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7 已知关于 x 的方程$\frac{3x - m}{6}=x+\frac{2m}{3}$的解与方程$\frac{y + 1}{2}=3y - 2$的解的和为-2，求 m 的值.
答案
解关于 x 的方程$\frac{3x - m}{6}=x+\frac{2m}{3}$,得 $x=-\dfrac{5}{3}m$.解方程$\dfrac{y+1}{2}=3y-2$,得 $y=1$. 由题意,得 $-\dfrac{5}{3}m + 1 = -2$,所以$m=\dfrac{9}{5}$
解析
【分析】
解题时首先观察两个方程，其中关于y的方程不含参数m，可以直接求解得到y的值；再求解关于x的含参一元一次方程，用含m的代数式表示x；最后根据“两个方程的解的和为-2”这一条件，列出关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
【解析】
第一步：求解关于y的方程$\frac{y + 1}{2}=3y - 2$
去分母，两边同时乘2得：$y + 1 = 6y - 4$
移项合并同类项得：$-5y = -5$
系数化为1得：$y = 1$
第二步：求解关于x的方程$\frac{3x - m}{6}=x+\frac{2m}{3}$
去分母，两边同时乘6得：$3x - m = 6x + 4m$
移项合并同类项得：$-3x = 5m$
系数化为1得：$x = -\frac{5}{3}m$
第三步：根据题意列方程求m
已知两个方程的解的和为-2，即$x + y = -2$，将$y=1$、$x=-\frac{5}{3}m$代入得：
$-\frac{5}{3}m + 1 = -2$
移项得：$-\frac{5}{3}m = -3$
系数化为1得：$m = \frac{9}{5}$
【答案】
$m=\dfrac{9}{5}$
【知识点】
一元一次方程的解法；方程的解的定义；含参方程求解
【点评】
本题属于基础综合题，核心是灵活运用一元一次方程的解法，解题时先求解不含参数的方程可简化计算，注意去分母时不要漏乘不含分母的项，移项时要注意变号。
【难度系数】
0.75
解题时首先观察两个方程，其中关于y的方程不含参数m，可以直接求解得到y的值；再求解关于x的含参一元一次方程，用含m的代数式表示x；最后根据“两个方程的解的和为-2”这一条件，列出关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
【解析】
第一步：求解关于y的方程$\frac{y + 1}{2}=3y - 2$
去分母，两边同时乘2得：$y + 1 = 6y - 4$
移项合并同类项得：$-5y = -5$
系数化为1得：$y = 1$
第二步：求解关于x的方程$\frac{3x - m}{6}=x+\frac{2m}{3}$
去分母，两边同时乘6得：$3x - m = 6x + 4m$
移项合并同类项得：$-3x = 5m$
系数化为1得：$x = -\frac{5}{3}m$
第三步：根据题意列方程求m
已知两个方程的解的和为-2，即$x + y = -2$，将$y=1$、$x=-\frac{5}{3}m$代入得：
$-\frac{5}{3}m + 1 = -2$
移项得：$-\frac{5}{3}m = -3$
系数化为1得：$m = \frac{9}{5}$
【答案】
$m=\dfrac{9}{5}$
【知识点】
一元一次方程的解法；方程的解的定义；含参方程求解
【点评】
本题属于基础综合题，核心是灵活运用一元一次方程的解法，解题时先求解不含参数的方程可简化计算，注意去分母时不要漏乘不含分母的项，移项时要注意变号。
【难度系数】
0.75
8 批阅一批试卷，由1人批阅需20天才能完成，现由3人先批阅2天.若剩下的试卷正好2天批阅完毕，则应增加（假设每个人的工作效率相同）（
A.2人
B.3人
C.4人
D.5人
C
）A.2人
B.3人
C.4人
D.5人
答案
8.C
解析
【分析】
这是典型的工程问题，解题时通常把总工作量看作单位“1”。首先先求出单人的工作效率，再计算3人2天完成的工作量，随后根据“剩余工作量=总工作量-已完成工作量”求出剩下的工作量，最后结合剩余工作量需要2天完成的要求，算出所需总人数，减去已有的3人即可得到增加的人数，也可以通过设未知数列一元一次方程求解，思路更清晰不易出错。
【解析】
把这批试卷的总工作量设为单位“1”。
已知1人批阅需要20天完成，因此每人每天的工作效率为$\frac{1}{20}$。
设应增加$x$人，根据总工作量为1列方程：
$3×2×\frac{1}{20} + (3+x)×2×\frac{1}{20} = 1$
去分母（两边同乘20）得：
$6 + 2(3+x) = 20$
展开计算：
$6 + 6 + 2x = 20$
$12 + 2x = 20$
移项求解：
$2x = 8$
$x=4$
即应增加4人。
【答案】C
【知识点】工程问题；一元一次方程的应用
【点评】本题是工程类基础应用题，核心是掌握“工作量=工作效率×工作时间”的基本关系，将总工作量设为单位1是解决这类问题的常用技巧，既可以用算术法分步计算，也可以通过列方程快速求解。
【难度系数】0.7
这是典型的工程问题，解题时通常把总工作量看作单位“1”。首先先求出单人的工作效率，再计算3人2天完成的工作量，随后根据“剩余工作量=总工作量-已完成工作量”求出剩下的工作量，最后结合剩余工作量需要2天完成的要求，算出所需总人数，减去已有的3人即可得到增加的人数，也可以通过设未知数列一元一次方程求解，思路更清晰不易出错。
【解析】
把这批试卷的总工作量设为单位“1”。
已知1人批阅需要20天完成，因此每人每天的工作效率为$\frac{1}{20}$。
设应增加$x$人，根据总工作量为1列方程：
$3×2×\frac{1}{20} + (3+x)×2×\frac{1}{20} = 1$
去分母（两边同乘20）得：
$6 + 2(3+x) = 20$
展开计算：
$6 + 6 + 2x = 20$
$12 + 2x = 20$
移项求解：
$2x = 8$
$x=4$
即应增加4人。
【答案】C
【知识点】工程问题；一元一次方程的应用
【点评】本题是工程类基础应用题，核心是掌握“工作量=工作效率×工作时间”的基本关系，将总工作量设为单位1是解决这类问题的常用技巧，既可以用算术法分步计算，也可以通过列方程快速求解。
【难度系数】0.7
9 甲、乙两人分别从相距2 000 m的A,B两地步行出发相向而行,两人速度保持不变.若两人同时出发,则他们10 min之后相遇;若乙比甲先出发4 min,则甲出发8 min之后,甲、乙两人相遇.甲的速度为
(
A.70 m/min
B.80 m/min
C.90 m/min
D.100 m/min
(
D
)A.70 m/min
B.80 m/min
C.90 m/min
D.100 m/min
答案
9.D
解析
【分析】
这是一道行程类的相遇问题，解题核心是抓住“相向而行时，两人行驶的路程和等于两地总距离”这一等量关系。首先可以根据两人同时出发10分钟相遇的条件，先算出两人的速度和；再结合乙先出发、甲后出发的相遇条件，设甲的速度为未知数，用速度和表示出乙的速度，根据总路程列一元一次方程求解即可。
【解析】
第一步：计算甲、乙两人的速度和
两人同时出发10min相遇，总路程为2000m，根据速度和=总路程÷相遇时间，可得：
$v_甲 + v_乙 = 2000÷10 = 200\ \mathrm{m/min}$
第二步：设未知数列方程
设甲的速度为$x\ \mathrm{m/min}$，则乙的速度为$(200 - x)\ \mathrm{m/min}$。
乙比甲先出发4min，甲出发8min后相遇，此时乙一共行驶了$4+8=12\ \mathrm{min}$，甲行驶了8min，两人路程和为2000m，可列方程：
$8x + 12×(200 - x) = 2000$
第三步：解方程
展开方程得：$8x + 2400 - 12x = 2000$
移项合并同类项得：$-4x = -400$
系数化为1得：$x = 100$
即甲的速度为100m/min。
【答案】
D
【知识点】
相遇问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的行程相遇应用题，解题关键是准确梳理不同行驶情况下两人的行驶时间，抓住“路程和等于总路程”的等量关系列方程求解，掌握基础行程公式是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类的相遇问题，解题核心是抓住“相向而行时，两人行驶的路程和等于两地总距离”这一等量关系。首先可以根据两人同时出发10分钟相遇的条件，先算出两人的速度和；再结合乙先出发、甲后出发的相遇条件，设甲的速度为未知数，用速度和表示出乙的速度，根据总路程列一元一次方程求解即可。
【解析】
第一步：计算甲、乙两人的速度和
两人同时出发10min相遇，总路程为2000m，根据速度和=总路程÷相遇时间，可得：
$v_甲 + v_乙 = 2000÷10 = 200\ \mathrm{m/min}$
第二步：设未知数列方程
设甲的速度为$x\ \mathrm{m/min}$，则乙的速度为$(200 - x)\ \mathrm{m/min}$。
乙比甲先出发4min，甲出发8min后相遇，此时乙一共行驶了$4+8=12\ \mathrm{min}$，甲行驶了8min，两人路程和为2000m，可列方程：
$8x + 12×(200 - x) = 2000$
第三步：解方程
展开方程得：$8x + 2400 - 12x = 2000$
移项合并同类项得：$-4x = -400$
系数化为1得：$x = 100$
即甲的速度为100m/min。
【答案】
D
【知识点】
相遇问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的行程相遇应用题，解题关键是准确梳理不同行驶情况下两人的行驶时间，抓住“路程和等于总路程”的等量关系列方程求解，掌握基础行程公式是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.7
10 某商店卖出两双皮鞋，一双盈利30%，另一双亏本10%，两双共卖出200元。若商店在这次销售中刚好不赚不亏，则亏本的那双皮鞋的进价是
150
元。答案
10.150
解析
【分析】
解题的核心是抓住“销售中刚好不赚不亏”的条件，即两双皮鞋的总售价等于总进价，已知总售价为200元，因此总进价也为200元。我们可以设亏本那双皮鞋的进价为x元，那么盈利那双皮鞋的进价就是(200 - x)元；再根据“售价=进价×(1+利润率)”（亏本时利润率为负），分别表示出两双鞋的售价，结合总售价为200元列方程，求解即可得到答案。
【解析】
设亏本的那双皮鞋的进价是x元。
因为销售不赚不亏，所以两双皮鞋总进价=总售价=200元，因此盈利的那双皮鞋进价为(200 - x)元。
根据售价与进价、利润率的关系列方程：
$(1+30\%)×(200-x)+(1-10\%)x=200$
化简得：
$1.3(200-x)+0.9x=200$
展开计算：
$260 - 1.3x + 0.9x = 200$
合并同类项：
$260 - 0.4x = 200$
移项计算：
$0.4x = 60$
解得：
$x=150$
【答案】
150
【知识点】
1.一元一次方程的应用
2.销售盈亏问题
【点评】
本题是销售类常规应用题，解题关键是准确理解“不赚不亏”的含义，熟练掌握进价、售价、利润率三者的数量关系，通过合理设未知数建立方程即可求解。
【难度系数】
0.7
解题的核心是抓住“销售中刚好不赚不亏”的条件，即两双皮鞋的总售价等于总进价，已知总售价为200元，因此总进价也为200元。我们可以设亏本那双皮鞋的进价为x元，那么盈利那双皮鞋的进价就是(200 - x)元；再根据“售价=进价×(1+利润率)”（亏本时利润率为负），分别表示出两双鞋的售价，结合总售价为200元列方程，求解即可得到答案。
【解析】
设亏本的那双皮鞋的进价是x元。
因为销售不赚不亏，所以两双皮鞋总进价=总售价=200元，因此盈利的那双皮鞋进价为(200 - x)元。
根据售价与进价、利润率的关系列方程：
$(1+30\%)×(200-x)+(1-10\%)x=200$
化简得：
$1.3(200-x)+0.9x=200$
展开计算：
$260 - 1.3x + 0.9x = 200$
合并同类项：
$260 - 0.4x = 200$
移项计算：
$0.4x = 60$
解得：
$x=150$
【答案】
150
【知识点】
1.一元一次方程的应用
2.销售盈亏问题
【点评】
本题是销售类常规应用题，解题关键是准确理解“不赚不亏”的含义，熟练掌握进价、售价、利润率三者的数量关系，通过合理设未知数建立方程即可求解。
【难度系数】
0.7
11 某校七年级(5)班共有学生 49 人,其中男生比女生多 3 人.综合实践活动课上,老师组织学生自己动手设计制作便携式垃圾盒,每名学生一节课能做盒身 10 个或盒底 29 个.
(1) 七年级(5)班男生和女生各有多少人?
(2) 原计划女生负责做盒身,男生负责做盒底,1 个盒身匹配 2 个盒底,那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套,最后决定让男生去支援女生.安排多少名男生去支援女生,才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套?
(1) 七年级(5)班男生和女生各有多少人?
(2) 原计划女生负责做盒身,男生负责做盒底,1 个盒身匹配 2 个盒底,那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套,最后决定让男生去支援女生.安排多少名男生去支援女生,才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套?
答案
(1) 设七年级(5)班男生有 x 人,则女生有$(49-x)$人. 根据题意,得$x-(49-x)=3$,解得 $x=26$. 所以 $49-x=49-26=23$. 所以七年级(5)班男生有 26 人,女生有 23 人 (2) 设安排 y 名男生去支援女生. 根据题意,得 $29(26-y)=2×10(23+y)$,解得 $y=6$. 所以安排 6 名男生去支援女生,才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套
解析
【分析】
（1）已知班级总人数以及男女生的人数差，可通过设未知数列一元一次方程求解：设男生人数为x，女生人数即可用总人数减去男生人数表示，再根据“男生人数-女生人数=3”的等量关系列方程，就能求出男女生各自的人数。
（2）这是配套类应用题，核心等量关系为“盒底总数量=2×盒身总数量”（因为1个盒身要配2个盒底）。设安排y名男生去支援女生，此时做盒身的人数为女生人数加y，做盒底的人数为原有男生人数减y，分别乘以对应的单人工作效率得到盒身、盒底的总数量，代入配套等量关系列方程求解即可。
【解析】
（1）设七年级（5）班男生有x人，则女生有$(49-x)$人。
根据题意“男生比女生多3人”，列方程：
$x-(49-x)=3$
去括号得：$x-49+x=3$
合并同类项得：$2x=52$
解得：$x=26$
则女生人数为：$49-x=49-26=23$（人）
（2）设安排y名男生去支援女生。
此时做盒身的总人数为$(23+y)$人，一节课可做盒身总数为$10(23+y)$个；
做盒底的总人数为$(26-y)$人，一节课可做盒底总数为$29(26-y)$个。
根据配套规则“盒底数量=2×盒身数量”，列方程：
$29(26-y)=2×10(23+y)$
展开计算：$754-29y=460+20y$
移项得：$-29y-20y=460-754$
合并同类项得：$-49y=-294$
解得：$y=6$
【答案】
（1）七年级（5）班男生有26人，女生有23人；（2）安排6名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套。
【知识点】
一元一次方程的应用；和差问题；配套问题
【点评】
本题结合实际场景考查一元一次方程的应用，第一问属于基础题型，找准人数差的等量关系即可快速求解；第二问的解题核心是准确把握配套的数量关系，理清不同工序的人数分配，能有效考查学生分析问题、建立方程模型的能力。
【难度系数】
0.7
（1）已知班级总人数以及男女生的人数差，可通过设未知数列一元一次方程求解：设男生人数为x，女生人数即可用总人数减去男生人数表示，再根据“男生人数-女生人数=3”的等量关系列方程，就能求出男女生各自的人数。
（2）这是配套类应用题，核心等量关系为“盒底总数量=2×盒身总数量”（因为1个盒身要配2个盒底）。设安排y名男生去支援女生，此时做盒身的人数为女生人数加y，做盒底的人数为原有男生人数减y，分别乘以对应的单人工作效率得到盒身、盒底的总数量，代入配套等量关系列方程求解即可。
【解析】
（1）设七年级（5）班男生有x人，则女生有$(49-x)$人。
根据题意“男生比女生多3人”，列方程：
$x-(49-x)=3$
去括号得：$x-49+x=3$
合并同类项得：$2x=52$
解得：$x=26$
则女生人数为：$49-x=49-26=23$（人）
（2）设安排y名男生去支援女生。
此时做盒身的总人数为$(23+y)$人，一节课可做盒身总数为$10(23+y)$个；
做盒底的总人数为$(26-y)$人，一节课可做盒底总数为$29(26-y)$个。
根据配套规则“盒底数量=2×盒身数量”，列方程：
$29(26-y)=2×10(23+y)$
展开计算：$754-29y=460+20y$
移项得：$-29y-20y=460-754$
合并同类项得：$-49y=-294$
解得：$y=6$
【答案】
（1）七年级（5）班男生有26人，女生有23人；（2）安排6名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套。
【知识点】
一元一次方程的应用；和差问题；配套问题
【点评】
本题结合实际场景考查一元一次方程的应用，第一问属于基础题型，找准人数差的等量关系即可快速求解；第二问的解题核心是准确把握配套的数量关系，理清不同工序的人数分配，能有效考查学生分析问题、建立方程模型的能力。
【难度系数】
0.7
