12 如果关于x的方程$(m+3)x=6$有解，那么$m$的取值情况是 （）

A.$m＞-3$
B.$m=-3$
C.$m≠-3$
D.任意有理数

12.C

【分析】
本题考查含参数的一元一次方程有解的条件，解题思路如下：首先回忆形如$ax=b$的一元一次方程的解的判定规则：当$a≠0$时，方程有唯一解$x=\frac{b}{a}$；当$a=0$时，若$b≠0$则方程无解，若$b=0$则方程有无数个解。本题中方程右侧的常数为6（不为0），要使方程有解，必须保证$x$的系数不为0，据此列不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
要使关于$x$的方程$(m+3)x=6$有解，则$x$的系数不能为0，可得：
$m+3≠0$
解该不等式得：$m≠-3$
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 含参一元一次方程有解条件
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是明确一元一次方程有解时一次项系数不能为0，注意不要忽略系数为0时方程无解的特殊情况，掌握该判定规则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

13 已知方程$ax - 2 = x$的解是$x=2$，则关于$x$的方程$a(x - 2)=4a$的解为（）

A.$x=2$
B.$x=4$
C.$x=6$
D.$x=8$

13.C

【分析】
解题思路分为两步：第一步，根据方程解的定义，将已知的解x=2代入第一个方程，求出参数a的值；第二步，把求得的a值代入第二个关于x的方程，按照解一元一次方程的步骤求出x的解即可。
【解析】
第一步：求参数a的值
已知方程$ax - 2 = x$的解是$x=2$，将$x=2$代入该方程，得：
$2a - 2 = 2$
移项得：$2a = 2 + 2$
合并同类项得：$2a = 4$
系数化为1得：$a = 2$
第二步：求解第二个方程
将$a=2$代入方程$a(x - 2)=4a$，得：
$2(x - 2) = 4×2$
化简右边得：$2(x - 2) = 8$
两边同时除以2得：$x - 2 = 4$
移项得：$x = 4 + 2$
计算得：$x = 6$
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础常规题，核心是理解方程解的含义，先利用已知解求出未知参数，再代入求解目标方程，解题过程注意计算准确性即可。
【难度系数】
0.8

14 宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造。在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则“▦”位置上的数是（）

A.4
B.5
C.6
D.7

14.D

【分析】
解决三阶幻方问题的核心依据是“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”。我们可以先设中间数为$ x $，幻和（即每行三个数的和）为$ S $，先推导幻和与中间数的关系：3行的和相加是9个数的总和，即总和$ =3S $；中间行、中间列、两条对角线的和相加为$ 4S $，此时中间数被计算4次，其余数各计算1次，因此$ 4S=总和+3x $，代入总和$ =3S $就能得到$ S=3x $。再利用第二行的已知数列方程求出中间数和幻和，最后根据第三列的和等于幻和，计算出阴影位置的数即可。
【解析】
设幻方中间的数为$ x $，每行三个数的和（幻和）为$ S $。
1. 推导幻和与中间数的关系：
9个格子的数的总和等于3行的和相加，即$ 总和=3S $；
中间行、中间列、两条对角线的和相加为$ 4S $，该计算中中间数被加了4次，其余数各加1次，因此$ 4S = 总和 + 3x $。
将$ 总和=3S $代入上式，得$ 4S=3S+3x $，化简得$ S=3x $。
2. 求中间数和幻和：
第二行的三个数为1、$ x $、17，和为$ S $，因此$ 1+x+17=S $，即$ S=x+18 $。
联立$ S=3x $和$ S=x+18 $，得方程$ 3x=x+18 $，解得$ x=9 $，因此幻和$ S=3×9=27 $。
3. 计算阴影位置的数：
第三列的三个数为3、17、阴影数，它们的和等于幻和27，因此阴影数$ =27-3-17=7 $。
【答案】D
【知识点】
三阶幻方性质，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合幻方规律和一元一次方程求解，解题的关键是先理清幻和与中间数的关系，再逐步推导未知量，是数字规律类的典型题型。
【难度系数】
0.7

15 某公路一侧原有路灯106盏(公路两端均装有路灯),相邻两盏路灯之间的距离为36 m.为节约用电,现计划全部更换为新型节能灯,且相邻两盏路灯之间的距离变为54 m,则需更换新型节能灯盏.

15. 71 【解析】设需更换新型节能灯 x 盏,则 54(x-1)=36×(106-1),解得 x=71. 所以需更换新型节能灯 71 盏.

【分析】
解题的核心是抓住公路总长度不变这一隐含的等量关系。本题属于两端都安装路灯的植树问题，这类问题中，路灯盏数=间隔数+1，即间隔数=路灯盏数-1。我们可以先结合原有路灯的数量和相邻间距算出公路总长度，再设新型节能灯的盏数为未知数，根据更换路灯后总长度不变列方程求解即可。
【解析】
解：设需更换新型节能灯$ x $盏。
更换新型节能灯后，间隔数为$ (x-1) $个，公路总长度可表示为$ 54(x-1) \, \mathrm{m} $；
原有路灯106盏，间隔数为$ (106-1) $个，公路总长度也可表示为$ 36×(106-1) \, \mathrm{m} $。
根据公路总长度相等列方程：
$ 54(x-1) = 36×(106-1) $
计算得：$ 54(x-1) = 36×105 = 3780 $
两边同时除以54：$ x-1 = 70 $
解得：$ x = 71 $
【答案】
71
【知识点】
一元一次方程的应用；植树问题
【点评】
本题是和生活结合紧密的实际应用题，解题关键是找准总长度不变的等量关系，特别注意两端都安装路灯时，间隔数比路灯盏数少1，避免出现直接用总长度除以间距得到结果的错误。
【难度系数】
0.7

16 解方程：
(1) $3(x - 2) - 4(2x + 1) = 7$；
(2) $\dfrac{0.1x - 0.2}{0.02} - \dfrac{x + 1}{0.5} = 3$。

(1) $x=-\dfrac{17}{5}$ (2) $x=5$

【分析】
解一元一次方程的常规步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可根据方程形式灵活调整步骤。(1)是带括号的一元一次方程，先去括号，再按后续步骤求解即可，注意去括号时不要漏乘项、不要搞错符号；(2)的分母是小数，先利用分数的基本性质把分母化为整数，再按常规步骤求解，化整时注意分子分母要同乘相同的非零数，避免计算错误。
【解析】
(1) 解方程$3(x - 2) - 4(2x + 1) = 7$
第一步：去括号，根据去括号法则计算，得：
$3x - 6 - 8x - 4 = 7$
第二步：合并同类项，得：
$-5x - 10 = 7$
第三步：移项，将常数项移到等号右侧，得：
$-5x = 7 + 10$
计算右侧结果：$-5x = 17$
第四步：系数化为1，两边同时除以$-5$，得：
$x = -\dfrac{17}{5}$
(2) 解方程$\dfrac{0.1x - 0.2}{0.02} - \dfrac{x + 1}{0.5} = 3$
第一步：将小数分母化为整数，利用分数的基本性质，第一个分数分子分母同乘100，第二个分数分子分母同乘10，得：
$\dfrac{10x - 20}{2} - \dfrac{10x + 10}{5} = 3$
约分后简化为：$(5x - 10) - (2x + 2) = 3$
第二步：去括号，得：
$5x - 10 - 2x - 2 = 3$
第三步：合并同类项，得：
$3x - 12 = 3$
第四步：移项，得：
$3x = 3 + 12$
计算右侧结果：$3x = 15$
第五步：系数化为1，两边同时除以3，得：
$x = 5$
【答案】
(1) $x=-\dfrac{17}{5}$；(2) $x=5$
【知识点】
一元一次方程的解法，去括号法则，分数的基本性质
【点评】
这两道题是一元一次方程的经典基础题型，第一题侧重考察带括号方程的求解，易错点是去括号时漏乘项或符号出错；第二题侧重考察含小数分母方程的求解，先将小数分母化整是解题的关键，计算过程中要细心，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.7

17 如图,数轴上的点A,B,C分别表示有理数a,b,c,其中b是最大的负整数,且a, b,c满足$(a-4b)^2 + |c-11|=0$.
(1) $a=$,$b=$,$c=$.
(2) 若D为数轴上的一个动点,且$DC=3DB$,求点D在数轴上表示的数.
(3) 若点P,R,Q分别从点A,B,C同时出发在数轴上运动,点P以每秒4个单位长度的速度向左运动,点Q以每秒5个单位长度的速度向右运动,点R以每秒3个单位长度的速度朝某个方向运动.若$PQ + nRQ$的值不随运动时间t(单位:s)的变化而变化,请求出n的值.

(1) $-4$ $-1$ $11$ (2) 设点 D 表示的数为$d$. 当点 D 在线段 BC 上时,$DC=11-d$,$DB=d+1$. 因为 $DC=3DB$,所以 $11-d=3(d+1)$,解得 $d=2$. 当点 D 在线段 CB 的延长线上时,$DC=11-d$,$DB=-1-d$. 因为 $DC=3DB$,所以 $11-d=3(-1-d)$,解得 $d=-7$. 综上所述,点 D 表示的数是 2 或$-7$
(3) 由题意,得点 P 表示的数为$-4-4t$,点 Q 表示的数为$11+5t$. 所以 $PQ=11+5t-(-4-4t)=9t+15$. 当点 R 以每秒 3 个单位长度的速度向左运动时,点 R 表示的数为$-1-3t$. 所以 $RQ=11+5t-(-1-3t)=8t+12$. 所以 $PQ+nRQ=9t+15+n(8t+12)=(9+8n)t+15+12n$. 因为 $PQ+nRQ$ 的值不随运动时间 t 的变化而变化,所以 $9+8n=0$. 所以 $n=-\dfrac{9}{8}$. 当点 R 以每秒 3 个单位长度的速度向右运动时,点 R 表示的数为$-1+3t$. 所以 $RQ=11+5t-(-1+3t)=2t+12$. 所以 $PQ+nRQ=9t+15+n(2t+12)=(9+2n)t+15+12n$. 因为 $PQ+nRQ$ 的值不随运动时间 t 的变化而变化,所以 $9+2n=0$. 所以 $n=-\dfrac{9}{2}$. 所以 $n=-\dfrac{9}{8}$或$n=-\dfrac{9}{2}$

【分析】
第(1)问：先根据“b是最大的负整数”确定b的值，再利用平方和绝对值的非负性，即几个非负数的和为0时每个非负数都为0，列方程求出a和c的值。
第(2)问：设点D表示的数为d，由于未明确D的位置，分两种情况讨论：①D在线段BC上；②D在线段CB的延长线上，根据数轴上两点间距离的表示方法分别写出DC、DB的表达式，列方程求解即可。
第(3)问：先根据各点的运动方向和速度，表示出运动t秒后P、Q对应的数，再分R向左运动、向右运动两种情况表示出R对应的数，进而求出PQ和RQ的表达式，整理PQ+nRQ的式子，要让该值不随t变化，只需含t的项的系数为0，列方程求出n即可。
【解析】
(1) 因为b是最大的负整数，所以$b=-1$。
由于$(a-4b)^2≥0$，$|c-11|≥0$，且$(a-4b)^2 + |c-11|=0$，因此$\begin{cases}a-4b=0\\c-11=0\end{cases}$，将$b=-1$代入$a-4b=0$，得$a+4=0$，解得$a=-4$，$c=11$。
(2) 设点D在数轴上表示的数为$d$，分两种情况讨论：
①当点D在线段BC上时：$DC=11-d$，$DB=d-(-1)=d+1$，
由$DC=3DB$得$11-d=3(d+1)$，
解得$d=2$。
②当点D在线段CB的延长线上时：$DC=11-d$，$DB=-1-d$，
由$DC=3DB$得$11-d=3(-1-d)$，
解得$d=-7$。
综上，点D表示的数为2或$-7$。
(3) 运动t秒后，点P表示的数为$-4-4t$，点Q表示的数为$11+5t$，因此$PQ=11+5t-(-4-4t)=9t+15$。
分两种情况讨论R的运动方向：
①当R向左运动时，R表示的数为$-1-3t$，则$RQ=11+5t-(-1-3t)=8t+12$，
$PQ+nRQ=9t+15+n(8t+12)=(9+8n)t+15+12n$，
因该值不随t变化，故$9+8n=0$，解得$n=-\dfrac{9}{8}$。
②当R向右运动时，R表示的数为$-1+3t$，则$RQ=11+5t-(-1+3t)=2t+12$，
$PQ+nRQ=9t+15+n(2t+12)=(9+2n)t+15+12n$，
因该值不随t变化，故$9+2n=0$，解得$n=-\dfrac{9}{2}$。
综上，n的值为$-\dfrac{9}{8}$或$-\dfrac{9}{2}$。
【答案】
(1) $-4$；$-1$；$11$
(2) $2$或$-7$
(3) $-\dfrac{9}{8}$或$-\dfrac{9}{2}$
【知识点】
非负数的性质；数轴动点问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题是数轴与代数的综合题，核心考查分类讨论思想的运用，需要熟练掌握非负数的性质、数轴两点距离的表示方法，理解代数式值与变量无关时对应变量系数为0的结论，能够有效锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.5