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10. (2024·山西)机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数.已知一款机器狗载重后总质量m=60 kg时，它的最快移动速度v=6 m/s；当其载重后总质量m=90 kg时，它的最快移动速度v=
4
m/s. 答案
4
解析
【分析】
首先根据题目中“最快移动速度v是载重后总质量m的反比例函数”这一条件，先设出反比例函数的一般形式，再将已知的m、v对应值代入求出比例系数k，得到完整的函数解析式，最后把m=90代入解析式就能计算出对应的v值。
【解析】
设v与m的反比例函数解析式为$v=\frac{k}{m}$（k为常数，$k≠0$）。
将$m=60\ \mathrm{kg}$，$v=6\ \mathrm{m/s}$代入解析式，可得：
$6=\frac{k}{60}$
解得$k=6×60=360$，因此v与m的函数解析式为$v=\frac{360}{m}$。
当$m=90\ \mathrm{kg}$时，代入解析式得：
$v=\frac{360}{90}=4\ \mathrm{m/s}$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数的概念；待定系数法求解析式；反比例函数求值
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，解题关键是先利用已知对应量求出反比例函数的比例系数，再代入未知量求解，掌握反比例函数基础概念和待定系数法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
首先根据题目中“最快移动速度v是载重后总质量m的反比例函数”这一条件，先设出反比例函数的一般形式，再将已知的m、v对应值代入求出比例系数k，得到完整的函数解析式，最后把m=90代入解析式就能计算出对应的v值。
【解析】
设v与m的反比例函数解析式为$v=\frac{k}{m}$（k为常数，$k≠0$）。
将$m=60\ \mathrm{kg}$，$v=6\ \mathrm{m/s}$代入解析式，可得：
$6=\frac{k}{60}$
解得$k=6×60=360$，因此v与m的函数解析式为$v=\frac{360}{m}$。
当$m=90\ \mathrm{kg}$时，代入解析式得：
$v=\frac{360}{90}=4\ \mathrm{m/s}$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数的概念；待定系数法求解析式；反比例函数求值
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，解题关键是先利用已知对应量求出反比例函数的比例系数，再代入未知量求解，掌握反比例函数基础概念和待定系数法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
11. 将$x=\frac{2}{3}$代入反比例函数$y=-\frac{1}{x}$中，所得函数值记为$y_1$，又将$x=y_1+1$代入原反比例函数中，所得函数值记为$y_2$，再将$x=y_2+1$代入原反比例函数中，所得函数值记为$y_3$，…，如此继续下去，则$y_{2026}=$
$-\dfrac{3}{2}$
。答案
$-\dfrac{3}{2}$
解析
【分析】
本题是结合反比例函数求值的规律探究题，解题思路为：首先按照题目给定的代入规则，依次计算前几个函数值，观察是否存在循环周期；找到周期后，用所求项的序数除以周期，根据余数确定对应的值，无需逐一代入计算到第2026项，大幅简化计算。
【解析】
1. 计算$y_1$：将$x=\frac{2}{3}$代入$y=-\frac{1}{x}$，得$y_1=-\frac{1}{\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}$；
2. 计算$y_2$：先得$x=y_1+1=-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{2}$，代入得$y_2=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2$；
3. 计算$y_3$：先得$x=y_2+1=2+1=3$，代入得$y_3=-\frac{1}{3}$；
4. 计算$y_4$：先得$x=y_3+1=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$，代入得$y_4=-\frac{1}{\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}=y_1$，由此可知函数值每3个为一个循环周期，周期$T=3$；
5. 计算$2026÷3=675······1$，即余数为1，说明$y_{2026}$和周期内第1个值相等，也就是$y_{2026}=y_1=-\frac{3}{2}$。
【答案】
$-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数求值；规律探究；周期问题
【点评】
本题将反比例函数的代入求值和周期性规律结合，核心是通过计算前几项找到循环周期，再利用余数快速定位所求项的值，避免了繁琐的重复计算，考查学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
本题是结合反比例函数求值的规律探究题，解题思路为：首先按照题目给定的代入规则，依次计算前几个函数值，观察是否存在循环周期；找到周期后，用所求项的序数除以周期，根据余数确定对应的值，无需逐一代入计算到第2026项，大幅简化计算。
【解析】
1. 计算$y_1$：将$x=\frac{2}{3}$代入$y=-\frac{1}{x}$，得$y_1=-\frac{1}{\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}$；
2. 计算$y_2$：先得$x=y_1+1=-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{2}$，代入得$y_2=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2$；
3. 计算$y_3$：先得$x=y_2+1=2+1=3$，代入得$y_3=-\frac{1}{3}$；
4. 计算$y_4$：先得$x=y_3+1=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$，代入得$y_4=-\frac{1}{\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}=y_1$，由此可知函数值每3个为一个循环周期，周期$T=3$；
5. 计算$2026÷3=675······1$，即余数为1，说明$y_{2026}$和周期内第1个值相等，也就是$y_{2026}=y_1=-\frac{3}{2}$。
【答案】
$-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数求值；规律探究；周期问题
【点评】
本题将反比例函数的代入求值和周期性规律结合，核心是通过计算前几项找到循环周期，再利用余数快速定位所求项的值，避免了繁琐的重复计算，考查学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
12. 将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程S(单位：千米)与平均耗油量a(单位：升/千米)之间是反比例函数关系$s=\frac{k}{a}$(k是常数，k≠0)。已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700千米。
(1) 求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数关系式；
(2) 当平均耗油量少于0.07升/千米时，该轿车至少可以行驶多少千米？
(1) 求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数关系式；
(2) 当平均耗油量少于0.07升/千米时，该轿车至少可以行驶多少千米？
答案
(1) 由题意得:$a=0.1$,$s=700$,代入反比例函数关系 $s=\dfrac{k}{a}$ 中,解得:$k=sa=70$,所以函数关系式为:$s=\dfrac{70}{a}$.
(2) 将 $a=0.07$ 代入 $s=\dfrac{70}{a}$ 得:$s=\dfrac{70}{a}=\dfrac{70}{0.07}=1\ 000$,故该轿车至少可以行驶1 000千米.
(2) 将 $a=0.07$ 代入 $s=\dfrac{70}{a}$ 得:$s=\dfrac{70}{a}=\dfrac{70}{0.07}=1\ 000$,故该轿车至少可以行驶1 000千米.
解析
【分析】
(1) 已知总路程s和平均耗油量a满足反比例函数关系$s=\frac{k}{a}$，求函数解析式的核心是确定常数k的值，题目已经给出一组a和s的对应值，将其代入表达式即可算出k，进而得到函数关系式。
(2) 对于反比例函数$s=\frac{70}{a}$，k=70＞0，当a＞0时，s随a的减小而增大，因此当平均耗油量少于0.07升/千米时，a的最大值为0.07，此时对应的s就是轿车能行驶的最小路程，将a=0.07代入解析式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 由题意得：当$a=0.1$时，$s=700$，代入反比例函数关系$s=\dfrac{k}{a}$中，
解得：$k=sa=700×0.1=70$，
所以函数关系式为：$s=\dfrac{70}{a}$。
(2) 因为函数$s=\dfrac{70}{a}$中$k=70＞0$，当$a＞0$时s随a的减小而增大，因此当$a＜0.07$时，s的最小值对应$a=0.07$的情况，
将$a=0.07$代入$s=\dfrac{70}{a}$得：$s=\dfrac{70}{0.07}=1000$，
故该轿车至少可以行驶1000千米。
【答案】
(1) $\boldsymbol{s=\dfrac{70}{a}}$
(2) $\boldsymbol{1000}$千米
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的性质、反比例函数实际应用
【点评】
本题结合轿车耗油的生活场景考查反比例函数的基础应用，第一问是常规的解析式求解问题，第二问需要结合反比例函数的增减性分析最值，整体侧重对基础知识点的掌握和运用。
【难度系数】
0.8
(1) 已知总路程s和平均耗油量a满足反比例函数关系$s=\frac{k}{a}$，求函数解析式的核心是确定常数k的值，题目已经给出一组a和s的对应值，将其代入表达式即可算出k，进而得到函数关系式。
(2) 对于反比例函数$s=\frac{70}{a}$，k=70＞0，当a＞0时，s随a的减小而增大，因此当平均耗油量少于0.07升/千米时，a的最大值为0.07，此时对应的s就是轿车能行驶的最小路程，将a=0.07代入解析式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 由题意得：当$a=0.1$时，$s=700$，代入反比例函数关系$s=\dfrac{k}{a}$中，
解得：$k=sa=700×0.1=70$，
所以函数关系式为：$s=\dfrac{70}{a}$。
(2) 因为函数$s=\dfrac{70}{a}$中$k=70＞0$，当$a＞0$时s随a的减小而增大，因此当$a＜0.07$时，s的最小值对应$a=0.07$的情况，
将$a=0.07$代入$s=\dfrac{70}{a}$得：$s=\dfrac{70}{0.07}=1000$，
故该轿车至少可以行驶1000千米。
【答案】
(1) $\boldsymbol{s=\dfrac{70}{a}}$
(2) $\boldsymbol{1000}$千米
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的性质、反比例函数实际应用
【点评】
本题结合轿车耗油的生活场景考查反比例函数的基础应用，第一问是常规的解析式求解问题，第二问需要结合反比例函数的增减性分析最值，整体侧重对基础知识点的掌握和运用。
【难度系数】
0.8
13. 已知$y=y_1 - y_2$，$y_1$与$x+2$成正比例，$y_2$与$x$成反比例，且当$x=1$时，$y=4$；当$x=2$时，$y=7$。
（1）求$y$与$x$的函数关系；
（2）求$x=\frac{1}{2}$时，$y$的值。
（1）求$y$与$x$的函数关系；
（2）求$x=\frac{1}{2}$时，$y$的值。
答案
(1) $\because y_1$与$x+2$成正比例,$\therefore$ 设$y_1=k(x+2)$,$\because y_2$与$x$成反比例.$\therefore$ 设$y_2=\dfrac{a}{x}$,$\because y=y_1-y_2$,$\therefore y=k(x+2)-\dfrac{a}{x}$.$\because$ 当$x=1$时,$y=4$;当$x=2$时,$y=7$,$\therefore \begin{cases}4=k(1+2)-a\\7=k(2+2)-\dfrac{a}{2}\end{cases}$,解得:$\begin{cases}k=2\\a=2\end{cases}$,$\therefore y=2(x+2)-\dfrac{2}{x}=2x+4-\dfrac{2}{x}$;
(2) 把 $x=\dfrac{1}{2}$ 时代入得 $y=2×\dfrac{1}{2}+4-4=1$.
(2) 把 $x=\dfrac{1}{2}$ 时代入得 $y=2×\dfrac{1}{2}+4-4=1$.
解析
【分析】
解决本题的核心思路是利用正比例、反比例的定义设出对应解析式，再通过待定系数法求解未知系数，最终得到函数关系后代入求值。步骤如下：1. 回忆正比例、反比例的表达式形式：若两个量成正比例，可设为y=k乘以自变量（k≠0）；若成反比例，可设为y=a除以自变量（a≠0）；2. 根据y=y₁-y₂组合得到含未知系数k、a的y关于x的表达式；3. 将题目给出的两组x、y的对应值代入表达式，得到二元一次方程组，求解得到k、a的值即可确定函数关系；4. 第二问直接将x=1/2代入已求出的函数解析式计算即可得到y的值。
【解析】
（1）
∵$y_1$与$x+2$成正比例，
∴设$y_1=k(x+2)$（$k≠0$）
∵$y_2$与$x$成反比例，
∴设$y_2=\dfrac{a}{x}$（$a≠0$）
又
∵$y=y_1-y_2$，
∴$y=k(x+2)-\dfrac{a}{x}$
将$x=1,y=4$和$x=2,y=7$分别代入上式，可得方程组：
$\begin{cases}4=k(1+2)-\dfrac{a}{1}\\7=k(2+2)-\dfrac{a}{2}\end{cases}$
整理得$\begin{cases}3k-a=4\\4k-\dfrac{a}{2}=7\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=2\\a=2\end{cases}$
将k、a代入y的表达式，得$y=2(x+2)-\dfrac{2}{x}=2x+4-\dfrac{2}{x}$
（2）当$x=\dfrac{1}{2}$时，代入$y=2x+4-\dfrac{2}{x}$得：
$y=2×\dfrac{1}{2}+4-\dfrac{2}{\dfrac{1}{2}}=1+4-4=1$
【答案】
（1）$y=2x+4-\dfrac{2}{x}$；（2）$1$
【知识点】
正比例函数定义，反比例函数定义，待定系数法求解析式
【点评】
本题是正比例、反比例相关概念的基础应用题型，重点考查对待定系数法的掌握，解题时需注意准确识别正比例、反比例对应的自变量形式，避免设错解析式，求解方程组时注意计算准确性即可。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心思路是利用正比例、反比例的定义设出对应解析式，再通过待定系数法求解未知系数，最终得到函数关系后代入求值。步骤如下：1. 回忆正比例、反比例的表达式形式：若两个量成正比例，可设为y=k乘以自变量（k≠0）；若成反比例，可设为y=a除以自变量（a≠0）；2. 根据y=y₁-y₂组合得到含未知系数k、a的y关于x的表达式；3. 将题目给出的两组x、y的对应值代入表达式，得到二元一次方程组，求解得到k、a的值即可确定函数关系；4. 第二问直接将x=1/2代入已求出的函数解析式计算即可得到y的值。
【解析】
（1）
∵$y_1$与$x+2$成正比例，
∴设$y_1=k(x+2)$（$k≠0$）
∵$y_2$与$x$成反比例，
∴设$y_2=\dfrac{a}{x}$（$a≠0$）
又
∵$y=y_1-y_2$，
∴$y=k(x+2)-\dfrac{a}{x}$
将$x=1,y=4$和$x=2,y=7$分别代入上式，可得方程组：
$\begin{cases}4=k(1+2)-\dfrac{a}{1}\\7=k(2+2)-\dfrac{a}{2}\end{cases}$
整理得$\begin{cases}3k-a=4\\4k-\dfrac{a}{2}=7\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=2\\a=2\end{cases}$
将k、a代入y的表达式，得$y=2(x+2)-\dfrac{2}{x}=2x+4-\dfrac{2}{x}$
（2）当$x=\dfrac{1}{2}$时，代入$y=2x+4-\dfrac{2}{x}$得：
$y=2×\dfrac{1}{2}+4-\dfrac{2}{\dfrac{1}{2}}=1+4-4=1$
【答案】
（1）$y=2x+4-\dfrac{2}{x}$；（2）$1$
【知识点】
正比例函数定义，反比例函数定义，待定系数法求解析式
【点评】
本题是正比例、反比例相关概念的基础应用题型，重点考查对待定系数法的掌握，解题时需注意准确识别正比例、反比例对应的自变量形式，避免设错解析式，求解方程组时注意计算准确性即可。
【难度系数】
0.8
