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1. (2025·盐城)博物馆到小明家的路程为8km，小明回家所需时间t(单位:h)随平均速度v(单位:km/h)的变化而变化，则t与v的函数表达式是（
A.$t=8v$
B.$t=\frac{1}{8}v$
C.$t=\frac{8}{v}$
D.$t=8v^2$
C
）A.$t=8v$
B.$t=\frac{1}{8}v$
C.$t=\frac{8}{v}$
D.$t=8v^2$
答案
1. C
解析
【分析】
要推导t与v的函数表达式，首先回忆行程问题中路程、速度、时间的核心数量关系：路程=速度×时间。本题中总路程是固定值8km，我们只需把已知的路程代入三者的关系式，再通过等式变形将t单独表示出来，就能得到对应的函数式，再匹配选项即可选出正确答案。
【解析】
根据行程问题的基本公式：$\boldsymbol{路程=速度×时间}$，即$s=vt$。
已知总路程$s=8\mathrm{km}$，代入公式可得：$8=vt$。
由于平均速度$v$是正数，不为0，将等式两边同时除以$v$，变形得$t=\frac{8}{v}$，对应C选项。
【答案】
C
【知识点】
行程问题数量关系；反比例函数的实际应用
【点评】
本题是结合生活场景的基础题，核心考查行程问题三量的换算关系和简单的代数式变形，熟练掌握路程、速度、时间的关系就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要推导t与v的函数表达式，首先回忆行程问题中路程、速度、时间的核心数量关系：路程=速度×时间。本题中总路程是固定值8km，我们只需把已知的路程代入三者的关系式，再通过等式变形将t单独表示出来，就能得到对应的函数式，再匹配选项即可选出正确答案。
【解析】
根据行程问题的基本公式：$\boldsymbol{路程=速度×时间}$，即$s=vt$。
已知总路程$s=8\mathrm{km}$，代入公式可得：$8=vt$。
由于平均速度$v$是正数，不为0，将等式两边同时除以$v$，变形得$t=\frac{8}{v}$，对应C选项。
【答案】
C
【知识点】
行程问题数量关系；反比例函数的实际应用
【点评】
本题是结合生活场景的基础题，核心考查行程问题三量的换算关系和简单的代数式变形，熟练掌握路程、速度、时间的关系就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2. 爱美之心人皆有之，现在许多年轻人因为生活条件好了，代步工具多了，身体肥胖成为烦恼，随着科技的进步，我国的减肥瘦身行业发展迅速，最近某药品研究所开发一种减肥新药，在临床人体试验中，测得实验人员服药后血液中药物浓度$y$(微克/毫升)与服药时间$x$(小时)之间的函数关系如图所示(当$3≤ x≤10$时，$y$与$x$成反比例). 根据图中信息可知，血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（
A.6小时
B.$\frac{3}{2}$小时
C.$\frac{7}{2}$小时
D.$\frac{9}{2}$小时
D
）A.6小时
B.$\frac{3}{2}$小时
C.$\frac{7}{2}$小时
D.$\frac{9}{2}$小时
答案
2. D
解析
【分析】
本题属于分段函数的实际应用问题，解题思路如下：首先观察图像可知，0≤x≤3时y与x是过原点的一次函数关系，3≤x≤10时y与x是反比例函数关系；第一步分别求出两个区间的函数解析式，第二步分别令y=4，求出两段函数中y≥4对应的x的临界值，最后计算两个临界值的差，就是药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间。
【解析】
1. 求0≤x≤3时的函数解析式：
设该段解析式为$y=k_1x$，将点$(3,8)$代入得：
$8=3k_1$，解得$k_1=\frac{8}{3}$，即$y=\frac{8}{3}x$（$0≤x≤3$）。
令$y=4$，代入得$4=\frac{8}{3}x$，解得$x=\frac{3}{2}$。
2. 求3≤x≤10时的函数解析式：
设该段解析式为$y=\frac{k_2}{x}$，将点$(3,8)$代入得：
$8=\frac{k_2}{3}$，解得$k_2=24$，即$y=\frac{24}{x}$（$3≤x≤10$）。
令$y=4$，代入得$4=\frac{24}{x}$，解得$x=6$。
3. 计算持续时间：
药物浓度不低于4微克/毫升的x范围是$\frac{3}{2}≤x≤6$，持续时间为$6-\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$小时。
【答案】
D
【知识点】
一次函数应用，反比例函数应用，分段函数分析
【点评】
本题结合生活实际考查分段函数的应用，核心是掌握不同类型函数解析式的求解方法，结合函数的增减性判断符合要求的自变量范围，是函数实际应用类的典型题型。
【难度系数】
0.7
本题属于分段函数的实际应用问题，解题思路如下：首先观察图像可知，0≤x≤3时y与x是过原点的一次函数关系，3≤x≤10时y与x是反比例函数关系；第一步分别求出两个区间的函数解析式，第二步分别令y=4，求出两段函数中y≥4对应的x的临界值，最后计算两个临界值的差，就是药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间。
【解析】
1. 求0≤x≤3时的函数解析式：
设该段解析式为$y=k_1x$，将点$(3,8)$代入得：
$8=3k_1$，解得$k_1=\frac{8}{3}$，即$y=\frac{8}{3}x$（$0≤x≤3$）。
令$y=4$，代入得$4=\frac{8}{3}x$，解得$x=\frac{3}{2}$。
2. 求3≤x≤10时的函数解析式：
设该段解析式为$y=\frac{k_2}{x}$，将点$(3,8)$代入得：
$8=\frac{k_2}{3}$，解得$k_2=24$，即$y=\frac{24}{x}$（$3≤x≤10$）。
令$y=4$，代入得$4=\frac{24}{x}$，解得$x=6$。
3. 计算持续时间：
药物浓度不低于4微克/毫升的x范围是$\frac{3}{2}≤x≤6$，持续时间为$6-\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$小时。
【答案】
D
【知识点】
一次函数应用，反比例函数应用，分段函数分析
【点评】
本题结合生活实际考查分段函数的应用，核心是掌握不同类型函数解析式的求解方法，结合函数的增减性判断符合要求的自变量范围，是函数实际应用类的典型题型。
【难度系数】
0.7
3. 火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（
）所示的轴对称图形，四边形ABCD是一个矩形，若以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图2所示的平面直角坐标系，DE，CF分别是两个反比例函数图象的一部分，已知AB=88 m，BC=20 m，上口宽EF=16 m，则整个冷却塔高度为
）所示的轴对称图形，四边形ABCD是一个矩形，若以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图2所示的平面直角坐标系，DE，CF分别是两个反比例函数图象的一部分，已知AB=88 m，BC=20 m，上口宽EF=16 m，则整个冷却塔高度为110
m.答案
3. 110
解析
【分析】
解题时先利用图形的轴对称性确定各点横坐标：AB中点为原点O，先算出C点的坐标，再用待定系数法求出CF所在反比例函数的解析式，最后根据上口EF的宽度得到F点的横坐标，代入解析式求出的纵坐标就是冷却塔的总高度。
【解析】
解：
∵ AB的垂直平分线为y轴，AB=88 m，
∴ $ OB=\frac{1}{2}AB=44\ \mathrm{m} $，
∵ 四边形ABCD是矩形，BC=20 m，
∴ 点C的坐标为$(44,20)$。
设CF所在反比例函数的解析式为$ y=\frac{k}{x}(k≠0) $，
将C(44,20)代入解析式得：$ 20=\frac{k}{44} $，
解得$ k=44×20=880 $，即反比例函数解析式为$ y=\frac{880}{x} $。
∵ 上口宽EF=16 m，结合轴对称性可知点F的横坐标为$ \frac{1}{2}×16=8 $，
将$ x=8 $代入$ y=\frac{880}{x} $得：$ y=\frac{880}{8}=110 $，
即整个冷却塔高度为110 m。
【答案】
110
【知识点】
反比例函数的应用，轴对称的性质，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题核心是利用轴对称性准确确定点的坐标，掌握反比例函数的基本性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时先利用图形的轴对称性确定各点横坐标：AB中点为原点O，先算出C点的坐标，再用待定系数法求出CF所在反比例函数的解析式，最后根据上口EF的宽度得到F点的横坐标，代入解析式求出的纵坐标就是冷却塔的总高度。
【解析】
解：
∵ AB的垂直平分线为y轴，AB=88 m，
∴ $ OB=\frac{1}{2}AB=44\ \mathrm{m} $，
∵ 四边形ABCD是矩形，BC=20 m，
∴ 点C的坐标为$(44,20)$。
设CF所在反比例函数的解析式为$ y=\frac{k}{x}(k≠0) $，
将C(44,20)代入解析式得：$ 20=\frac{k}{44} $，
解得$ k=44×20=880 $，即反比例函数解析式为$ y=\frac{880}{x} $。
∵ 上口宽EF=16 m，结合轴对称性可知点F的横坐标为$ \frac{1}{2}×16=8 $，
将$ x=8 $代入$ y=\frac{880}{x} $得：$ y=\frac{880}{8}=110 $，
即整个冷却塔高度为110 m。
【答案】
110
【知识点】
反比例函数的应用，轴对称的性质，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题核心是利用轴对称性准确确定点的坐标，掌握反比例函数的基本性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
4. 在数学实践课上，八(1)班数学兴趣小组要探究近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)之间的关系，发现如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是
x＞0.5
。答案
4. x＞0.5
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确近视眼镜度数y与镜片焦距x成反比例函数关系，解题思路分为三步：第一步，设反比例函数的一般形式，利用图像给出的已知点坐标代入求出反比例函数的解析式；第二步，根据“度数小于200度”的条件，列出关于x的不等式；第三步，结合实际问题中x（焦距）为正数的隐含条件，解不等式得到x的取值范围。
【解析】
∵ 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，
∴ 设函数解析式为 $ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0 $，$ x＞0 $）。
将 $ x=0.4 $，$ y=250 $ 代入解析式得：
$ 250 = \frac{k}{0.4} $，解得 $ k = 250 × 0.4 = 100 $，
∴ 函数解析式为 $ y = \frac{100}{x} $（$ x＞0 $）。
根据题意要求度数小于200度，即 $ y ＜ 200 $，代入解析式得：
$ \frac{100}{x} ＜ 200 $，
∵ 焦距x为正数，两边同时乘x不等号方向不变，得 $ 100 ＜ 200x $，
解得 $ x ＞ 0.5 $。
【答案】
x＞0.5
【知识点】
反比例函数解析式确定，反比例函数实际应用，不等式求解
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题的核心是先根据已知点确定函数解析式，再结合题目的限制条件列不等式求解，解题时要注意实际问题中自变量的取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确近视眼镜度数y与镜片焦距x成反比例函数关系，解题思路分为三步：第一步，设反比例函数的一般形式，利用图像给出的已知点坐标代入求出反比例函数的解析式；第二步，根据“度数小于200度”的条件，列出关于x的不等式；第三步，结合实际问题中x（焦距）为正数的隐含条件，解不等式得到x的取值范围。
【解析】
∵ 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，
∴ 设函数解析式为 $ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0 $，$ x＞0 $）。
将 $ x=0.4 $，$ y=250 $ 代入解析式得：
$ 250 = \frac{k}{0.4} $，解得 $ k = 250 × 0.4 = 100 $，
∴ 函数解析式为 $ y = \frac{100}{x} $（$ x＞0 $）。
根据题意要求度数小于200度，即 $ y ＜ 200 $，代入解析式得：
$ \frac{100}{x} ＜ 200 $，
∵ 焦距x为正数，两边同时乘x不等号方向不变，得 $ 100 ＜ 200x $，
解得 $ x ＞ 0.5 $。
【答案】
x＞0.5
【知识点】
反比例函数解析式确定，反比例函数实际应用，不等式求解
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题的核心是先根据已知点确定函数解析式，再结合题目的限制条件列不等式求解，解题时要注意实际问题中自变量的取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
5. 如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段(测速区间)上的平均速度.小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下,汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v(单位:km/h)与行驶时间t(单位:h)是反比例函数关系(如图2).
(1) 求v与t的函数表达式；
(2) 已知在限速区间AB上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过120 km/h，最低车速不得低于80 km/h，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间范围.
(1) 求v与t的函数表达式；
(2) 已知在限速区间AB上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过120 km/h，最低车速不得低于80 km/h，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间范围.
答案
5. (1) 由题意可设$v=\frac{k}{t}$,将$(0.3,80)$代入得,$k=0.3×80=24$,$\therefore v=\frac{24}{t}$;答:$v$与$t$的函数表达式为$v=\frac{24}{t}$；(2) 当$v=120$时,$t=\frac{24}{120}=0.2$,当$v=80$时,$t=\frac{24}{80}=0.3$,$\therefore$ 小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间范围为$0.2≤ t≤ 0.3$.
解析
【分析】
(1) 题目明确v与t是反比例函数关系，因此先设反比例函数的一般形式为$v=\frac{k}{t}(k≠0,t＞0)$，再结合图象给出的已知点$(0.3,80)$，将坐标代入函数式即可求出未知系数k，进而得到v与t的函数表达式。
(2) 已知车速的取值范围是$80≤ v≤120$，由于所求反比例函数中$k＞0$，在$t＞0$的范围内v随t的增大而减小，因此分别将v的最大值和最小值代入函数表达式，即可求出对应t的最小值和最大值，最终得到通过区间的时间范围。
【解析】
(1) 设v与t的函数表达式为$v=\frac{k}{t}(k≠0,t＞0)$，
将点$(0.3,80)$代入表达式，可得：$80=\frac{k}{0.3}$，
解得$k=0.3×80=24$，
因此v与t的函数表达式为$v=\frac{24}{t}$。
(2) 当最高车速$v=120\mathrm{km/h}$时，代入$v=\frac{24}{t}$得：
$t=\frac{24}{120}=0.2(\mathrm{h})$，
当最低车速$v=80\mathrm{km/h}$时，代入$v=\frac{24}{t}$得：
$t=\frac{24}{80}=0.3(\mathrm{h})$，
结合反比例函数的增减性，可得通过该限速区间的时间范围为$0.2≤ t≤0.3$。
【答案】
(1) $v=\frac{24}{t}$；
(2) $0.2≤ t≤0.3$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的性质、反比例函数实际应用
【点评】
本题结合区间测速的现实场景考查反比例函数的相关知识，难度较低，解题核心是先求出函数解析式，再结合函数性质求解自变量的取值范围，能够锻炼学生将数学知识应用于实际生活的能力。
【难度系数】
0.8
(1) 题目明确v与t是反比例函数关系，因此先设反比例函数的一般形式为$v=\frac{k}{t}(k≠0,t＞0)$，再结合图象给出的已知点$(0.3,80)$，将坐标代入函数式即可求出未知系数k，进而得到v与t的函数表达式。
(2) 已知车速的取值范围是$80≤ v≤120$，由于所求反比例函数中$k＞0$，在$t＞0$的范围内v随t的增大而减小，因此分别将v的最大值和最小值代入函数表达式，即可求出对应t的最小值和最大值，最终得到通过区间的时间范围。
【解析】
(1) 设v与t的函数表达式为$v=\frac{k}{t}(k≠0,t＞0)$，
将点$(0.3,80)$代入表达式，可得：$80=\frac{k}{0.3}$，
解得$k=0.3×80=24$，
因此v与t的函数表达式为$v=\frac{24}{t}$。
(2) 当最高车速$v=120\mathrm{km/h}$时，代入$v=\frac{24}{t}$得：
$t=\frac{24}{120}=0.2(\mathrm{h})$，
当最低车速$v=80\mathrm{km/h}$时，代入$v=\frac{24}{t}$得：
$t=\frac{24}{80}=0.3(\mathrm{h})$，
结合反比例函数的增减性，可得通过该限速区间的时间范围为$0.2≤ t≤0.3$。
【答案】
(1) $v=\frac{24}{t}$；
(2) $0.2≤ t≤0.3$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的性质、反比例函数实际应用
【点评】
本题结合区间测速的现实场景考查反比例函数的相关知识，难度较低，解题核心是先求出函数解析式，再结合函数性质求解自变量的取值范围，能够锻炼学生将数学知识应用于实际生活的能力。
【难度系数】
0.8
