1. 下列长度(单位:厘米)的三条线段不可能是一个三角形的边长的是().

A.5,12,13
B.5,7,12
C.5,7,7
D.4,6,9

1. B

【分析】
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路如下：首先明确判定三条线段能否构成三角形的核心规则：三角形任意两边之和大于第三边，为了简化计算，只需找出三个长度中的最大值，计算另外两个较小值的和，若和大于最大值即可构成三角形，反之则不能，接下来逐个验证选项即可得到答案。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，简便判定方法为：比较两条较短线段的和与最长线段的大小关系，若和大于最长线段则可构成三角形。
A选项：三条线段长为5，12，13，最长边为13，5+12=17＞13，可构成三角形，不符合题意；
B选项：三条线段长为5，7，12，最长边为12，5+7=12，两边之和等于第三边，不满足三边关系，不能构成三角形，符合题意；
C选项：三条线段长为5，7，7，最长边为7，5+7=12＞7，可构成三角形，不符合题意；
D选项：三条线段长为4，6，9，最长边为9，4+6=10＞9，可构成三角形，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是基础类考题，主要考查三角形三边关系的实际应用，掌握“较短两边之和大于最长边”的简便判定方法，可快速完成解题，无需逐一验证所有两边之和的组合，有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8

2.已知三角形两边的长是2 cm和7 cm，第三边的长为奇数，求这个三角形的周长.

2. 解 设三角形的第三边长为 x cm，由题意，得 7−2＜x＜7+2，解得 5＜x＜9.
∵第三边的长为奇数，
∴x=7，
∴这个三角形的周长=2+7+7=16(cm).

【分析】
解题时首先要利用三角形三边关系确定第三边的取值范围：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。先设第三边长为x cm，根据已知的两条边长列出关于x的不等式，求出x的取值范围后，再结合“第三边的长为奇数”的条件筛选出符合要求的x的值，最后将三条边的长度相加即可得到三角形的周长。
【解析】
解：设三角形的第三边长为x cm，
根据三角形三边关系可得：$7-2 ＜ x ＜ 7+2$，
解得：$5 ＜ x ＜ 9$。
∵第三边的长为奇数，
∴符合条件的x的值为7，
∴这个三角形的周长为$2+7+7=16\ \mathrm{(cm)}$。
【答案】
$16\ \mathrm{cm}$
【知识点】
三角形三边关系；奇数的概念；三角形周长计算
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，解题的核心是先通过三边关系确定第三边的取值范围，再结合附加条件筛选出第三边的准确值，计算周长时要注意核对三条边的长度，避免取值错误。
【难度系数】
0.8

3. 如图，王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，发现这个木架会变形，要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数是().

A.0
B.1
C.2
D.3

3. B

【分析】
要解决这个问题，我们可以结合图形稳定性的性质来思考：首先四边形不具有稳定性，所以四边形木架容易变形，而三角形具有稳定性，因此我们的思路是通过钉木条把四边形转化为三角形结构，从而让木架稳定，要使木条数量最少，优先考虑用最少的木条实现将四边形转化为若干个三角形，只需要1根木条连接一组对角即可将四边形转化为2个三角形，因此最少只需1根。
【解析】
三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性。要使四边形木架不变形，我们可以将其转化为三角形结构：仅需要钉1根木条连接四边形的一组对角，就可以将原来的四边形转化为2个三角形，此时整个木架就具有了稳定的三角形结构，因此至少需要再钉1根木条。
【答案】
B
【知识点】
三角形的稳定性、四边形的不稳定性
【点评】
这道题是三角形稳定性在实际生活中的应用，难度较低，只要掌握三角形具有稳定性、四边形不具有稳定性的基本性质，结合图形特征就能快速作答。
【难度系数】
0.9

4. 已知 $a,b,c$ 是三角形的三边长.
(1)化简：$|a - b - c| + |b - c - a| + |c - a - b|$；
(2)若 $a + b = 11, b + c = 9, a + c = 10$，求这个三角形的各边长.

4. 解 (1)
∵a,b,c 是三角形的三边长，
∴a−b−c＜0,b−c−a＜0,c−a−b＜0，
∴|a−b−c|+|b−c−a|+|c−a−b|=−a+b+c−b+c+a−c+a+b=a+b+c.
(2)
∵a+b=11①,b+c=9②,a+c=10③，
由①−②,得 a−c=2④，
由③+④,得 2a=12，
∴a=6，
∴b=11−6=5,c=10−6=4.

【分析】
（1）解决本小问首先要利用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，据此判断绝对值内每个代数式的正负性，再根据绝对值的性质（负数的绝对值是它的相反数）去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
（2）本小问给出了三个关于a、b、c的二元一次方程，构成三元一次方程组，可通过加减消元法先消去其中一个未知数，求出一个未知量的值，再依次代入求出其余两个未知量的值，即可得到三角形各边长。
【解析】
（1）
∵a,b,c是三角形的三边长，
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，可得：
$b+c＞a$，$c+a＞b$，$a+b＞c$，
∴$a−b−c＜0$，$b−c−a＜0$，$c−a−b＜0$，
根据负数的绝对值等于它的相反数去绝对值：
$\begin{aligned}&|a−b−c|+|b−c−a|+|c−a−b|\\=&-(a-b-c) - (b-c-a) - (c-a-b)\\=&−a+b+c−b+c+a−c+a+b\\=&a+b+c\end{aligned}$
（2）已知：
$\begin{cases}a+b=11&①\\b+c=9&②\\a+c=10&③\end{cases}$
用①−②，消去b，得：$a−c=2$ ④
将③+④，消去c，得：$2a=12$，
解得：$a=6$，
把$a=6$代入①，得：$b=11−6=5$，
把$a=6$代入③，得：$c=10−6=4$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{a+b+c}$
（2）三角形三边长为$\boldsymbol{6,5,4}$（或$a=6,b=5,c=4$）
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的化简；三元一次方程组的解法
【点评】
本题是三角形性质与代数运算的结合基础题，第一问的易错点是忽略三边关系，直接错误去掉绝对值符号；第二问考察加减消元法的基本应用，掌握相关基础知识点即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

5.如图，O是$△ ABC$内一点，连接$OB$，$OC$.
(1)请说明$OB+OC＜AB+AC$；
(2)若$AB=5$，$AC=6$，$BC=7$，请写出$OB+OC$的取值范围.

5. 解 (1) 如图，延长 BO 与 AC 交于点 D，
由 AB+AD＞BD,OD+CD＞CO，得 AB+AC＞BO+CO，
即 BO+CO＜AB+AC.
(2) 根据三角形的三边关系可得 BO+CO＞BC，
∵AB=5,AC=6,BC=7,且由(1)得 BO+CO＜AB+AC，
∴7＜BO+CO＜11.

【分析】
(1)要证明$OB+OC＜AB+AC$，可借助三角形“两边之和大于第三边”的性质，通过构造辅助线将待比较的线段拆分到不同三角形中：延长$BO$交$AC$于点$D$，分别在$△ ABD$和$△ COD$中应用三边关系得到两个不等式，再将不等式相加消去公共线段，整理后即可得证。
(2)先在$△ OBC$中利用三边关系得到$OB+OC$的最小值下限，再结合(1)的结论得到$OB+OC$的最大值上限，代入已知边长即可得到取值范围。
【解析】
(1) 如图，延长$BO$与$AC$交于点$D$，
在$△ ABD$中，由三角形三边关系得$AB+AD＞BD$，而$BD=BO+OD$，因此$AB+AD＞BO+OD$；
在$△ COD$中，由三角形三边关系得$OD+CD＞CO$；
将两个不等式左右分别相加，得$AB+AD+OD+CD＞BO+OD+CO$，两边消去$OD$后，$AD+CD=AC$，因此可推得$AB+AC＞BO+CO$，即$OB+OC＜AB+AC$。
(2) 在$△ OBC$中，由三角形三边关系可得$BO+CO＞BC$，已知$BC=7$，因此$BO+CO＞7$；
由(1)的结论可知$BO+CO＜AB+AC$，代入$AB=5,AC=6$得$BO+CO＜5+6=11$，联立得$OB+OC$的取值范围。
【答案】
(1) 如图，延长 BO 与 AC 交于点 D，
由 AB+AD＞BD,OD+CD＞CO，得 AB+AC＞BO+CO，
即 BO+CO＜AB+AC.
(2) 根据三角形的三边关系可得 BO+CO＞BC，
∵AB=5,AC=6,BC=7,且由(1)得 BO+CO＜AB+AC，
∴7＜BO+CO＜11.
【知识点】
三角形三边关系；不等式的性质；辅助线构造
【点评】
本题是三角形三边关系的典型应用题型，通过构造辅助线将分散的线段转化到可直接应用三边关系的三角形中，结合不等式性质推导线段和的不等关系，第二问是第一问结论的直接延伸，掌握此类辅助线的构造思路是解决线段和比较类问题的核心。
【难度系数】
0.7