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20.(10分)在如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1 cm/s的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2 cm/s的速度向点C移动.则几秒后△PBQ的面积为35 cm²？此时P，Q两点间的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）
答案
解:设$x$ s 后$△ PBQ$的面积为$35\ \mathrm{cm}^2$.
则有$PB=x\ \mathrm{cm}$,$BQ=2x\ \mathrm{cm}$.
依题意,得$\dfrac{1}{2}x· 2x=35$.
$x^2=35$,解得$x=\sqrt{35}$.
$\therefore \sqrt{35}$ s后$△ PBQ$的面积为$35\ \mathrm{cm}^2$.
$PQ=\sqrt{PB^2+BQ^2}=\sqrt{x^2+4x^2}=\sqrt{5x^2}=\sqrt{5×35}=5\sqrt{7}\ (\mathrm{cm})$.
$\therefore \sqrt{35}$ s后$△ PBQ$的面积为$35\ \mathrm{cm}^2$,此时$P$,$Q$两点间的距离为$5\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$.
则有$PB=x\ \mathrm{cm}$,$BQ=2x\ \mathrm{cm}$.
依题意,得$\dfrac{1}{2}x· 2x=35$.
$x^2=35$,解得$x=\sqrt{35}$.
$\therefore \sqrt{35}$ s后$△ PBQ$的面积为$35\ \mathrm{cm}^2$.
$PQ=\sqrt{PB^2+BQ^2}=\sqrt{x^2+4x^2}=\sqrt{5x^2}=\sqrt{5×35}=5\sqrt{7}\ (\mathrm{cm})$.
$\therefore \sqrt{35}$ s后$△ PBQ$的面积为$35\ \mathrm{cm}^2$,此时$P$,$Q$两点间的距离为$5\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
这是动点结合几何计算的应用题，解题思路如下：第一步先设运动时间为x秒，根据点P、Q的运动速度，可分别用含x的代数式表示出直角三角形PBQ的两条直角边PB、BQ的长度；第二步结合直角三角形面积公式列关于x的方程，求解得到符合实际意义的x值（时间为正，舍去负根）；第三步要求PQ的长度，利用勾股定理，计算直角三角形PBQ的斜边长度即可，最后注意将二次根式化为最简形式。
【解析】
解：设x s后△PBQ的面积为35 cm²。
由点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为2 cm/s，可得：PB=x cm，BQ=2x cm。
∵∠B=90°，△PBQ是直角三角形，根据直角三角形面积公式列方程：
$\dfrac{1}{2} × PB × BQ = 35$，即$\dfrac{1}{2}x·2x=35$
化简得$x^2=35$，解得$x=\sqrt{35}$（时间为正，舍去负根）。
即$\sqrt{35}$ s后△PBQ的面积为35 cm²。
再根据勾股定理求PQ的长度：
$PQ=\sqrt{PB^2+BQ^2}=\sqrt{x^2+(2x)^2}=\sqrt{5x^2}$
将$x^2=35$代入得：$PQ=\sqrt{5×35}=\sqrt{175}=5\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\sqrt{35}$ s后△PBQ的面积为35 cm²，此时P、Q两点间的距离为$5\sqrt{7}$ cm。
【知识点】
一元二次方程的应用，勾股定理，直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础的动点几何应用题，解题核心是用含运动时间的代数式表示出相关线段长度，结合直角三角形的性质列方程求解，计算过程中要注意二次根式的化简规则，同时结合实际意义舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
这是动点结合几何计算的应用题，解题思路如下：第一步先设运动时间为x秒，根据点P、Q的运动速度，可分别用含x的代数式表示出直角三角形PBQ的两条直角边PB、BQ的长度；第二步结合直角三角形面积公式列关于x的方程，求解得到符合实际意义的x值（时间为正，舍去负根）；第三步要求PQ的长度，利用勾股定理，计算直角三角形PBQ的斜边长度即可，最后注意将二次根式化为最简形式。
【解析】
解：设x s后△PBQ的面积为35 cm²。
由点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为2 cm/s，可得：PB=x cm，BQ=2x cm。
∵∠B=90°，△PBQ是直角三角形，根据直角三角形面积公式列方程：
$\dfrac{1}{2} × PB × BQ = 35$，即$\dfrac{1}{2}x·2x=35$
化简得$x^2=35$，解得$x=\sqrt{35}$（时间为正，舍去负根）。
即$\sqrt{35}$ s后△PBQ的面积为35 cm²。
再根据勾股定理求PQ的长度：
$PQ=\sqrt{PB^2+BQ^2}=\sqrt{x^2+(2x)^2}=\sqrt{5x^2}$
将$x^2=35$代入得：$PQ=\sqrt{5×35}=\sqrt{175}=5\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\sqrt{35}$ s后△PBQ的面积为35 cm²，此时P、Q两点间的距离为$5\sqrt{7}$ cm。
【知识点】
一元二次方程的应用，勾股定理，直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础的动点几何应用题，解题核心是用含运动时间的代数式表示出相关线段长度，结合直角三角形的性质列方程求解，计算过程中要注意二次根式的化简规则，同时结合实际意义舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
21.(12分)某市开展了“寻找雷锋足迹”的活动，某中学为了解八年级800名学生在“学雷锋活动月”中做好事的情况，随机调查了八年级50名学生在一个月内做好事的次数，并将所得数据绘制成如下的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)所调查的50名学生在这个月内做好事的次数的平均数是
(2)根据样本数据，估计该校八年级800名学生在“学雷锋活动月”中做好事不少于4次的人数.
(1)所调查的50名学生在这个月内做好事的次数的平均数是
4.4
，众数是5
；(2)根据样本数据，估计该校八年级800名学生在“学雷锋活动月”中做好事不少于4次的人数.
答案
(1)4.4 5
(2)$\dfrac{13+16+10}{50}×800=624$(人).
(2)$\dfrac{13+16+10}{50}×800=624$(人).
解析
【分析】
解决第(1)问时，求平均数需要先计算50名学生做好事的总次数，按照“每次做好事的次数×对应人数”的方法求出总次数，再除以总调查人数50即可得到平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数值，观察统计图找到对应人数最多的做好事次数就是众数。解决第(2)问时，“做好事不少于4次”即做好事次数为4次、5次、6次，先算出样本中这三类人数的和占总调查人数的比例，再用八年级总人数800乘这个比例，就能估计出全校八年级符合要求的总人数。
【解析】
(1) 计算平均数：
50名学生做好事的总次数为：
$2×5 + 3×6 + 4×13 + 5×16 + 6×10 = 10 + 18 + 52 + 80 + 60 = 220$
平均数为：$220÷50 = 4.4$
观察统计图可得，做好事次数为5次的人数最多，共16人，因此众数是5。
(2) 样本中做好事不少于4次的人数为：$13+16+10=39$（人）
该类人数占样本的比例为$\frac{39}{50}$，因此估计该校八年级800名学生中做好事不少于4次的人数为：
$\frac{39}{50}×800 = 624$（人）
【答案】
(1) 4.4，5
(2) 624人
【知识点】
条形统计图，平均数与众数，样本估计总体
【点评】
本题结合实际生活场景考查统计知识的基础应用，解题核心是准确从条形统计图中提取有效数据，熟练掌握平均数、众数的计算规则，理解用样本特征估计总体特征的统计思想，解题难度较低。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问时，求平均数需要先计算50名学生做好事的总次数，按照“每次做好事的次数×对应人数”的方法求出总次数，再除以总调查人数50即可得到平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数值，观察统计图找到对应人数最多的做好事次数就是众数。解决第(2)问时，“做好事不少于4次”即做好事次数为4次、5次、6次，先算出样本中这三类人数的和占总调查人数的比例，再用八年级总人数800乘这个比例，就能估计出全校八年级符合要求的总人数。
【解析】
(1) 计算平均数：
50名学生做好事的总次数为：
$2×5 + 3×6 + 4×13 + 5×16 + 6×10 = 10 + 18 + 52 + 80 + 60 = 220$
平均数为：$220÷50 = 4.4$
观察统计图可得，做好事次数为5次的人数最多，共16人，因此众数是5。
(2) 样本中做好事不少于4次的人数为：$13+16+10=39$（人）
该类人数占样本的比例为$\frac{39}{50}$，因此估计该校八年级800名学生中做好事不少于4次的人数为：
$\frac{39}{50}×800 = 624$（人）
【答案】
(1) 4.4，5
(2) 624人
【知识点】
条形统计图，平均数与众数，样本估计总体
【点评】
本题结合实际生活场景考查统计知识的基础应用，解题核心是准确从条形统计图中提取有效数据，熟练掌握平均数、众数的计算规则，理解用样本特征估计总体特征的统计思想，解题难度较低。
【难度系数】
0.8
