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7. 在实验课上,小明做了一个试验.如图1,在仪器左边托盘A(固定)中放置一个物体,在右边托盘B(可左右移动)中放置一个可以装水的容器,容器的质量为5 g.在容器中加入一定质量的水,可以使仪器左右平衡.改变托盘B与点C的距离x(cm)(0＜x≤60),记录容器中加入的水的质量,得到下表:
把上表中的x与y₁各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出这些点,并用光滑的曲线连接起来,得到如图2所示的y₁关于x的函数图象.
(1) 请在该平面直角坐标系中作出y₂关于x的函数图象;
(2) 观察函数图象,并结合表中的数据:
① 猜测y₁与x之间的函数关系,并求y₁关于x的函数表达式;
② 求y₂关于x的函数表达式;
③ 当0＜x≤60时,y₁随x的增大而
(3) 若在容器中加入的水的质量y₂(g)满足19≤y₂≤45,求托盘B与点C的距离x(cm)的取值范围.
把上表中的x与y₁各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出这些点,并用光滑的曲线连接起来,得到如图2所示的y₁关于x的函数图象.
(1) 请在该平面直角坐标系中作出y₂关于x的函数图象;
(2) 观察函数图象,并结合表中的数据:
① 猜测y₁与x之间的函数关系,并求y₁关于x的函数表达式;
② 求y₂关于x的函数表达式;
③ 当0＜x≤60时,y₁随x的增大而
减小
(填“增大”或“减小”),y₂随x的增大而减小
(填“增大”或“减小”),y₂的图象可以由y₁的图象向下
(填“上”“下”“左”或“右”)平移得到.(3) 若在容器中加入的水的质量y₂(g)满足19≤y₂≤45,求托盘B与点C的距离x(cm)的取值范围.
答案
7. (1) 作出$y_2$关于x的函数图象如下：
(2) ① 观察表格可知,$y_1$是x的反比例函数,设$y_1=\frac{k}{x}$,把$(30,10)$代入得:$10=\frac{k}{30}$,$\therefore k=300$,$\therefore y_1$关于x的函数表达式是$y_1=\frac{300}{x}$；
② $\because y_1=y_2+5$,$\therefore y_2+5=\frac{300}{x}$,$\therefore y_2=\frac{300}{x}-5$；
③ 减小,减小,下；
(3) $\because y_2=\frac{300}{x}-5$,$19≤ y_2≤45$,$\therefore 19≤\frac{300}{x}-5≤45$,$\therefore 24≤\frac{300}{x}≤50$,$\therefore 6≤ x≤12.5$。
解析
【分析】
本题是反比例函数在实际平衡问题中的应用，解题思路如下：1. 首先明确$y_1$是容器加水的总质量，$y_2$是水的质量，二者相差容器质量5g，因此绘制$y_2$的图象时只需将$y_1$对应点都向下平移5个单位再连线即可。2. 观察x和$y_1$的对应值乘积为定值，可判断为反比例函数，代入已知点即可求出解析式；再根据$y_1$和$y_2$的数量关系推导$y_2$的解析式。3. 根据反比例函数的性质判断增减性，结合函数解析式的差异判断平移方向。4. 最后将$y_2$的取值范围代入解析式，转化为不等式组求解x的范围，注意$x＞0$的隐含条件。
【解析】
(1) 因为容器质量为5g，所以相同x对应的$y_2$比$y_1$小5，将$y_1$图象上的每个点向下平移5个单位，再用光滑曲线连接，即可得到$y_2$关于x的函数图象。
(2) ① 观察x与$y_1$的对应数据，发现x与$y_1$的乘积为定值300，因此猜测$y_1$是x的反比例函数，设函数表达式为$y_1=\frac{k}{x}(k≠0)$。选取点$(30,10)$代入得：$10=\frac{k}{30}$，解得$k=300$，因此$y_1$关于x的函数表达式为$y_1=\frac{300}{x}$。
② 因为容器质量为5g，总质量$y_1$等于水的质量$y_2$加容器质量，即$y_1=y_2+5$，将$y_1=\frac{300}{x}$代入得：$y_2+5=\frac{300}{x}$，整理得$y_2=\frac{300}{x}-5$。
③ 对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当$k＞0$时，在第一象限内y随x的增大而减小，因此$y_1=\frac{300}{x}$和$y_2=\frac{300}{x}-5$在$0＜x≤60$时，都随x的增大而减小；$y_2$的解析式是$y_1$的解析式减5，因此图象是由$y_1$的图象向下平移5个单位得到的。
(3) 将$y_2=\frac{300}{x}-5$代入不等式$19≤y_2≤45$，可得：
$19≤\frac{300}{x}-5≤45$
不等式各部分同时加5，得：$24≤\frac{300}{x}≤50$
因为$x＞0$，不等式各部分同时乘x不等号方向不变，得：$24x≤300≤50x$
分别解两个不等式：
由$24x≤300$得$x≤12.5$；由$300≤50x$得$x≥6$
因此x的取值范围是$6≤x≤12.5$。
【答案】
(1) 作出$y_2$关于x的函数图象如下：
(2) ① $y_1$关于x的函数表达式是$y_1=\frac{300}{x}$；
② $y_2$关于x的函数表达式是$y_2=\frac{300}{x}-5$；
③ 减小，减小，下；
(3) 托盘B与点C的距离x的取值范围是$6≤x≤12.5$。
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数的性质，函数图象的平移
【点评】
本题结合实验场景，将反比例函数的知识与实际问题结合，既考查了反比例函数解析式的求解、图象性质、平移规律，也考查了利用不等式组解决取值范围问题，注重对学生分析数据、应用知识解决实际问题能力的考查。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数在实际平衡问题中的应用，解题思路如下：1. 首先明确$y_1$是容器加水的总质量，$y_2$是水的质量，二者相差容器质量5g，因此绘制$y_2$的图象时只需将$y_1$对应点都向下平移5个单位再连线即可。2. 观察x和$y_1$的对应值乘积为定值，可判断为反比例函数，代入已知点即可求出解析式；再根据$y_1$和$y_2$的数量关系推导$y_2$的解析式。3. 根据反比例函数的性质判断增减性，结合函数解析式的差异判断平移方向。4. 最后将$y_2$的取值范围代入解析式，转化为不等式组求解x的范围，注意$x＞0$的隐含条件。
【解析】
(1) 因为容器质量为5g，所以相同x对应的$y_2$比$y_1$小5，将$y_1$图象上的每个点向下平移5个单位，再用光滑曲线连接，即可得到$y_2$关于x的函数图象。
(2) ① 观察x与$y_1$的对应数据，发现x与$y_1$的乘积为定值300，因此猜测$y_1$是x的反比例函数，设函数表达式为$y_1=\frac{k}{x}(k≠0)$。选取点$(30,10)$代入得：$10=\frac{k}{30}$，解得$k=300$，因此$y_1$关于x的函数表达式为$y_1=\frac{300}{x}$。
② 因为容器质量为5g，总质量$y_1$等于水的质量$y_2$加容器质量，即$y_1=y_2+5$，将$y_1=\frac{300}{x}$代入得：$y_2+5=\frac{300}{x}$，整理得$y_2=\frac{300}{x}-5$。
③ 对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当$k＞0$时，在第一象限内y随x的增大而减小，因此$y_1=\frac{300}{x}$和$y_2=\frac{300}{x}-5$在$0＜x≤60$时，都随x的增大而减小；$y_2$的解析式是$y_1$的解析式减5，因此图象是由$y_1$的图象向下平移5个单位得到的。
(3) 将$y_2=\frac{300}{x}-5$代入不等式$19≤y_2≤45$，可得：
$19≤\frac{300}{x}-5≤45$
不等式各部分同时加5，得：$24≤\frac{300}{x}≤50$
因为$x＞0$，不等式各部分同时乘x不等号方向不变，得：$24x≤300≤50x$
分别解两个不等式：
由$24x≤300$得$x≤12.5$；由$300≤50x$得$x≥6$
因此x的取值范围是$6≤x≤12.5$。
【答案】
(1) 作出$y_2$关于x的函数图象如下：
(2) ① $y_1$关于x的函数表达式是$y_1=\frac{300}{x}$；
② $y_2$关于x的函数表达式是$y_2=\frac{300}{x}-5$；
③ 减小，减小，下；
(3) 托盘B与点C的距离x的取值范围是$6≤x≤12.5$。
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数的性质，函数图象的平移
【点评】
本题结合实验场景，将反比例函数的知识与实际问题结合，既考查了反比例函数解析式的求解、图象性质、平移规律，也考查了利用不等式组解决取值范围问题，注重对学生分析数据、应用知识解决实际问题能力的考查。
【难度系数】
0.7
