(1)《九章算术》中记载了“合作治田”类的问题。现有一块田地，甲单独耕需要4天，乙单独耕需要5天。若两人一起耕这块地，几天能耕完？下面列式正确的是()。

A.$1÷(4+5)$
B.$1÷(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5})$
C.$(4+5)÷2$
D.$\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}$

1.(1)B
解析 把整块田地看作“1”,两人的工作效率之和是$(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5})$,合作耕地所需时间=耕地总量÷工作效率之和,即$1÷(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5})$,选项B正确。

(2)缝一批衣服，甲组单独缝需要10天，乙组单独缝需要15天。下面说法错误的是()。

A.甲组工作效率更高
B.两组一起缝的工作效率是$(\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{15})$
C.乙组缝得比甲组快
D.两组一起缝需要的时间一定少于10天

(2)C
解析 把这批衣服总量看作“1”,甲组的工作效率是$\dfrac{1}{10}$,乙组的工作效率是$\dfrac{1}{15}$。
● 选项A:$\dfrac{1}{10}＞\dfrac{1}{15}$,甲组工作效率更高,说法正确。
● 选项B:两组的工作效率之和是$(\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{15})$,说法正确。
● 选项C:两个组单独缝,甲组需要的时间更短,所以甲组缝得比乙组快,说法错误。
● 选项D:两组一起缝的工作效率比甲组单独缝的高,所需时间更短,即一定少于10天,说法正确。
综上,本题选C。

② 下面哪个问题可以用算式$1÷(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12})$解决？（）

A.一段路，姐姐6分钟走完，妹妹12分钟走完，姐姐每分钟比妹妹多走这段路的几分之几？
B.一本书，琪琪第一天看了全书的$\dfrac{1}{6}$，第二天看了全书的$\dfrac{1}{12}$，还剩几分之几没看？
C.一份稿件，师傅单独打需要6小时，徒弟单独打需要12小时。两人合作，几小时能打完？
D.一批零件，甲每小时做全部的$\dfrac{1}{6}$，乙每小时做全部的$\dfrac{1}{12}$，合作几小时能完成这批零件的$\dfrac{1}{2}$？

2. C
解析 ● 选项A:姐姐每分钟走这段路的$\dfrac{1}{6}$,妹妹每分钟走这段路的$\dfrac{1}{12}$,求姐姐每分钟比妹妹多走这段路的几分之几,列式为$\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{12}$。
● 选项B:求还剩几分之几没看,列式为$1-\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{12}$。
● 选项C:师傅每小时打这份稿件的$\dfrac{1}{6}$,徒弟每小时打这份稿件的$\dfrac{1}{12}$。求合作打完所需时间,用工作总量除以工作效率之和,列式为$1÷(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12})$。
● 选项D:求合作完成这批零件的$\dfrac{1}{2}$所需时间,列式为$\dfrac{1}{2}÷(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12})$。
综上,本题选C。

3 某糕点店要制作一批八珍糕，李师傅单独做需要8小时，王师傅单独做需要6小时。两人合作2小时后，还剩100块没有做完。这批八珍糕一共有多少块？

3. $(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{6})×2=\dfrac{7}{12}$
$100÷(1-\dfrac{7}{12})=240$(块)
答:这批八珍糕一共有240块。
解析 把这批八珍糕的总块数看作“1”。
步骤一 求两人合作2小时做了这批八珍糕的几分之几,列式为$(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{6})×2=\dfrac{7}{12}$。
步骤二 求这批八珍糕的总块数。做了这批八珍糕的$\dfrac{7}{12}$,还剩的100块就是这批八珍糕的$(1-\dfrac{7}{12})$,所以一共有$100÷(1-\dfrac{7}{12})=240$(块)。

4 王阿姨要为摄影俱乐部采购相机和相纸。她的钱正好能买12个拍立得相机或120盒相纸。要使1个拍立得相机配2盒相纸，王阿姨应该怎样买（钱不剩余）？

4. $1÷(\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{120}×2)=10$(组)
$1×10=10$(个)
$2×10=20$(盒)
答:王阿姨应该买10个拍立得相机和20盒相纸。
解析 把王阿姨的总钱数看作“1”,1个拍立得相机的价格是总钱数的$\dfrac{1}{12}$,1盒相纸的价格是总钱数的$\dfrac{1}{120}$。
把1个拍立得相机和2盒相纸配成1组
↓
能买$1÷(\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{120}×2)=10$(组)
↓ ↓
相机:$1×10=10$(个) 相纸:$2×10=20$(盒)

5 如图,在一条正六边形跑道上,甲、乙两个机器人分别从A、B两点同时出发,按箭头指示方向跑步。甲跑一圈需要4分钟,乙跑一圈需要5分钟。几分钟后相遇?小明列式为$(1-\dfrac{1}{6})÷(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5})$。
(1)$1-\dfrac{1}{6}$表示:________;$\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}$表示:________。
(2)请你按照小明的思路计算:________。

5. (1)两个机器人相遇时共跑了这条跑道长度的几分之几
两个机器人1分钟共能跑这条跑道长度的几分之几
(2)$(1-\dfrac{1}{6})÷(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5})=\dfrac{50}{27}$(分)
解析 本题为相遇问题,相遇时间=相遇时的路程和÷速度和。将正六边形跑道的总长度看作“1”,则每条边的长度为$\dfrac{1}{6}$。
● 相遇时两个机器人所走路程和为$(1-\dfrac{1}{6})$。
● 两个机器人的速度和为$(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5})$。
据此作答即可。