“BG=2GD”可知，△ABG和△ABD是等高的两个三角形，等高三角形的面积比等于对应底的比，由此可根据BG和BD的比例关系求出阴影部分△ABG的面积。
【解析】
∵BD是△ABC的中线，△ABC的面积为6，
∴AD=DC，△ABD和△CBD等底同高，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6=3$。
∵BG=2GD，
∴$BG=\frac{2}{3}BD$，
又
∵△ABG和△ABD以BG、BD为底时高相同，
∴$S_{△ ABG}=\frac{2}{3}S_{△ ABD}=\frac{2}{3}×3=2$。
【答案】
2
【知识点】
三角形中线的性质，等高三角形面积与底的关系
【点评】
本题是三角形面积计算的基础题，解题的关键是熟练掌握中线平分三角形面积的性质，以及等高三角形面积比等于底边长的比这一规律，计算难度不大，是几何面积计算的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件“BD是△ABC的中线”入手，回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，据此可先求出△ABD的面积。再结合条件“BG=2GD”可知，△ABG和△ABD是等高的两个三角形，等高三角形的面积比等于对应底的比，由此可根据BG和BD的比例关系求出阴影部分△ABG的面积。
【解析】
∵BD是△ABC的中线，△ABC的面积为6，
∴AD=DC，△ABD和△CBD等底同高，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6=3$。
∵BG=2GD，
∴$BG=\frac{2}{3}BD$，
又
∵△ABG和△ABD以BG、BD为底时高相同，
∴$S_{△ ABG}=\frac{2}{3}S_{△ ABD}=\frac{2}{3}×3=2$。
【答案】
2
【知识点】
三角形中线的性质，等高三角形面积与底的关系
【点评】
本题是三角形面积计算的基础题，解题的关键是熟练掌握中线平分三角形面积的性质，以及等高三角形面积比等于底边长的比这一规律，计算难度不大，是几何面积计算的常见题型。
【难度系数】
0.7
举一反三 如图，已知AE为△ABC的中线，AB=8 cm，AC=6 cm，△ACE的周长为16 cm，则△ABE的周长为
18
cm。答案
1. 18
解析
【分析】
首先根据三角形中线的定义，可知中线平分对边，即BE=CE。对比△ABE和△ACE的周长组成，二者有公共边AE，且BE=CE，因此两个三角形的周长差仅等于AB与AC的长度差，结合已知的△ACE周长、AB和AC的长度，即可求出△ABE的周长。
【解析】
∵AE是△ABC的中线，
∴E为BC的中点，即$\boldsymbol{BE=CE}$。
△ACE的周长为：$AC+CE+AE=16\ \mathrm{cm}$，
△ABE的周长为：$AB+BE+AE$。
∵$BE=CE$，AE为公共边，
∴△ABE的周长与△ACE的周长的差为：$AB-AC=8-6=2\ \mathrm{cm}$，
∴△ABE的周长$=16+2=18\ \mathrm{cm}$。
【答案】
18
【知识点】
三角形中线的定义，三角形周长计算
【点评】
本题解题核心是利用中线的性质找到两个三角形周长的差值关系，无需单独计算未知边长度，即可快速得到结果，属于基础的周长计算类题型。
【难度系数】
0.8
首先根据三角形中线的定义，可知中线平分对边，即BE=CE。对比△ABE和△ACE的周长组成，二者有公共边AE，且BE=CE，因此两个三角形的周长差仅等于AB与AC的长度差，结合已知的△ACE周长、AB和AC的长度，即可求出△ABE的周长。
【解析】
∵AE是△ABC的中线，
∴E为BC的中点，即$\boldsymbol{BE=CE}$。
△ACE的周长为：$AC+CE+AE=16\ \mathrm{cm}$，
△ABE的周长为：$AB+BE+AE$。
∵$BE=CE$，AE为公共边，
∴△ABE的周长与△ACE的周长的差为：$AB-AC=8-6=2\ \mathrm{cm}$，
∴△ABE的周长$=16+2=18\ \mathrm{cm}$。
【答案】
18
【知识点】
三角形中线的定义，三角形周长计算
【点评】
本题解题核心是利用中线的性质找到两个三角形周长的差值关系，无需单独计算未知边长度，即可快速得到结果，属于基础的周长计算类题型。
【难度系数】
0.8
典例2 如图,在△ABC中,DE // BC,CD平分∠ACB,∠ACB=60°,则∠EDC为(
A.$30°$
B.$35°$
C.$45°$
D.$60°$
典例解析
A
).A.$30°$
B.$35°$
C.$45°$
D.$60°$
典例解析
答案
答案A
解析
【分析】
解题时我们可以分两步思考：第一步，先根据角平分线的定义，求出∠BCD的度数，角平分线会把已知的∠ACB分成两个大小相等的角；第二步，结合DE//BC的条件，利用平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，就能得到∠EDC和∠BCD相等，从而求出∠EDC的度数。
【解析】
解：
∵CD平分∠ACB，∠ACB=60°，
∴$∠ BCD=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×60°=30°$，
又
∵DE//BC，
∴$∠ EDC=∠ BCD=30°$（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质，能准确找到角度之间的等量关系完成角度转换即可求解。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以分两步思考：第一步，先根据角平分线的定义，求出∠BCD的度数，角平分线会把已知的∠ACB分成两个大小相等的角；第二步，结合DE//BC的条件，利用平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，就能得到∠EDC和∠BCD相等，从而求出∠EDC的度数。
【解析】
解：
∵CD平分∠ACB，∠ACB=60°，
∴$∠ BCD=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×60°=30°$，
又
∵DE//BC，
∴$∠ EDC=∠ BCD=30°$（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质，能准确找到角度之间的等量关系完成角度转换即可求解。
【难度系数】
0.8
举一反三 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE//BC交AC于点E.若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为(
A.44°
B.40°
C.39°
D.38°
C
).A.44°
B.40°
C.39°
D.38°
答案
2. C
解析
【分析】
要求∠CDE的度数，首先观察图形特征：DE平行于BC，根据平行线内错角相等的性质，可得∠CDE=∠BCD，因此只需先求出∠BCD的度数即可。已知CD是∠ACB的角平分线，可知∠BCD是∠ACB的一半，因此第一步先根据三角形内角和为180°，结合已知的∠A、∠B的度数求出∠ACB，再依次推导∠BCD和∠CDE的度数即可。
【解析】
1. 在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 54° - 48° = 78°$
2. 因为CD平分$∠ ACB$，根据角平分线的定义：
$∠ BCD = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2} × 78° = 39°$
3. 因为$DE // BC$，根据“两直线平行，内错角相等”：
$∠ CDE = ∠ BCD = 39°$
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是通过平行线的性质对所求角进行转化，结合三角形内角和、角平分线的性质逐步推导，是对几何基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.75
要求∠CDE的度数，首先观察图形特征：DE平行于BC，根据平行线内错角相等的性质，可得∠CDE=∠BCD，因此只需先求出∠BCD的度数即可。已知CD是∠ACB的角平分线，可知∠BCD是∠ACB的一半，因此第一步先根据三角形内角和为180°，结合已知的∠A、∠B的度数求出∠ACB，再依次推导∠BCD和∠CDE的度数即可。
【解析】
1. 在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 54° - 48° = 78°$
2. 因为CD平分$∠ ACB$，根据角平分线的定义：
$∠ BCD = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2} × 78° = 39°$
3. 因为$DE // BC$，根据“两直线平行，内错角相等”：
$∠ CDE = ∠ BCD = 39°$
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是通过平行线的性质对所求角进行转化，结合三角形内角和、角平分线的性质逐步推导，是对几何基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.75
典例3 如图，过$△ ABC$的顶点A，作BC边上的高，垂足为D。以下作法正确的是(
A
)。答案
答案A
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。本题要求作BC边上的高，需满足两个核心条件：①线段经过顶点A；②线段与BC所在的直线互相垂直，垂足在BC或BC的延长线、反向延长线上。接下来逐一核对四个选项：B选项的垂线未经过点A，不符合要求；C选项是过点C作AB的垂线，属于AB边上的高；D选项是过点B作AC延长线的垂线，属于AC边上的高；只有A选项的作法符合BC边上高的定义。
【解析】
根据三角形高的定义：过三角形的一个顶点，向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段即为该边上的高。
本题要求作△ABC中BC边上的高，需同时满足：①过顶点A；②垂直于BC所在直线。
对各选项逐一分析：
选项B：所作垂线未经过点A，不符合BC边上高的要求，错误；
选项C：所作线段是过点C垂直于AB的线段，是AB边上的高，不是BC边上的高，错误；
选项D：所作线段是过点B垂直于AC延长线的线段，是AC边上的高，不是BC边上的高，错误；
选项A：过点A作BC延长线的垂线，垂足为D，AD即为BC边上的高，作法正确。
【答案】
A
【知识点】
三角形高的定义、垂线的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢牢抓住三角形高的两个核心判定要素，需要注意钝角三角形中，夹钝角的两条边上的高会落在三角形外部，不要错误认为三角形的高一定在三角形内部。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。本题要求作BC边上的高，需满足两个核心条件：①线段经过顶点A；②线段与BC所在的直线互相垂直，垂足在BC或BC的延长线、反向延长线上。接下来逐一核对四个选项：B选项的垂线未经过点A，不符合要求；C选项是过点C作AB的垂线，属于AB边上的高；D选项是过点B作AC延长线的垂线，属于AC边上的高；只有A选项的作法符合BC边上高的定义。
【解析】
根据三角形高的定义：过三角形的一个顶点，向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段即为该边上的高。
本题要求作△ABC中BC边上的高，需同时满足：①过顶点A；②垂直于BC所在直线。
对各选项逐一分析：
选项B：所作垂线未经过点A，不符合BC边上高的要求，错误；
选项C：所作线段是过点C垂直于AB的线段，是AB边上的高，不是BC边上的高，错误；
选项D：所作线段是过点B垂直于AC延长线的线段，是AC边上的高，不是BC边上的高，错误；
选项A：过点A作BC延长线的垂线，垂足为D，AD即为BC边上的高，作法正确。
【答案】
A
【知识点】
三角形高的定义、垂线的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢牢抓住三角形高的两个核心判定要素，需要注意钝角三角形中，夹钝角的两条边上的高会落在三角形外部，不要错误认为三角形的高一定在三角形内部。
【难度系数】
0.8
举一反三 如图，在△ABC中，AB边上的高线是(
A.线段AD
B.线段AF
C.线段BG
D.线段CE
∴$S_{△ABG}=\frac{2}{3}S_{△ABD}=2.$
典例2
答案A
典例3
答案A
D
).A.线段AD
B.线段AF
C.线段BG
D.线段CE
∴$S_{△ABG}=\frac{2}{3}S_{△ABD}=2.$
典例2
答案A
典例3
答案A
答案
3. D
解析
【分析】
解题首先要明确三角形高线的定义：从三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是该对边上的高线。要找AB边上的高线，首先确定AB边所对的顶点是点C，接下来筛选满足“端点为C，且与AB所在直线垂直”的线段即可，再逐一排除不符合要求的选项就能得到答案。
【解析】
根据三角形高线的定义判断：
要得到AB边上的高线，需满足两个条件：①线段的一个端点是AB边所对的顶点C；②线段与AB所在的直线互相垂直。
选项A：线段AD垂直于BC，是BC边上的高，不符合要求；
选项B：线段AF不与AB所在直线垂直，不符合要求；
选项C：线段BG的端点是B，且垂直于AC所在直线，是AC边上的高，不符合要求；
选项D：线段CE的端点是C，且CE垂直于AB所在的直线，符合AB边上的高的定义。
【答案】
D
【知识点】
三角形高线的定义
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对三角形高线的理解，需要注意三角形的高线是顶点向对边所在直线作垂线，钝角三角形的部分高线会落在三角形外部，不要局限于“高必须在三角形内部”的错误认知。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确三角形高线的定义：从三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是该对边上的高线。要找AB边上的高线，首先确定AB边所对的顶点是点C，接下来筛选满足“端点为C，且与AB所在直线垂直”的线段即可，再逐一排除不符合要求的选项就能得到答案。
【解析】
根据三角形高线的定义判断：
要得到AB边上的高线，需满足两个条件：①线段的一个端点是AB边所对的顶点C；②线段与AB所在的直线互相垂直。
选项A：线段AD垂直于BC，是BC边上的高，不符合要求；
选项B：线段AF不与AB所在直线垂直，不符合要求；
选项C：线段BG的端点是B，且垂直于AC所在直线，是AC边上的高，不符合要求；
选项D：线段CE的端点是C，且CE垂直于AB所在的直线，符合AB边上的高的定义。
【答案】
D
【知识点】
三角形高线的定义
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对三角形高线的理解，需要注意三角形的高线是顶点向对边所在直线作垂线，钝角三角形的部分高线会落在三角形外部，不要局限于“高必须在三角形内部”的错误认知。
【难度系数】
0.8
