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7 若过一点画已知直线的平行线，则该平行线 （
A.有且只有一条
B.有两条
C.不存在
D.不存在或只有一条
D
）A.有且只有一条
B.有两条
C.不存在
D.不存在或只有一条
答案
7. D
解析
【分析】
解这道题首先要明确两个核心要点：一是点和已知直线的位置关系有两种，分别是点在直线上、点在直线外；二是要准确掌握平行公理的适用条件。我们可以分两种情况推导结论：如果点在已知直线上，过该点的直线都会和已知直线相交于这个点，不存在平行线；如果点在已知直线外，根据平行公理，有且只有一条直线与已知直线平行。综合两种情况即可得到答案。
【解析】
我们分两种情况讨论点的位置：
1. 若该点在已知直线上：过该点的任意直线都与已知直线有公共点（即该点本身），不满足平行线“同一平面内不相交”的定义，因此此时不存在与已知直线平行的直线；
2. 若该点在已知直线外：根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，因此此时符合要求的平行线只有1条。
综上，过一点画已知直线的平行线，结果是不存在或只有一条，故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行公理；点与直线的位置关系
【点评】
本题易错点是忽略点在已知直线上的情况，直接套用平行公理错选A，解题时要注意分类讨论点的不同位置，全面考虑问题，准确理解公理的适用前提。
【难度系数】
0.6
解这道题首先要明确两个核心要点：一是点和已知直线的位置关系有两种，分别是点在直线上、点在直线外；二是要准确掌握平行公理的适用条件。我们可以分两种情况推导结论：如果点在已知直线上，过该点的直线都会和已知直线相交于这个点，不存在平行线；如果点在已知直线外，根据平行公理，有且只有一条直线与已知直线平行。综合两种情况即可得到答案。
【解析】
我们分两种情况讨论点的位置：
1. 若该点在已知直线上：过该点的任意直线都与已知直线有公共点（即该点本身），不满足平行线“同一平面内不相交”的定义，因此此时不存在与已知直线平行的直线；
2. 若该点在已知直线外：根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，因此此时符合要求的平行线只有1条。
综上，过一点画已知直线的平行线，结果是不存在或只有一条，故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行公理；点与直线的位置关系
【点评】
本题易错点是忽略点在已知直线上的情况，直接套用平行公理错选A，解题时要注意分类讨论点的不同位置，全面考虑问题，准确理解公理的适用前提。
【难度系数】
0.6
8 若平面内两条直线 $ l_1, l_2 $ 被第三条直线 $ l_3 $ 所截，则这三条直线把平面分成(
A.5部分或6部分
B.6部分
C.6部分或7部分
D.8部分
C
)A.5部分或6部分
B.6部分
C.6部分或7部分
D.8部分
答案
8. C
解析
【分析】
解题时首先要明确同一平面内两条直线的位置关系只有平行和相交两种，再结合“两条直线被第三条直线所截”的定义（即第三条直线与这两条直线分别交于不同的两点），分情况讨论三条直线分割平面的数量即可得到答案。
【解析】
我们分两种情况讨论：
1. 当直线$ l_1 // l_2 $时：
两条平行直线先将平面分成3个部分，截线$ l_3 $与$ l_1 $、$ l_2 $分别交于不同的两点，$ l_3 $被两个交点分成3段，每一段都会将所在的平面区域一分为二，因此新增3个区域，总共有$ 3+3=6 $个部分。
2. 当直线$ l_1 $与$ l_2 $相交时：
两条相交直线先将平面分成4个部分，截线$ l_3 $与$ l_1 $、$ l_2 $分别交于不同的两点（且不过$ l_1 $、$ l_2 $的交点），$ l_3 $被两个交点分成3段，每一段新增1个区域，总共有$ 4+3=7 $个部分。
综上，三条直线把平面分成6部分或7部分，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平面内两直线的位置关系；直线分割平面；截线的定义
【点评】
本题考查分类讨论思想在几何问题中的应用，解题时需要全面考虑两条直线的所有位置关系，结合截线的定义分析不同情况的平面分割数量，易错点是遗漏其中一种位置关系导致错选。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确同一平面内两条直线的位置关系只有平行和相交两种，再结合“两条直线被第三条直线所截”的定义（即第三条直线与这两条直线分别交于不同的两点），分情况讨论三条直线分割平面的数量即可得到答案。
【解析】
我们分两种情况讨论：
1. 当直线$ l_1 // l_2 $时：
两条平行直线先将平面分成3个部分，截线$ l_3 $与$ l_1 $、$ l_2 $分别交于不同的两点，$ l_3 $被两个交点分成3段，每一段都会将所在的平面区域一分为二，因此新增3个区域，总共有$ 3+3=6 $个部分。
2. 当直线$ l_1 $与$ l_2 $相交时：
两条相交直线先将平面分成4个部分，截线$ l_3 $与$ l_1 $、$ l_2 $分别交于不同的两点（且不过$ l_1 $、$ l_2 $的交点），$ l_3 $被两个交点分成3段，每一段新增1个区域，总共有$ 4+3=7 $个部分。
综上，三条直线把平面分成6部分或7部分，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平面内两直线的位置关系；直线分割平面；截线的定义
【点评】
本题考查分类讨论思想在几何问题中的应用，解题时需要全面考虑两条直线的所有位置关系，结合截线的定义分析不同情况的平面分割数量，易错点是遗漏其中一种位置关系导致错选。
【难度系数】
0.7
9 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1 dm，A，B，C，D，E，F是方格纸中的格点，则以线段AB，CD，EF的长为边长的三角形的面积为
（第9题）
$4\ \mathrm{dm}^2$
。（第9题）答案
9. $4\ \mathrm{dm}^2$
解析
【分析】
解题思路分为三步：①计算三条线段的长度：每条格点线段都可以作为直角三角形的斜边，横向和纵向的格数差为直角边，用勾股定理即可算出每条线段的长度；②验证三条线段可构成三角形；③求三角形面积：将三条边对应的三角形放在方格中构造出来，用割补法，用包含该三角形的矩形面积减去周围多余直角三角形的面积，即可得到所求面积。
【解析】
设方格纸中每个小正方形的边长为1 dm。
1. 计算各线段长度：
线段CD：横向跨越2格，纵向跨越1格，由勾股定理得：$CD=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\ \mathrm{dm}$；
线段EF：横向跨越3格，纵向跨越2格，由勾股定理得：$EF=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\ \mathrm{dm}$；
线段AB：横向跨越4格，纵向跨越2格，由勾股定理得：$AB=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}\ \mathrm{dm}$。
2. 构造以$\sqrt{5}\ \mathrm{dm}$、$2\sqrt{5}\ \mathrm{dm}$、$\sqrt{13}\ \mathrm{dm}$为边长的三角形，将其置于长为4 dm、宽为3 dm的矩形中：
矩形面积为：$4×3=12\ \mathrm{dm}^2$；
矩形内三个多余的直角三角形面积分别为：
$\frac{1}{2}×2×1=1\ \mathrm{dm}^2$，$\frac{1}{2}×4×2=4\ \mathrm{dm}^2$，$\frac{1}{2}×3×2=3\ \mathrm{dm}^2$；
所求三角形面积为：$12-1-4-3=4\ \mathrm{dm}^2$。
【答案】
$4\ \mathrm{dm}^2$
【知识点】
勾股定理，格点图形计算，割补法求面积
【点评】
本题结合格点图形考查了线段长度计算和三角形面积求解，需要准确利用格点特征算出各线段长度，再灵活运用割补法简化面积计算，对学生的观察能力和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题思路分为三步：①计算三条线段的长度：每条格点线段都可以作为直角三角形的斜边，横向和纵向的格数差为直角边，用勾股定理即可算出每条线段的长度；②验证三条线段可构成三角形；③求三角形面积：将三条边对应的三角形放在方格中构造出来，用割补法，用包含该三角形的矩形面积减去周围多余直角三角形的面积，即可得到所求面积。
【解析】
设方格纸中每个小正方形的边长为1 dm。
1. 计算各线段长度：
线段CD：横向跨越2格，纵向跨越1格，由勾股定理得：$CD=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\ \mathrm{dm}$；
线段EF：横向跨越3格，纵向跨越2格，由勾股定理得：$EF=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\ \mathrm{dm}$；
线段AB：横向跨越4格，纵向跨越2格，由勾股定理得：$AB=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}\ \mathrm{dm}$。
2. 构造以$\sqrt{5}\ \mathrm{dm}$、$2\sqrt{5}\ \mathrm{dm}$、$\sqrt{13}\ \mathrm{dm}$为边长的三角形，将其置于长为4 dm、宽为3 dm的矩形中：
矩形面积为：$4×3=12\ \mathrm{dm}^2$；
矩形内三个多余的直角三角形面积分别为：
$\frac{1}{2}×2×1=1\ \mathrm{dm}^2$，$\frac{1}{2}×4×2=4\ \mathrm{dm}^2$，$\frac{1}{2}×3×2=3\ \mathrm{dm}^2$；
所求三角形面积为：$12-1-4-3=4\ \mathrm{dm}^2$。
【答案】
$4\ \mathrm{dm}^2$
【知识点】
勾股定理，格点图形计算，割补法求面积
【点评】
本题结合格点图形考查了线段长度计算和三角形面积求解，需要准确利用格点特征算出各线段长度，再灵活运用割补法简化面积计算，对学生的观察能力和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
10 新考向 探究题（1）在同一平面内有三条直线a，b，c，试画图分析这三条直线交点的个数.
（2）请你画图说明同一平面内的五条直线最多有几个交点.
（3）同一平面内的五条直线能有4个交点吗？如果能，请你画出符合条件的图形（只画出一种即可）；如果不能，请说明理由.
（2）请你画图说明同一平面内的五条直线最多有几个交点.
（3）同一平面内的五条直线能有4个交点吗？如果能，请你画出符合条件的图形（只画出一种即可）；如果不能，请说明理由.
答案
10. (1) 在同一平面内有三条直线 a,b,c,它们的交点个数有以下4种情况:① 如图①,当直线$a// b// c$时,这三条直线的交点是0个;② 如图②,当直线a,b,c 经过同一点时,它们的交点是1个;③ 如图③,当直线$a// b$,直线 c 与直线 a,b 相交时,它们的交点是2个;④ 如图④,当直线a,b,c 两两相交,但不经过同一点时,它们有 3 个交点.综上所述,在同一平面内,三条直线的交点个数是0或1或2或3
(2) 如图⑤,同一平面内的五条直线最多有 10 个交点
(3) 能 如图⑥所示(画法不唯一)
解析
【分析】
（1）探究三条直线的交点个数需按位置关系分类讨论，做到不重不漏：依次考虑三条直线全平行、三条直线共点、两条平行第三条与它们相交、两两相交且不共点四类情况，分别计算交点数即可。
（2）要得到最多交点，需保证任意两条直线相交，且任意三条直线不共点，每新增一条直线，就和之前的所有直线各产生1个新交点，累加即可得到总交点数。
（3）判断是否存在4个交点的情况，可通过构造部分直线平行、部分直线共点的特殊位置关系，减少总交点数，只要能画出符合要求的图形即可证明存在。
【解析】
（1）对同一平面内三条直线的位置关系分情况讨论：
① 若直线$a// b// c$，三条直线互相平行，没有交点，交点个数为0；
② 若三条直线a、b、c经过同一个公共点，仅存在1个交点；
③ 若其中两条直线平行（如$a// b$），第三条直线c和a、b都相交，c与a、b各有1个交点，共2个交点；
④ 若三条直线两两相交，且没有公共的交点，每两条直线各对应1个交点，共3个交点。
综上，三条直线交点个数可能为0、1、2、3。
（2）要让五条直线交点最多，需满足任意两条直线相交，且任意三条直线不共点：第1条直线和其余4条相交得4个交点，第2条直线和除第1条外的3条相交新增3个交点，第3条和剩余2条相交新增2个交点，第4条和最后1条相交新增1个交点，总交点数为$4+3+2+1=10$个。
（3）能得到4个交点，可通过以下方式构造：例如先画两条互相平行的直线，再画另外两条互相平行的直线与前两条相交得到4个交点，最后让第五条直线经过其中两个交点即可，画法不唯一。
【答案】
10. (1) 在同一平面内有三条直线 a,b,c,它们的交点个数有以下4种情况:① 如图①,当直线$a// b// c$时,这三条直线的交点是0个;② 如图②,当直线a,b,c 经过同一点时,它们的交点是1个;③ 如图③,当直线$a// b$,直线 c 与直线 a,b 相交时,它们的交点是2个;④ 如图④,当直线a,b,c 两两相交,但不经过同一点时,它们有 3 个交点.综上所述,在同一平面内,三条直线的交点个数是0或1或2或3
(2) 如图⑤,同一平面内的五条直线最多有 10 个交点
(3) 能 如图⑥所示(画法不唯一)
【知识点】
平面内直线的位置关系，相交线的交点，平行线的定义
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解决交点类问题时要充分考虑平行、多线共点等特殊情形，探究最多交点的规律时可通过逐步累加的方法推导，同时也考查了动手作图的能力。
【难度系数】
0.7
（1）探究三条直线的交点个数需按位置关系分类讨论，做到不重不漏：依次考虑三条直线全平行、三条直线共点、两条平行第三条与它们相交、两两相交且不共点四类情况，分别计算交点数即可。
（2）要得到最多交点，需保证任意两条直线相交，且任意三条直线不共点，每新增一条直线，就和之前的所有直线各产生1个新交点，累加即可得到总交点数。
（3）判断是否存在4个交点的情况，可通过构造部分直线平行、部分直线共点的特殊位置关系，减少总交点数，只要能画出符合要求的图形即可证明存在。
【解析】
（1）对同一平面内三条直线的位置关系分情况讨论：
① 若直线$a// b// c$，三条直线互相平行，没有交点，交点个数为0；
② 若三条直线a、b、c经过同一个公共点，仅存在1个交点；
③ 若其中两条直线平行（如$a// b$），第三条直线c和a、b都相交，c与a、b各有1个交点，共2个交点；
④ 若三条直线两两相交，且没有公共的交点，每两条直线各对应1个交点，共3个交点。
综上，三条直线交点个数可能为0、1、2、3。
（2）要让五条直线交点最多，需满足任意两条直线相交，且任意三条直线不共点：第1条直线和其余4条相交得4个交点，第2条直线和除第1条外的3条相交新增3个交点，第3条和剩余2条相交新增2个交点，第4条和最后1条相交新增1个交点，总交点数为$4+3+2+1=10$个。
（3）能得到4个交点，可通过以下方式构造：例如先画两条互相平行的直线，再画另外两条互相平行的直线与前两条相交得到4个交点，最后让第五条直线经过其中两个交点即可，画法不唯一。
【答案】
10. (1) 在同一平面内有三条直线 a,b,c,它们的交点个数有以下4种情况:① 如图①,当直线$a// b// c$时,这三条直线的交点是0个;② 如图②,当直线a,b,c 经过同一点时,它们的交点是1个;③ 如图③,当直线$a// b$,直线 c 与直线 a,b 相交时,它们的交点是2个;④ 如图④,当直线a,b,c 两两相交,但不经过同一点时,它们有 3 个交点.综上所述,在同一平面内,三条直线的交点个数是0或1或2或3
(2) 如图⑤,同一平面内的五条直线最多有 10 个交点
(3) 能 如图⑥所示(画法不唯一)
【知识点】
平面内直线的位置关系，相交线的交点，平行线的定义
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解决交点类问题时要充分考虑平行、多线共点等特殊情形，探究最多交点的规律时可通过逐步累加的方法推导，同时也考查了动手作图的能力。
【难度系数】
0.7
11（1）按要求画图：如图，在三角形OMN的边MN上从点M开始顺次取三等分点P，Q，分别过点P，Q画OM的平行线，交ON于点S，T；
（2）在（1）的条件下，通过度量OS，ST，TN的长度，你有什么发现？
（第11题）
（2）在（1）的条件下，通过度量OS，ST，TN的长度，你有什么发现？
（第11题）答案
11. (1) 如图所示
(2) 经度量,发现$OS=ST=TN$
解析
【分析】
对于（1），首先明确三等分点的含义：将线段MN平均分为三段，从点M出发顺次的两个分点就是P、Q；接着使用七年级学的平移法画平行线，遵循“一落、二靠、三移、四画”的步骤，分别过P、Q作与OM平行的直线，与ON的交点即为S、T。对于（2），使用刻度尺分别测量OS、ST、TN的长度，比较三者的长度即可得到规律。
【解析】
（1）画图步骤：
① 用刻度尺测量线段MN的长度，计算出其三分之一的长度，从点M开始向点N方向依次量取等于该长度的线段，得到三等分点P、Q；
② 采用平移法画平行线：将三角板的一条直角边与OM重合，另一条直角边紧贴直尺，沿直尺平移三角板，当与OM重合的直角边经过点P时，沿该直角边画直线，交ON于点S；用同样的方法过点Q作OM的平行线，交ON于点T，完成作图。
（2）使用刻度尺分别度量线段OS、ST、TN的长度，对比测量结果可以发现三条线段的长度相等。
【答案】
(1) 如图所示
(2) 经度量,发现$OS=ST=TN$
【知识点】
平行线的画法、线段等分、长度测量
【点评】
本题侧重考查动手操作能力，通过画图、度量的实践过程，能直观感知平行线分割线段的相关规律，为后续几何知识的学习积累操作经验。
【难度系数】
0.85
对于（1），首先明确三等分点的含义：将线段MN平均分为三段，从点M出发顺次的两个分点就是P、Q；接着使用七年级学的平移法画平行线，遵循“一落、二靠、三移、四画”的步骤，分别过P、Q作与OM平行的直线，与ON的交点即为S、T。对于（2），使用刻度尺分别测量OS、ST、TN的长度，比较三者的长度即可得到规律。
【解析】
（1）画图步骤：
① 用刻度尺测量线段MN的长度，计算出其三分之一的长度，从点M开始向点N方向依次量取等于该长度的线段，得到三等分点P、Q；
② 采用平移法画平行线：将三角板的一条直角边与OM重合，另一条直角边紧贴直尺，沿直尺平移三角板，当与OM重合的直角边经过点P时，沿该直角边画直线，交ON于点S；用同样的方法过点Q作OM的平行线，交ON于点T，完成作图。
（2）使用刻度尺分别度量线段OS、ST、TN的长度，对比测量结果可以发现三条线段的长度相等。
【答案】
(1) 如图所示
(2) 经度量,发现$OS=ST=TN$
【知识点】
平行线的画法、线段等分、长度测量
【点评】
本题侧重考查动手操作能力，通过画图、度量的实践过程，能直观感知平行线分割线段的相关规律，为后续几何知识的学习积累操作经验。
【难度系数】
0.85
