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1. 下列计算正确的是 （）
A.$\sqrt{4}=\pm2$
B.$\sqrt[3]{-64}=-4$
C.$\sqrt{(-4)^2}=-4$
D.$\sqrt[3]{16}=4$
A.$\sqrt{4}=\pm2$
B.$\sqrt[3]{-64}=-4$
C.$\sqrt{(-4)^2}=-4$
D.$\sqrt[3]{16}=4$
答案
B
解析
逐个分析选项：
1. 选项A：$\sqrt{4}$是4的算术平方根，结果为2，不等于$\pm2$，计算错误；
2. 选项B：因为$(-4)^3=-64$，所以$\sqrt[3]{-64}=-4$，计算正确；
3. 选项C：$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$，不等于$-4$，计算错误；
4. 选项D：$4^3=64≠16$，所以$\sqrt[3]{16}≠4$，计算错误。
1. 选项A：$\sqrt{4}$是4的算术平方根，结果为2，不等于$\pm2$，计算错误；
2. 选项B：因为$(-4)^3=-64$，所以$\sqrt[3]{-64}=-4$，计算正确；
3. 选项C：$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$，不等于$-4$，计算错误；
4. 选项D：$4^3=64≠16$，所以$\sqrt[3]{16}≠4$，计算错误。
2. 下列各式中，一定是二次根式的是 （）
A.$\sqrt{-3}$
B.$\sqrt[3]{2a}$
C.$\sqrt{a^2 + 2}$
D.$\sqrt{a^2 - 9}$
A.$\sqrt{-3}$
B.$\sqrt[3]{2a}$
C.$\sqrt{a^2 + 2}$
D.$\sqrt{a^2 - 9}$
答案
C
解析
根据二次根式的定义：形如$\sqrt{x}$（$x≥0$，根指数为2）的式子叫做二次根式，逐一分析选项：
1. 选项A：$\sqrt{-3}$的被开方数$-3＜0$，式子无意义，不是二次根式；
2. 选项B：$\sqrt[3]{2a}$的根指数是3，属于三次根式，不是二次根式；
3. 选项C：$\sqrt{a^2+2}$的根指数为2，且$a^2≥0$，因此$a^2+2≥2＞0$，被开方数恒为正，一定是二次根式；
4. 选项D：$\sqrt{a^2-9}$，当$a^2＜9$时，被开方数为负数，式子无意义，不一定是二次根式。
综上，答案为C。
1. 选项A：$\sqrt{-3}$的被开方数$-3＜0$，式子无意义，不是二次根式；
2. 选项B：$\sqrt[3]{2a}$的根指数是3，属于三次根式，不是二次根式；
3. 选项C：$\sqrt{a^2+2}$的根指数为2，且$a^2≥0$，因此$a^2+2≥2＞0$，被开方数恒为正，一定是二次根式；
4. 选项D：$\sqrt{a^2-9}$，当$a^2＜9$时，被开方数为负数，式子无意义，不一定是二次根式。
综上，答案为C。
3. 使$\sqrt{x-2}$有意义的$x$的取值范围在数轴上表示为（）
答案
A
解析
解：
要使$\sqrt{x-2}$有意义，被开方数需满足非负，即
$x-2≥0$
解得 $x≥2$。
在数轴上表示$x≥2$时，在数2的位置取实心圆点，方向向右延伸，对应选项A。
要使$\sqrt{x-2}$有意义，被开方数需满足非负，即
$x-2≥0$
解得 $x≥2$。
在数轴上表示$x≥2$时，在数2的位置取实心圆点，方向向右延伸，对应选项A。
4.若$\sqrt{m^2}=-m$，则实数$m$在数轴上的对应点一定在（）
A.原点左侧
B.原点右侧
C.原点或原点左侧
D.原点或原点右侧
A.原点左侧
B.原点右侧
C.原点或原点左侧
D.原点或原点右侧
答案
C
解析
根据二次根式的性质，可得$\sqrt{m^2}=|m|$，由题设$\sqrt{m^2}=-m$，即$|m|=-m$。根据绝对值的性质，可知满足$|m|=-m$的实数$m$满足$m≤0$，即$m$为非正数，对应数轴上的点一定在原点或原点左侧。
5. 化简$(1-a)\sqrt{\dfrac{1}{a-1}}$的结果是 （）
A.$\sqrt{1-a}$
B.$-\sqrt{a-1}$
C.$-\sqrt{1-a}$
D.$\sqrt{a-1}$
A.$\sqrt{1-a}$
B.$-\sqrt{a-1}$
C.$-\sqrt{1-a}$
D.$\sqrt{a-1}$
答案
B
解析
由二次根式有意义的条件得：$\dfrac{1}{a-1}＞0$，因此$a-1＞0$，即$1-a＜0$。
对原式变形化简：
$\begin{aligned}(1-a)\sqrt{\dfrac{1}{a-1}}&=-(a-1)·\sqrt{\dfrac{1}{a-1}}\\&=-\sqrt{(a-1)^2·\dfrac{1}{a-1}}\\&=-\sqrt{a-1}\end{aligned}$
对原式变形化简：
$\begin{aligned}(1-a)\sqrt{\dfrac{1}{a-1}}&=-(a-1)·\sqrt{\dfrac{1}{a-1}}\\&=-\sqrt{(a-1)^2·\dfrac{1}{a-1}}\\&=-\sqrt{a-1}\end{aligned}$
6. 在实数$-3,\sqrt{7},5,\sqrt[3]{27},-π,(\sqrt{2})^2$中，无理数的个数是。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
解：
先化简可计算的数：
$\sqrt[3]{27}=3$，$(\sqrt{2})^2=2$。
根据无理数的定义，在所给实数中，$-3、5、\sqrt[3]{27}、(\sqrt{2})^2$都是整数，属于有理数；无理数为$\sqrt{7}$和$-π$，共2个。
先化简可计算的数：
$\sqrt[3]{27}=3$，$(\sqrt{2})^2=2$。
根据无理数的定义，在所给实数中，$-3、5、\sqrt[3]{27}、(\sqrt{2})^2$都是整数，属于有理数；无理数为$\sqrt{7}$和$-π$，共2个。
7. 已知$n$是正整数，$\sqrt{51+n}$是整数，则$n$的最小值为。
答案
解：
设$\sqrt{51+n}=k$，其中$k$为正整数，
则$51+n=k^2$，变形得$n=k^2-51$。
因为$n$是正整数，所以$n＞0$，即$k^2＞51$。
大于51的最小完全平方数为$8^2=64$，
代入得$n=64-51=13$。
故$n$的最小值为$\boldsymbol{13}$。
设$\sqrt{51+n}=k$，其中$k$为正整数，
则$51+n=k^2$，变形得$n=k^2-51$。
因为$n$是正整数，所以$n＞0$，即$k^2＞51$。
大于51的最小完全平方数为$8^2=64$，
代入得$n=64-51=13$。
故$n$的最小值为$\boldsymbol{13}$。
8.已知$ x,y $为等腰三角形的两条边长，且$ x,y $满足$ y=\sqrt{2-x}+\sqrt{3x-6}+3 $，则此三角形的周长为________。
答案
解：
由二次根式有意义的条件可得：
$\begin{cases}2-x≥0 \\3x-6≥0 \end{cases}$
解得$x=2$。
将$x=2$代入$y=\sqrt{2-x}+\sqrt{3x-6}+3$，得$y=3$。
分两种情况讨论：
① 当腰长为2，底边长为3时，三边长为2、2、3，满足三角形三边关系，此时周长为$2+2+3=7$；
② 当腰长为3，底边长为2时，三边长为3、3、2，满足三角形三边关系，此时周长为$3+3+2=8$。
故此三角形的周长为$\boldsymbol{7}$或$\boldsymbol{8}$。
由二次根式有意义的条件可得：
$\begin{cases}2-x≥0 \\3x-6≥0 \end{cases}$
解得$x=2$。
将$x=2$代入$y=\sqrt{2-x}+\sqrt{3x-6}+3$，得$y=3$。
分两种情况讨论：
① 当腰长为2，底边长为3时，三边长为2、2、3，满足三角形三边关系，此时周长为$2+2+3=7$；
② 当腰长为3，底边长为2时，三边长为3、3、2，满足三角形三边关系，此时周长为$3+3+2=8$。
故此三角形的周长为$\boldsymbol{7}$或$\boldsymbol{8}$。
9. 已知实数$a,b,c$对应的点在数轴上的位置如图所示，化简：$|a-b|+\sqrt{a^2}-\sqrt{(b-c)^2}$.
答案
解：由数轴可知，$b ＜ a ＜ 0 ＜ c$，
$\therefore a-b＞0$，$a＜0$，$b-c＜0$，
$\therefore |a-b|=a-b$，$\sqrt{a^2}=|a|=-a$，$\sqrt{(b-c)^2}=|b-c|=c-b$，
$\therefore$ 原式$=(a-b) + (-a) - (c-b)$
$=a - b - a - c + b$
$=-c$
$\therefore a-b＞0$，$a＜0$，$b-c＜0$，
$\therefore |a-b|=a-b$，$\sqrt{a^2}=|a|=-a$，$\sqrt{(b-c)^2}=|b-c|=c-b$，
$\therefore$ 原式$=(a-b) + (-a) - (c-b)$
$=a - b - a - c + b$
$=-c$
