1. [2024内江中考]如图，点A,D,B,E在同一条直线上，$AD=BE,AC=DF,BC=EF$.
(1)求证:$△ ABC ≌ △ DEF$.
(2)若$∠ A = 55°$, $∠ E = 45°$, 求$∠ F$的度数.

(1)证明:$\because AD = BE$,
$\therefore AD + DB = BE + DB$,即$AB = DE$.
又$\because AC = DF,BC = EF,\therefore △ ABC≌ △ DEF(\mathrm{SSS})$.
(2)解:$\because △ ABC≌ △ DEF,∠ A = 55°$,
$\therefore ∠ FDE = ∠ A = 55°$.
又$\because ∠ E = 45°,\therefore ∠ F = 180° - ∠ FDE - ∠ E = 80°$.

【分析】
(1) 要证明$△ ABC≌△ DEF$，已知两组对应边$AC=DF$、$BC=EF$，还缺少第三组对应边$AB=DE$的条件。已知$AD=BE$，根据等式的性质，在等式两边同时加公共线段$DB$，即可推出$AB=DE$，满足三边对应相等的全等判定条件，即可用SSS定理证明全等。
(2) 求$∠ F$的度数时，首先利用全等三角形对应角相等的性质，将已知的$∠ A$转化为$△ DEF$中的$∠ FDE$，再结合已知的$∠ E$的度数，根据三角形内角和为$180°$，即可计算出$∠ F$的度数。
【解析】
(1) 证明：$\because AD = BE$，
$\therefore AD + DB = BE + DB$，即$AB = DE$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\begin{cases}AB=DE\\AC=DF\\BC=EF\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SSS})$。
(2) 解：$\because △ ABC≌△ DEF$，$∠ A = 55°$，
$\therefore ∠ FDE = ∠ A = 55°$。
根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ F = 180° - ∠ FDE - ∠ E = 180° - 55° - 45° = 80°$。
【答案】
(1) 已证$△ ABC ≌ △ DEF$；
(2) $∠ F=80°$
【知识点】
全等三角形SSS判定，全等三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形的基础常规题，核心考查全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时先推导全等的判定条件，再结合三角形内角和定理计算角度，逻辑链条清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

2. [2025福建中考] 如图,点E,F分别在AB,AD的延长线上,∠CBE = ∠CDF,∠ACB = ∠ACD.求证:AB = AD.

证明:$\because ∠ CBE = ∠ CDF$,
$\therefore 180° - ∠ CBE = 180° - ∠ CDF$,
$\therefore ∠ ABC = ∠ ADC$.
在$△ ABC$和$△ ADC$中,$\begin{cases}∠ ABC = ∠ ADC,\\∠ ACB = ∠ ACD,\\AC = AC,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌ △ ADC(\mathrm{AAS}),\therefore AB = AD$.

【分析】
要证明AB=AD，通常可证明两条线段所在的三角形全等，即证明△ABC≌△ADC。首先梳理现有条件：已知∠ACB=∠ACD，且AC是两个三角形的公共边，还缺少一组角相等的条件即可满足全等判定要求。题中给出∠CBE=∠CDF，根据等角的补角相等，可推出∠ABC=∠ADC，凑齐AAS全等判定的三个条件，证得三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：$\because ∠CBE = ∠CDF$,
$\therefore 180° - ∠CBE = 180° - ∠CDF$,
$\therefore ∠ABC = ∠ADC$.
在$△ABC$和$△ADC$中,
$\begin{cases}∠ABC = ∠ADC,\\∠ACB = ∠ACD,\\AC = AC,\end{cases}$
$\therefore △ABC≌△ADC(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AB = AD$.
【答案】
$AB=AD$
【知识点】
补角的性质、全等三角形AAS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是全等证明的基础题型，属于对称型全等模型，解题的核心是利用邻补角的性质得到全等所需的等角条件，结合公共边即可证明三角形全等，进而得到对应线段相等的结论。
【难度系数】
0.8

3. 一题多解 如图,点F,C在AD上,已知AB//DE,AC=DF,∠CFB=∠FCE.求证:AB=DE.

证明:$\because ∠ CFB = ∠ FCE,\therefore ∠ AFB = ∠ DCE$.
$\because AB// DE,\therefore ∠ A = ∠ D$.
$\because AC = DF,\therefore AC - FC = DF - FC,\therefore AF = DC$.
在$△ AFB$和$△ DCE$中,$\begin{cases}∠ A = ∠ D,\\AF = DC,\\∠ AFB = ∠ DCE,\end{cases}$
$\therefore △ AFB≌ △ DCE(\mathrm{ASA}),\therefore AB = DE$.
另解 $\because AB// DE,\therefore ∠ A = ∠ D$.
$\because ∠ CFB = ∠ FCE,∠ CFB = ∠ A + ∠ ABF,∠ FCE = ∠ D + ∠ CED$,
$\therefore ∠ ABF = ∠ CED$.
$\because AC = DF,\therefore AC - FC = DF - FC$,即$AF = CD$.
在$△ AFB$和$△ DCE$中,$\begin{cases}∠ ABF = ∠ DEC,\\∠ A = ∠ D,\\AF = DC,\end{cases}$
$\therefore △ AFB≌ △ DCE(\mathrm{AAS}),\therefore AB = DE$.

【分析】
要证明AB=DE，可通过证明AB、DE所在的△AFB与△DCE全等来实现。首先结合已知条件推导全等所需的条件：①由AB//DE可得内错角∠A=∠D；②由AC=DF，同时减去公共线段FC，可得AF=DC；③由∠CFB=∠FCE，根据等角的补角相等可得∠AFB=∠DCE，满足ASA全等判定条件，即可证明两三角形全等，再利用全等三角形对应边相等得到结论，也可通过三角形外角性质推导另一组角相等，用AAS判定全等。
【解析】
证法1：
$\because ∠ CFB = ∠ FCE,\therefore ∠ AFB = ∠ DCE$（等角的补角相等）.
$\because AB// DE,\therefore ∠ A = ∠ D$（两直线平行，内错角相等）.
$\because AC = DF,\therefore AC - FC = DF - FC,\therefore AF = DC$.
在$△ AFB$和$△ DCE$中,
$\begin{cases}∠ A = ∠ D,\\AF = DC,\\∠ AFB = ∠ DCE,\end{cases}$
$\therefore △ AFB≌ △ DCE(\mathrm{ASA})$,
$\therefore AB = DE$（全等三角形的对应边相等）.
证法2：
$\because AB// DE,\therefore ∠ A = ∠ D$（两直线平行，内错角相等）.
$\because ∠ CFB = ∠ FCE$，结合三角形外角性质可得$∠ CFB = ∠ A + ∠ ABF,∠ FCE = ∠ D + ∠ CED$,
$\therefore ∠ ABF = ∠ CED$.
$\because AC = DF,\therefore AC - FC = DF - FC$，即$AF = CD$.
在$△ AFB$和$△ DCE$中,
$\begin{cases}∠ ABF = ∠ DEC,\\∠ A = ∠ D,\\AF = DC,\end{cases}$
$\therefore △ AFB≌ △ DCE(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AB = DE$（全等三角形的对应边相等）.
【答案】
$AB=DE$，得证
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是全等证明的常规基础题，考查平移型全等模型的应用，解题核心是结合已知条件推导全等需要的对应边、对应角相等，同时可从不同角度推导角相等，拓展一题多解的思维，熟练掌握全等判定定理是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8

4. [2025河北中考]如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,AC=AD,∠ACB=∠ADB,点F在ED上,∠BAF=∠EAD.
(1)求证:$△ ABC ≌ △ AFD$;
(2)若$BE = FE$,求证:$AC ⊥ BD$.

证明:(1)$\because ∠ ACB = ∠ ADB$,点F在BD上,
$\therefore ∠ ACB = ∠ ADF$.
$\because ∠ BAF = ∠ EAD$,
$\therefore ∠ BAF - ∠ CAF = ∠ EAD - ∠ CAF$,
$\therefore ∠ BAC = ∠ FAD$.
在$△ ABC$和$△ AFD$中,$\begin{cases}∠ BAC = ∠ FAD,\\AC = AD,\\∠ ACB = ∠ ADF,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌ △ AFD(\mathrm{ASA})$.
(2)$\because △ ABC≌ △ AFD,\therefore AB = AF$.
在$△ ABE$和$△ AFE$中,$\begin{cases}AB = AF,\\AE = AE,\\BE = FE,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌ △ AFE(\mathrm{SSS}),\therefore ∠ AEB = ∠ AEF$.
由题意,得B,E,F三点共线,
$\therefore ∠ AEB + ∠ AEF = 180°,\therefore ∠ AEB = ∠ AEF = 90°$,
$\therefore AC ⊥ BD$.

【分析】
(1) 要证明△ABC≌△AFD，先梳理已知条件：已知AC=AD，∠ACB=∠ADB即∠ACB=∠ADF，还缺一组对应角相等的条件。结合已知∠BAF=∠EAD，将两个角同时减去公共角∠CAF，可推出∠BAC=∠FAD，刚好满足ASA全等判定的条件，即可完成证明。
(2) 要证明AC⊥BD，需证AC与BD的夹角为90°。首先由(1)的全等结论可得AB=AF，结合已知BE=FE、公共边AE，可通过SSS判定△ABE≌△AFE，得到∠AEB=∠AEF。由于B、E、F三点共线，∠AEB与∠AEF互为邻补角，和为180°，因此可推出两角均为90°，即可证明垂直。
【解析】
(1) $\because ∠ ACB = ∠ ADB$，点F在BD上，
$\therefore ∠ ACB = ∠ ADF$。
$\because ∠ BAF = ∠ EAD$，
$\therefore ∠ BAF - ∠ CAF = ∠ EAD - ∠ CAF$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ FAD$。
在$△ ABC$和$△ AFD$中，$\begin{cases}∠ BAC = ∠ FAD,\\AC = AD,\\∠ ACB = ∠ ADF,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌ △ AFD(\mathrm{ASA})$。
(2) $\because △ ABC≌ △ AFD,\therefore AB = AF$。
在$△ ABE$和$△ AFE$中，$\begin{cases}AB = AF,\\AE = AE,\\BE = FE,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌ △ AFE(\mathrm{SSS}),\therefore ∠ AEB = ∠ AEF$。
由题意，得B,E,F三点共线，
$\therefore ∠ AEB + ∠ AEF = 180°,\therefore ∠ AEB = ∠ AEF = 90°$，
$\therefore AC ⊥ BD$。
【答案】
(1) $△ ABC ≌ △ AFD$，证明见解析；
(2) $AC ⊥ BD$，证明见解析。
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，垂直的判定
【点评】
本题是全等三角形证明的典型常规题，需要熟练掌握ASA、SSS等全等判定定理和全等三角形的性质，解题时注意挖掘题干中隐含的角的和差关系、公共边等条件，结合邻补角的性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7