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11.若一个三角形的三边长分别为3,4,x,则使此三角形是直角三角形的x的值是（
A.5
B.6
C.$\sqrt{7}$
D.5或$\sqrt{7}$
D
）A.5
B.6
C.$\sqrt{7}$
D.5或$\sqrt{7}$
答案
11.D
解析
【分析】
本题考查直角三角形的判定，需结合勾股定理逆定理求解，由于题目未明确x和4哪条边是斜边，因此要分两种情况讨论：①x为斜边；②长度为4的边为斜边，再分别根据勾股定理列方程计算x的值，注意三角形边长为正数，需舍去负的结果。
【解析】
要使三边长为3，4，x的三角形是直角三角形，分两种情况讨论：
1. 当x为斜边时，根据勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$3^2 + 4^2 = x^2$
计算得$x^2 = 9 + 16 = 25$，因为边长为正数，所以$x = 5$（舍去负根$-5$）。
2. 当长度为4的边为斜边时，3和x为直角边，根据勾股定理可得：
$3^2 + x^2 = 4^2$
计算得$x^2 = 16 - 9 = 7$，因为边长为正数，所以$x = \sqrt{7}$（舍去负根$-\sqrt{7}$）。
综上，x的值为5或$\sqrt{7}$，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理逆定理，分类讨论思想，直角三角形判定
【点评】
本题是易错题，容易出现的错误是默认x为斜边，只算出x=5，忽略4也可以作为斜边的情况。解题时若未明确直角三角形的斜边，要对最长边的情况进行分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题考查直角三角形的判定，需结合勾股定理逆定理求解，由于题目未明确x和4哪条边是斜边，因此要分两种情况讨论：①x为斜边；②长度为4的边为斜边，再分别根据勾股定理列方程计算x的值，注意三角形边长为正数，需舍去负的结果。
【解析】
要使三边长为3，4，x的三角形是直角三角形，分两种情况讨论：
1. 当x为斜边时，根据勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$3^2 + 4^2 = x^2$
计算得$x^2 = 9 + 16 = 25$，因为边长为正数，所以$x = 5$（舍去负根$-5$）。
2. 当长度为4的边为斜边时，3和x为直角边，根据勾股定理可得：
$3^2 + x^2 = 4^2$
计算得$x^2 = 16 - 9 = 7$，因为边长为正数，所以$x = \sqrt{7}$（舍去负根$-\sqrt{7}$）。
综上，x的值为5或$\sqrt{7}$，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理逆定理，分类讨论思想，直角三角形判定
【点评】
本题是易错题，容易出现的错误是默认x为斜边，只算出x=5，忽略4也可以作为斜边的情况。解题时若未明确直角三角形的斜边，要对最长边的情况进行分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
12.在一次寻宝游戏中,寻宝人找到了如图4所示的两个标志点$A(2,1),B(4,-1)$,这两个标志点到“宝藏”点的距离都是$\sqrt{10}$,则“宝藏”点的坐标是
$(5,2)$或$(1,-2)$
.答案
12.$(5,2)$或$(1,-2)$
解析
【分析】
要找到到A、B两点距离都为$\sqrt{10}$的宝藏点，我们可先设宝藏点坐标为$(x,y)$，结合平面直角坐标系中两点间的距离公式，根据宝藏点到A、B的距离均为$\sqrt{10}$列两个方程，联立求解方程组即可得到宝藏点坐标，注意解共有2个，不要漏解。
【解析】
设“宝藏”点的坐标为$(x,y)$。
根据两点间距离公式，由该点到$A(2,1)$的距离为$\sqrt{10}$，得：
$\sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2}=\sqrt{10}$，两边平方得：$(x-2)^2+(y-1)^2=10$ ①
同理，该点到$B(4,-1)$的距离为$\sqrt{10}$，得：
$\sqrt{(x-4)^2+(y+1)^2}=\sqrt{10}$，两边平方得：$(x-4)^2+(y+1)^2=10$ ②
用①$-$②，展开并化简：
$\begin{aligned}(x^2-4x+4+y^2-2y+1)-(x^2-8x+16+y^2+2y+1)&=0\\4x-4y-12&=0\\x&=y+3 \quad ③\end{aligned}$
将③代入①：
$\begin{aligned}(y+3-2)^2+(y-1)^2&=10\\(y+1)^2+(y-1)^2&=10\\y^2+2y+1+y^2-2y+1&=10\\2y^2&=8\\y^2&=4\end{aligned}$
解得$y=2$或$y=-2$。
当$y=2$时，$x=2+3=5$；当$y=-2$时，$x=-2+3=1$。
【答案】
$(5,2)$或$(1,-2)$
【知识点】
两点间距离公式，解二元方程组，坐标与图形性质
【点评】
本题结合实际场景考查坐标与距离的相关应用，解题核心是根据距离相等列方程求解，需要注意结果有两个解，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要找到到A、B两点距离都为$\sqrt{10}$的宝藏点，我们可先设宝藏点坐标为$(x,y)$，结合平面直角坐标系中两点间的距离公式，根据宝藏点到A、B的距离均为$\sqrt{10}$列两个方程，联立求解方程组即可得到宝藏点坐标，注意解共有2个，不要漏解。
【解析】
设“宝藏”点的坐标为$(x,y)$。
根据两点间距离公式，由该点到$A(2,1)$的距离为$\sqrt{10}$，得：
$\sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2}=\sqrt{10}$，两边平方得：$(x-2)^2+(y-1)^2=10$ ①
同理，该点到$B(4,-1)$的距离为$\sqrt{10}$，得：
$\sqrt{(x-4)^2+(y+1)^2}=\sqrt{10}$，两边平方得：$(x-4)^2+(y+1)^2=10$ ②
用①$-$②，展开并化简：
$\begin{aligned}(x^2-4x+4+y^2-2y+1)-(x^2-8x+16+y^2+2y+1)&=0\\4x-4y-12&=0\\x&=y+3 \quad ③\end{aligned}$
将③代入①：
$\begin{aligned}(y+3-2)^2+(y-1)^2&=10\\(y+1)^2+(y-1)^2&=10\\y^2+2y+1+y^2-2y+1&=10\\2y^2&=8\\y^2&=4\end{aligned}$
解得$y=2$或$y=-2$。
当$y=2$时，$x=2+3=5$；当$y=-2$时，$x=-2+3=1$。
【答案】
$(5,2)$或$(1,-2)$
【知识点】
两点间距离公式，解二元方程组，坐标与图形性质
【点评】
本题结合实际场景考查坐标与距离的相关应用，解题核心是根据距离相等列方程求解，需要注意结果有两个解，避免漏解。
【难度系数】
0.7
13.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将其按如图5所示折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，求DE的长.
答案
13.$\frac{15}{4}$
解析
【分析】
解题首先从已知条件入手：Rt△ABC中∠C=90°，两直角边分别为6和8，折叠使A与B重合。首先回忆折叠的性质：折痕DE是AB的垂直平分线，可得AD=BD、AE=BE，且DE⊥AB。解题步骤如下：①先用勾股定理算出斜边AB的长度，得到AD的长度；②设AE=BE=x，用含x的式子表示CE的长度，在Rt△BCE中利用勾股定理列方程，求出AE的长度；③最后在Rt△ADE中用勾股定理计算DE的长度即可。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
∵折叠使点A与点B重合，折痕为DE，
∴DE垂直平分AB，
∴$AD=BD=\frac{1}{2}AB=5$，$AE=BE$。
设$AE=BE=x$，则$CE=AC-AE=8-x$，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：
$BC^2+CE^2=BE^2$
代入得：$6^2+(8-x)^2=x^2$
展开计算：$36+64-16x+x^2=x^2$
化简得：$100-16x=0$，解得$x=\frac{25}{4}$
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，AD=5，$AE=\frac{25}{4}$，
由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AE^2-AD^2}=\sqrt{(\frac{25}{4})^2-5^2}=\sqrt{\frac{625}{16}-\frac{400}{16}}=\sqrt{\frac{225}{16}}=\frac{15}{4}$
【答案】
$\frac{15}{4}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，垂直平分线的性质
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，解题核心是利用折叠性质得到相等线段，结合勾股定理列方程求解，很好地体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
解题首先从已知条件入手：Rt△ABC中∠C=90°，两直角边分别为6和8，折叠使A与B重合。首先回忆折叠的性质：折痕DE是AB的垂直平分线，可得AD=BD、AE=BE，且DE⊥AB。解题步骤如下：①先用勾股定理算出斜边AB的长度，得到AD的长度；②设AE=BE=x，用含x的式子表示CE的长度，在Rt△BCE中利用勾股定理列方程，求出AE的长度；③最后在Rt△ADE中用勾股定理计算DE的长度即可。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
∵折叠使点A与点B重合，折痕为DE，
∴DE垂直平分AB，
∴$AD=BD=\frac{1}{2}AB=5$，$AE=BE$。
设$AE=BE=x$，则$CE=AC-AE=8-x$，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：
$BC^2+CE^2=BE^2$
代入得：$6^2+(8-x)^2=x^2$
展开计算：$36+64-16x+x^2=x^2$
化简得：$100-16x=0$，解得$x=\frac{25}{4}$
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，AD=5，$AE=\frac{25}{4}$，
由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AE^2-AD^2}=\sqrt{(\frac{25}{4})^2-5^2}=\sqrt{\frac{625}{16}-\frac{400}{16}}=\sqrt{\frac{225}{16}}=\frac{15}{4}$
【答案】
$\frac{15}{4}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，垂直平分线的性质
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，解题核心是利用折叠性质得到相等线段，结合勾股定理列方程求解，很好地体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
14.将一根长为24 cm的筷子置于如图6所示的底面直径为5 cm，高为12 cm的圆柱形水杯中.设筷子露在杯子外面的长度为x cm，求x的取值范围.
答案
14.$11≤ x≤ 12$
解析
【分析】
要确定露在杯子外的筷子长度x的取值范围，首先明确筷子总长度固定为24cm，即x=24-筷子在杯内的长度，因此只需先求出杯内筷子长度的取值范围即可。杯内筷子长度存在两种极端情况：①最短时：筷子垂直于底面放置，此时杯内长度等于圆柱的高；②最长时：筷子斜放，两端分别抵住杯底边缘和杯口对侧边缘，此时杯内筷子与圆柱的高、底面直径构成直角三角形，杯内长度为斜边，可用勾股定理计算。最后用总长度分别减去杯内最长、最短长度，即可得到x的最小和最大值，进而得到取值范围。
【解析】
1. 求x的最大值：
当筷子垂直放置在水杯中时，杯内筷子长度最短，等于圆柱的高12cm，此时露在外面的长度最长：
$x_{\mathrm{max}} = 24 - 12 = 12\ \mathrm{cm}$
2. 求x的最小值：
当筷子斜放，底端抵在杯底边缘，顶端抵在杯口对侧边缘时，杯内筷子长度最长。此时圆柱的底面直径5cm、高12cm和杯内筷子长度构成直角三角形，杯内筷子为斜边，根据勾股定理：
杯内最长长度 $=\sqrt{5^2 + 12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$
此时露在外面的长度最短：
$x_{\mathrm{min}} = 24 - 13 = 11\ \mathrm{cm}$
综上，x的取值范围是$11≤ x≤ 12$。
【答案】
$11≤ x≤ 12$
【知识点】
勾股定理，圆柱的性质，取值范围求解
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类题目，解题的关键是准确找到杯内筷子长度的两种极端情况，要养成结合几何图形分析最值问题的习惯，避免漏考虑特殊放置情况。
【难度系数】
0.8
要确定露在杯子外的筷子长度x的取值范围，首先明确筷子总长度固定为24cm，即x=24-筷子在杯内的长度，因此只需先求出杯内筷子长度的取值范围即可。杯内筷子长度存在两种极端情况：①最短时：筷子垂直于底面放置，此时杯内长度等于圆柱的高；②最长时：筷子斜放，两端分别抵住杯底边缘和杯口对侧边缘，此时杯内筷子与圆柱的高、底面直径构成直角三角形，杯内长度为斜边，可用勾股定理计算。最后用总长度分别减去杯内最长、最短长度，即可得到x的最小和最大值，进而得到取值范围。
【解析】
1. 求x的最大值：
当筷子垂直放置在水杯中时，杯内筷子长度最短，等于圆柱的高12cm，此时露在外面的长度最长：
$x_{\mathrm{max}} = 24 - 12 = 12\ \mathrm{cm}$
2. 求x的最小值：
当筷子斜放，底端抵在杯底边缘，顶端抵在杯口对侧边缘时，杯内筷子长度最长。此时圆柱的底面直径5cm、高12cm和杯内筷子长度构成直角三角形，杯内筷子为斜边，根据勾股定理：
杯内最长长度 $=\sqrt{5^2 + 12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$
此时露在外面的长度最短：
$x_{\mathrm{min}} = 24 - 13 = 11\ \mathrm{cm}$
综上，x的取值范围是$11≤ x≤ 12$。
【答案】
$11≤ x≤ 12$
【知识点】
勾股定理，圆柱的性质，取值范围求解
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类题目，解题的关键是准确找到杯内筷子长度的两种极端情况，要养成结合几何图形分析最值问题的习惯，避免漏考虑特殊放置情况。
【难度系数】
0.8
15.如图7，小华的爸爸在鱼池边的一块四边形土地上种了一些蔬菜，爸爸让小华计算这块土地的面积以便估算产量.小华测得$AB=8\ \mathrm{m}$，$AD=6\ \mathrm{m}$，$CD=24\ \mathrm{m}$，$BC=26\ \mathrm{m}$，又已知$∠ A=90°$，求这块土地的面积. 
图7
图7答案
15.$144\ \mathrm{m^2}$
解析
【分析】
要求不规则四边形ABCD的面积，可通过连接辅助线BD将其拆分为两个三角形求解。首先已知∠A=90°，△ABD是直角三角形，可利用勾股定理先求出BD的长度；再将BD长度与已知的CD、BC长度结合，通过勾股定理的逆定理判断△BCD是否为直角三角形；若△BCD为直角三角形，分别计算两个直角三角形的面积再求和，即可得到四边形的总面积。
【解析】
解：连接BD，
∵∠A=90°，AB=8m，AD=6m，
∴在Rt△ABD中，根据勾股定理得：
$BD^2=AB^2+AD^2=8^2+6^2=64+36=100$，
∴$BD=10\ \mathrm{m}$（边长为正，舍去负根），
又
∵$CD=24\ \mathrm{m}$，$BC=26\ \mathrm{m}$，
∴$BD^2+CD^2=10^2+24^2=100+576=676$，
$BC^2=26^2=676$，
∴$BD^2+CD^2=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△BCD是直角三角形，且$∠ BDC=90°$，
∴四边形ABCD的面积为：
$S=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× AB× AD + \frac{1}{2}× BD× CD$
$=\frac{1}{2}×8×6 + \frac{1}{2}×10×24$
$=24+120=144\ (\mathrm{m^2})$
【答案】
$144\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
勾股定理，勾股定理逆定理，不规则图形面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，核心解题思路是通过构造辅助线将不规则四边形转化为规则的直角三角形，结合勾股定理及其逆定理完成计算，要熟练掌握这类“割补法”求面积的构造技巧。
【难度系数】
0.7
要求不规则四边形ABCD的面积，可通过连接辅助线BD将其拆分为两个三角形求解。首先已知∠A=90°，△ABD是直角三角形，可利用勾股定理先求出BD的长度；再将BD长度与已知的CD、BC长度结合，通过勾股定理的逆定理判断△BCD是否为直角三角形；若△BCD为直角三角形，分别计算两个直角三角形的面积再求和，即可得到四边形的总面积。
【解析】
解：连接BD，
∵∠A=90°，AB=8m，AD=6m，
∴在Rt△ABD中，根据勾股定理得：
$BD^2=AB^2+AD^2=8^2+6^2=64+36=100$，
∴$BD=10\ \mathrm{m}$（边长为正，舍去负根），
又
∵$CD=24\ \mathrm{m}$，$BC=26\ \mathrm{m}$，
∴$BD^2+CD^2=10^2+24^2=100+576=676$，
$BC^2=26^2=676$，
∴$BD^2+CD^2=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△BCD是直角三角形，且$∠ BDC=90°$，
∴四边形ABCD的面积为：
$S=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× AB× AD + \frac{1}{2}× BD× CD$
$=\frac{1}{2}×8×6 + \frac{1}{2}×10×24$
$=24+120=144\ (\mathrm{m^2})$
【答案】
$144\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
勾股定理，勾股定理逆定理，不规则图形面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，核心解题思路是通过构造辅助线将不规则四边形转化为规则的直角三角形，结合勾股定理及其逆定理完成计算，要熟练掌握这类“割补法”求面积的构造技巧。
【难度系数】
0.7
