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神奇的加密术 见答案册第64页
如何破译密码?梅陇中学六年级的学生就可以做到.请阅读以下材料,开始学习:为了确保信息安全,信息需要加密传输,发送方由明文$\xrightarrow{加密}$密文,接收方由密文$\xrightarrow{解密}$明文.
1949年美国数学家香农(Shannon)发表了《保密系统的通信理论》论文,建立了保密通信的数学原理,加密与解密才成为一种科学——密码学和密码分析学.
密码的使用对现代社会,尤其是军事信息安全传递是极其重要的,有一种密码的明文(真实文),其中的字母按计算机键盘顺序与26个自然数1,2,3,…,25,26对应(称为密码表,见下表),设明文的任一字母对应的自然数为$x$,通过某种规定的对应运算把$x$转化成为对应的自然数$x'$,$x'$对应的字母为密文.
例如,有一种译文方法按照以下变换实现:
$x→x'$,其中$x'$是$3x+2$被26除所得的余数与1之和($1≤x≤26$).
例如:$x=1$时,$x'=6$,即明文Q译为密文Y;$x=10$时,$x'=7$,即明文P译为密文U.
现有某种变换,将明文字母对应的自然数$x$变换为密文字母对应的自然数$x'$:$x→x'$,$x'$是$3x+m$被26除所得余数与1之和($1≤x≤26,1≤m≤26$).
(1)已知运用此变换,明文H译为密文T,求$m$的值.
(2)请用此变换,把明文SX(“数学”的拼音首字母)译为密文.
(3)请用此变换,把密文MLXZ(“梅陇学子”的拼音首字母)译为明文.
如何破译密码?梅陇中学六年级的学生就可以做到.请阅读以下材料,开始学习:为了确保信息安全,信息需要加密传输,发送方由明文$\xrightarrow{加密}$密文,接收方由密文$\xrightarrow{解密}$明文.
1949年美国数学家香农(Shannon)发表了《保密系统的通信理论》论文,建立了保密通信的数学原理,加密与解密才成为一种科学——密码学和密码分析学.
密码的使用对现代社会,尤其是军事信息安全传递是极其重要的,有一种密码的明文(真实文),其中的字母按计算机键盘顺序与26个自然数1,2,3,…,25,26对应(称为密码表,见下表),设明文的任一字母对应的自然数为$x$,通过某种规定的对应运算把$x$转化成为对应的自然数$x'$,$x'$对应的字母为密文.
例如,有一种译文方法按照以下变换实现:
$x→x'$,其中$x'$是$3x+2$被26除所得的余数与1之和($1≤x≤26$).
例如:$x=1$时,$x'=6$,即明文Q译为密文Y;$x=10$时,$x'=7$,即明文P译为密文U.
现有某种变换,将明文字母对应的自然数$x$变换为密文字母对应的自然数$x'$:$x→x'$,$x'$是$3x+m$被26除所得余数与1之和($1≤x≤26,1≤m≤26$).
(1)已知运用此变换,明文H译为密文T,求$m$的值.
(2)请用此变换,把明文SX(“数学”的拼音首字母)译为密文.
(3)请用此变换,把密文MLXZ(“梅陇学子”的拼音首字母)译为明文.
答案
(1)明文H译为密文T,即x=16时,x'=5,
因为x'是3x+m被26除所得余数与1之和(1≤x≤26,1≤m≤26).
所以3x+m被26除所得余数为4,
所以设(3×16+m-4)÷26=k,其中k为自然数,
所以m=26k-44.
因为1≤m≤26,所以当k=2时,m=2×26-44=8.
(2)因为明文S,对应的x=12,
所以x'是3x+8=3×12+8=44被26除所得余数与1之和,余数为44-26×1=18,
所以x'=18+1=19,对应的密文为L,
因为明文X,对应的x=21,
所以x'是3x+8=3×21+8=71被26除所得余数与1之和,余数为71-26×2=19,
所以x'=19+1=20,对应的密文为Z,
所以把明文SX(“数学”的拼音首字母)译为密文是字母LZ.
(3)密文MLXZ分别对应的x'=26,19,21,20,
所以3x+8被26除所得余数分别为25,18,20,19,
当3x+8=26k+25时,$x=\frac{26k+17}{3}$,
因为k为自然数,x为1~26的自然数,
所以当k=2时,x=23;
当3x+8=26k+18时,$x=\frac{26k+10}{3}$,
因为k为自然数,x为1~26的自然数,
所以当k=1时,x=12;
当3x+8=26k+20时,$x=\frac{26k+12}{3}$,
因为k为自然数,x为1~26的自然数,
所以当k=0时,x=4;
当3x+8=26k+19时,$x=\frac{26k+11}{3}$,
因为k为自然数,x为1~26的自然数,
所以当k=2时,x=21,
综上所述,当3x+8被26除所得余数分别为25,18,20,19时,x=23,12,4,21,则明文为VSRX.
因为x'是3x+m被26除所得余数与1之和(1≤x≤26,1≤m≤26).
所以3x+m被26除所得余数为4,
所以设(3×16+m-4)÷26=k,其中k为自然数,
所以m=26k-44.
因为1≤m≤26,所以当k=2时,m=2×26-44=8.
(2)因为明文S,对应的x=12,
所以x'是3x+8=3×12+8=44被26除所得余数与1之和,余数为44-26×1=18,
所以x'=18+1=19,对应的密文为L,
因为明文X,对应的x=21,
所以x'是3x+8=3×21+8=71被26除所得余数与1之和,余数为71-26×2=19,
所以x'=19+1=20,对应的密文为Z,
所以把明文SX(“数学”的拼音首字母)译为密文是字母LZ.
(3)密文MLXZ分别对应的x'=26,19,21,20,
所以3x+8被26除所得余数分别为25,18,20,19,
当3x+8=26k+25时,$x=\frac{26k+17}{3}$,
因为k为自然数,x为1~26的自然数,
所以当k=2时,x=23;
当3x+8=26k+18时,$x=\frac{26k+10}{3}$,
因为k为自然数,x为1~26的自然数,
所以当k=1时,x=12;
当3x+8=26k+20时,$x=\frac{26k+12}{3}$,
因为k为自然数,x为1~26的自然数,
所以当k=0时,x=4;
当3x+8=26k+19时,$x=\frac{26k+11}{3}$,
因为k为自然数,x为1~26的自然数,
所以当k=2时,x=21,
综上所述,当3x+8被26除所得余数分别为25,18,20,19时,x=23,12,4,21,则明文为VSRX.
解析
【分析】
解决本题首先要明确密码表中字母和数字的对应关系，理解变换规则：$x'$是$3x+m$除以26得到的余数加1。解题步骤如下：①第一问：先找到明文H对应的$x$值、密文T对应的$x'$值，代入变换规则得到关于$m$和余数的关系，结合$1≤ m≤26$的范围即可求出$m$；②第二问：先找到明文S、X对应的$x$值，代入第一问求出的$m$，按照变换规则计算$x'$，再对应找到密文字母即可；③第三问：先找到密文M、L、X、Z对应的$x'$值，反推$3x+m$除以26的余数，列出含整数$k$的$x$的表达式，结合$1≤ x≤26$的范围确定合适的$k$值，求出$x$后对应找到明文字母即可。
【解析】
(1) 根据密码表，明文H对应的自然数$x=16$，密文T对应的自然数$x'=5$。
由变换规则可知，$3x+m$被26除所得余数为$5-1=4$，设$\frac{3×16 + m - 4}{26}=k$（$k$为自然数），整理得$m=26k - 44$。
已知$1≤ m≤26$，当$k=2$时，$m=2×26 - 44=8$，符合取值要求。
(2) 明文S对应的$x=12$，明文X对应的$x=21$，代入$m=8$计算：
① 对$x=12$：$3x+8=3×12 +8=44$，44除以26的余数为$44-26×1=18$，因此$x'=18+1=19$，对应密文字母为L；
② 对$x=21$：$3x+8=3×21 +8=71$，71除以26的余数为$71-26×2=19$，因此$x'=19+1=20$，对应密文字母为Z；
因此明文SX译为密文LZ。
(3) 密文M对应$x'=26$，L对应$x'=19$，X对应$x'=21$，Z对应$x'=20$，因此$3x+8$被26除所得余数分别为25、18、20、19：
① 余数为25时：$3x+8=26k+25$，解得$x=\frac{26k+17}{3}$，结合$1≤ x≤26$，$k=2$时$x=23$，对应字母V；
② 余数为18时：$3x+8=26k+18$，解得$x=\frac{26k+10}{3}$，结合$1≤ x≤26$，$k=1$时$x=12$，对应字母S；
③ 余数为20时：$3x+8=26k+20$，解得$x=\frac{26k+12}{3}$，结合$1≤ x≤26$，$k=0$时$x=4$，对应字母R；
④ 余数为19时：$3x+8=26k+19$，解得$x=\frac{26k+11}{3}$，结合$1≤ x≤26$，$k=2$时$x=21$，对应字母X；
因此密文MLXZ译为明文VSRX。
【答案】
(1) $m=8$
(2) 密文为LZ
(3) 明文为VSRX
【知识点】
代数式求值，有余数除法的应用，方程的整数解
【点评】
本题以密码加密为背景，趣味性较强，既考查了学生的阅读理解能力，也考查了代数式运算、有余数除法的应用，需要学生准确理解规则，结合取值范围逐步推导计算，能很好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
解决本题首先要明确密码表中字母和数字的对应关系，理解变换规则：$x'$是$3x+m$除以26得到的余数加1。解题步骤如下：①第一问：先找到明文H对应的$x$值、密文T对应的$x'$值，代入变换规则得到关于$m$和余数的关系，结合$1≤ m≤26$的范围即可求出$m$；②第二问：先找到明文S、X对应的$x$值，代入第一问求出的$m$，按照变换规则计算$x'$，再对应找到密文字母即可；③第三问：先找到密文M、L、X、Z对应的$x'$值，反推$3x+m$除以26的余数，列出含整数$k$的$x$的表达式，结合$1≤ x≤26$的范围确定合适的$k$值，求出$x$后对应找到明文字母即可。
【解析】
(1) 根据密码表，明文H对应的自然数$x=16$，密文T对应的自然数$x'=5$。
由变换规则可知，$3x+m$被26除所得余数为$5-1=4$，设$\frac{3×16 + m - 4}{26}=k$（$k$为自然数），整理得$m=26k - 44$。
已知$1≤ m≤26$，当$k=2$时，$m=2×26 - 44=8$，符合取值要求。
(2) 明文S对应的$x=12$，明文X对应的$x=21$，代入$m=8$计算：
① 对$x=12$：$3x+8=3×12 +8=44$，44除以26的余数为$44-26×1=18$，因此$x'=18+1=19$，对应密文字母为L；
② 对$x=21$：$3x+8=3×21 +8=71$，71除以26的余数为$71-26×2=19$，因此$x'=19+1=20$，对应密文字母为Z；
因此明文SX译为密文LZ。
(3) 密文M对应$x'=26$，L对应$x'=19$，X对应$x'=21$，Z对应$x'=20$，因此$3x+8$被26除所得余数分别为25、18、20、19：
① 余数为25时：$3x+8=26k+25$，解得$x=\frac{26k+17}{3}$，结合$1≤ x≤26$，$k=2$时$x=23$，对应字母V；
② 余数为18时：$3x+8=26k+18$，解得$x=\frac{26k+10}{3}$，结合$1≤ x≤26$，$k=1$时$x=12$，对应字母S；
③ 余数为20时：$3x+8=26k+20$，解得$x=\frac{26k+12}{3}$，结合$1≤ x≤26$，$k=0$时$x=4$，对应字母R；
④ 余数为19时：$3x+8=26k+19$，解得$x=\frac{26k+11}{3}$，结合$1≤ x≤26$，$k=2$时$x=21$，对应字母X；
因此密文MLXZ译为明文VSRX。
【答案】
(1) $m=8$
(2) 密文为LZ
(3) 明文为VSRX
【知识点】
代数式求值，有余数除法的应用，方程的整数解
【点评】
本题以密码加密为背景，趣味性较强，既考查了学生的阅读理解能力，也考查了代数式运算、有余数除法的应用，需要学生准确理解规则，结合取值范围逐步推导计算，能很好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
