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【典例1】(教材P50T5变式)如图，抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交于点A(1,0),B(3,0)。
(1)方程$ax^2+bx+c=0$的解为
(2)不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集为
(3)不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集为
(1)方程$ax^2+bx+c=0$的解为
$x_1=1,x_2=3$
；(2)不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集为
$x＜1$ 或 $x＞3$
；(3)不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集为
$1＜x＜3$
。答案
(1)$x_1=1,x_2=3$
(2)$x＜1$ 或 $x＞3$
(3)$1＜x＜3$
(2)$x＜1$ 或 $x＞3$
(3)$1＜x＜3$
变式.抛物线$y=2x^2+4x+m$与$x$轴交于$A$、$B$两点，且$AB=2$.
(1)当$y=0$时，$x$的值为________；
(2)当$y＜6$时，$x$的取值范围是________；
(3)当$0＜y＜6$时，$x$的取值范围是________.
(1)当$y=0$时，$x$的值为________；
(2)当$y＜6$时，$x$的取值范围是________；
(3)当$0＜y＜6$时，$x$的取值范围是________.
答案
(1)$x_1=0,x_2=-2$
(2)$-3＜x＜1$
(3)$0＜x＜1$ 或 $-3＜x＜-2$
解:(2)当 $y=6$ 时,$x_1=1,x_2=-3$,
$\therefore y＜6$ 时,$-3＜x＜1$.
(3)由图象知 $0＜y＜6$ 时,两段构成,$0＜x＜1$ 或 $-3＜x＜-2$.
【典例2】如图，(1)$a+b+c$
$=$
$0$；(2)$4a+2b+c$$＞$
$0$；(3)$4a-2b+c$$＜$
$0$；(4)$a-b+c$$≤$
$am^2+bm+c$。答案
(1)$=$ (2)$＞$ (3)$＜$ (4)$≤$
提示:将 $x=1,x=2,x=-2,x=-1$ 代入解析式即可.
提示:将 $x=1,x=2,x=-2,x=-1$ 代入解析式即可.
变式.如图,(1)$2a+b$
(2)$a-b+c$
(3)$c+3a$
(4)$a+b+c$
$=$
$0$;(2)$a-b+c$
$=$
$0$;(3)$c+3a$
$=$
$0$;(4)$a+b+c$
$≥$
$am^2+bm+c$.答案
(1)$=$ (2)$=$ (3)$=$ (4)$≥$
提示:将 $x=1,x=-1$ 代入即可.
提示:将 $x=1,x=-1$ 代入即可.
【典例3】已知二次函数$y=ax^2+bx+c(c＜0)$的图象开口向上，对称轴为直线$x=1$，下列结论中一定正确的是
①$b＜0$；②$4a+2b+c＜0$；③$a+c＞b$；④$a+b≤ t(at+b)$（$t$是一个常数）。
①②④
（填序号即可）。①$b＜0$；②$4a+2b+c＜0$；③$a+c＞b$；④$a+b≤ t(at+b)$（$t$是一个常数）。
答案
①②④
解:①$a＞0,-\frac{b}{2a}=1⇒ b＜0$;
②由对称性知 $x=2,y＜0$,
$\therefore 4a+2b+c＜0$;
③$x=-1$ 时,$y$ 的值不确定;
④顶点$(1,a+b+c)$.
$\therefore a+b+c≤ at^2+bt+c$.
解:①$a＞0,-\frac{b}{2a}=1⇒ b＜0$;
②由对称性知 $x=2,y＜0$,
$\therefore 4a+2b+c＜0$;
③$x=-1$ 时,$y$ 的值不确定;
④顶点$(1,a+b+c)$.
$\therefore a+b+c≤ at^2+bt+c$.
