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【例1】"双11"购物节,某电商平台的一款智能电饭煲经过两次降价,售价由原来的400元降到289元,设平均每次降价的百分率为x,则x的值为
15%
。答案
15%
解析
【分析】
要解决这个问题，需明确两次降价后的价格计算逻辑：平均每次降价百分率为$x$，第一次降价后的价格是原价乘以$(1-x)$，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降$x$，即第二次降价后的价格为原价乘以$(1-x)^2$。结合题目给出的原价和最终售价，列出一元二次方程，再根据实际意义（降价百分率为正数且小于1）求解$x$。
【解析】
根据题意，原价为400元，两次降价后售价为289元，设平均每次降价的百分率为$x$，可列方程：
$400(1 - x)^2 = 289$
两边同时除以400得：
$(1 - x)^2 = \frac{289}{400}$
开平方得：
$1 - x = \pm\frac{17}{20}$
因为降价的百分率$x$满足$0 ＜ x ＜ 1$，所以$1 - x ＞ 0$，舍去负根，即：
$1 - x = \frac{17}{20}$
解得：
$x = 1 - \frac{17}{20} = \frac{3}{20} = 0.15 = 15\%$
【答案】
15%
【知识点】
一元二次方程的应用、百分率问题
【点评】
本题是一元二次方程在实际生活中的典型应用（降价百分率问题），关键是正确表示两次降价后的价格，求解时需结合实际意义舍去不符合的解，难度适中，属于基础应用题。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需明确两次降价后的价格计算逻辑：平均每次降价百分率为$x$，第一次降价后的价格是原价乘以$(1-x)$，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降$x$，即第二次降价后的价格为原价乘以$(1-x)^2$。结合题目给出的原价和最终售价，列出一元二次方程，再根据实际意义（降价百分率为正数且小于1）求解$x$。
【解析】
根据题意，原价为400元，两次降价后售价为289元，设平均每次降价的百分率为$x$，可列方程：
$400(1 - x)^2 = 289$
两边同时除以400得：
$(1 - x)^2 = \frac{289}{400}$
开平方得：
$1 - x = \pm\frac{17}{20}$
因为降价的百分率$x$满足$0 ＜ x ＜ 1$，所以$1 - x ＞ 0$，舍去负根，即：
$1 - x = \frac{17}{20}$
解得：
$x = 1 - \frac{17}{20} = \frac{3}{20} = 0.15 = 15\%$
【答案】
15%
【知识点】
一元二次方程的应用、百分率问题
【点评】
本题是一元二次方程在实际生活中的典型应用（降价百分率问题），关键是正确表示两次降价后的价格，求解时需结合实际意义舍去不符合的解，难度适中，属于基础应用题。
【难度系数】
0.6
1. 某手机厂商一月份生产手机50万部,计划二、三月份共生产手机132万部,设二、三月份平均每月增长率为x,根据题意列出方程为
$50(1+x)+50(1+x)^2=132$
。答案
1. $50(1+x)+50(1+x)^2=132$
解析
【分析】
要列出方程，需先根据每月增长率分别表示出二、三月份的产量，再结合二、三月份总产量为132万部的条件建立等式。已知一月份产量为50万部，平均每月增长率为x，二月份产量是一月份产量乘以(1+x)，三月份产量是二月份产量乘以(1+x)，最后将二月和三月产量相加等于132即可得到方程。
【解析】
解：已知一月份生产手机50万部，二、三月份平均每月增长率为x：
1. 二月份产量 = 一月份产量×(1+增长率) = $50(1+x)$（万部）；
2. 三月份产量 = 二月份产量×(1+增长率) = $50(1+x)(1+x) = 50(1+x)^2$（万部）；
3. 因为二、三月份共生产132万部，所以二月产量 + 三月产量 = 132，即：
$50(1+x) + 50(1+x)^2 = 132$。
【答案】
$50(1+x)+50(1+x)^2=132$
【知识点】
一元二次方程的应用、增长率问题
【点评】
本题考查一元二次方程在增长率实际问题中的应用，核心是理解“每月产量以上个月为基础增长”的逻辑，属于基础应用题，需准确掌握增长率的计算方法。
【难度系数】
0.7
要列出方程，需先根据每月增长率分别表示出二、三月份的产量，再结合二、三月份总产量为132万部的条件建立等式。已知一月份产量为50万部，平均每月增长率为x，二月份产量是一月份产量乘以(1+x)，三月份产量是二月份产量乘以(1+x)，最后将二月和三月产量相加等于132即可得到方程。
【解析】
解：已知一月份生产手机50万部，二、三月份平均每月增长率为x：
1. 二月份产量 = 一月份产量×(1+增长率) = $50(1+x)$（万部）；
2. 三月份产量 = 二月份产量×(1+增长率) = $50(1+x)(1+x) = 50(1+x)^2$（万部）；
3. 因为二、三月份共生产132万部，所以二月产量 + 三月产量 = 132，即：
$50(1+x) + 50(1+x)^2 = 132$。
【答案】
$50(1+x)+50(1+x)^2=132$
【知识点】
一元二次方程的应用、增长率问题
【点评】
本题考查一元二次方程在增长率实际问题中的应用，核心是理解“每月产量以上个月为基础增长”的逻辑，属于基础应用题，需准确掌握增长率的计算方法。
【难度系数】
0.7
【例2】如图,某小区要在长为8 m,宽为6 m的矩形空地上建造一个花坛,使花坛四周小路的宽度相等,且花坛所占面积为矩形空地面积的一半,设小路的宽为x m,根据题意可列方程为
$(8-2x)(6-2x)=\frac{1}{2}×8×6$
。答案
$(8-2x)(6-2x)=\frac{1}{2}×8×6$
解析
【分析】
要列出方程，需先明确花坛的长、宽与小路宽度的关系，再结合“花坛面积是矩形空地面积的一半”的条件推导。因为小路在矩形空地四周且宽度均为x m，所以花坛的长是空地长减去左右两侧小路的总宽度（2x m），宽是空地宽减去上下两侧小路的总宽度（2x m），再利用矩形面积公式建立等式即可。
【解析】
1. 计算矩形空地的面积：长为8 m，宽为6 m，面积为 $8×6 = 48 \, \mathrm{m}^2$，因此花坛面积为 $\frac{1}{2}×48 = 24 \, \mathrm{m}^2$。
2. 表示花坛的长和宽：四周小路宽为x m，所以花坛的长为 $(8 - 2x) \, \mathrm{m}$，宽为 $(6 - 2x) \, \mathrm{m}$。
3. 根据矩形面积公式，花坛面积 = 长×宽，因此可列方程：$(8 - 2x)(6 - 2x) = \frac{1}{2}×8×6$。
【答案】
$(8-2x)(6-2x)=\frac{1}{2}×8×6$
【知识点】
矩形面积计算、一元二次方程应用
【点评】
本题是一元二次方程在实际生活中的基础应用，核心是正确推导花坛的长和宽，需注意四周小路的宽度需同时减去左右、上下两侧，避免出现计算错误，是常见的方程建模题型。
【难度系数】
0.6
要列出方程，需先明确花坛的长、宽与小路宽度的关系，再结合“花坛面积是矩形空地面积的一半”的条件推导。因为小路在矩形空地四周且宽度均为x m，所以花坛的长是空地长减去左右两侧小路的总宽度（2x m），宽是空地宽减去上下两侧小路的总宽度（2x m），再利用矩形面积公式建立等式即可。
【解析】
1. 计算矩形空地的面积：长为8 m，宽为6 m，面积为 $8×6 = 48 \, \mathrm{m}^2$，因此花坛面积为 $\frac{1}{2}×48 = 24 \, \mathrm{m}^2$。
2. 表示花坛的长和宽：四周小路宽为x m，所以花坛的长为 $(8 - 2x) \, \mathrm{m}$，宽为 $(6 - 2x) \, \mathrm{m}$。
3. 根据矩形面积公式，花坛面积 = 长×宽，因此可列方程：$(8 - 2x)(6 - 2x) = \frac{1}{2}×8×6$。
【答案】
$(8-2x)(6-2x)=\frac{1}{2}×8×6$
【知识点】
矩形面积计算、一元二次方程应用
【点评】
本题是一元二次方程在实际生活中的基础应用，核心是正确推导花坛的长和宽，需注意四周小路的宽度需同时减去左右、上下两侧，避免出现计算错误，是常见的方程建模题型。
【难度系数】
0.6
2. 用12 m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地,使场地的面积为15 $\mathrm{m}^2$,并且在垂直于墙的一边开一个1 m长的小门(该门用其他材料),若墙足够长,设该长方形场地平行于墙的边长度为x m,则列方程为
$\frac{12+1-x}{2}·x=15$
。答案
2. $\frac{12+1-x}{2}·x=15$
解析
【分析】首先设长方形平行于墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $，由于场地一边靠墙，铁丝仅用于围成另外三边，且垂直于墙的一边开有1 m长的小门，需理清铁丝长度与各边的数量关系：铁丝总长12 m，加上小门的1 m（小门无需铁丝，相当于垂直边的总长度需额外补充1 m），可得到两个垂直于墙的边的总长度，进而求出单个垂直于墙的边的长度，最后根据长方形面积公式列方程。
【解析】已知平行于墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $，两个垂直于墙的边的总长度为$ (12 + 1 - x) \, \mathrm{m} $，因此单个垂直于墙的边的长度为$ \frac{12+1-x}{2} \, \mathrm{m} $。根据长方形面积=长×宽，结合面积为$ 15 \, \mathrm{m}^2 $，可列方程为：$\frac{12+1-x}{2}·x=15$。
【答案】$\frac{12+1-x}{2}·x=15$
【知识点】一元二次方程应用、长方形面积计算
【点评】本题是一元二次方程在实际几何问题中的基础应用，核心是准确分析铁丝长度与各边的关系，注意小门长度对边长计算的影响，难度适中，适合考查学生的实际应用能力。
【难度系数】0.5
【解析】已知平行于墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $，两个垂直于墙的边的总长度为$ (12 + 1 - x) \, \mathrm{m} $，因此单个垂直于墙的边的长度为$ \frac{12+1-x}{2} \, \mathrm{m} $。根据长方形面积=长×宽，结合面积为$ 15 \, \mathrm{m}^2 $，可列方程为：$\frac{12+1-x}{2}·x=15$。
【答案】$\frac{12+1-x}{2}·x=15$
【知识点】一元二次方程应用、长方形面积计算
【点评】本题是一元二次方程在实际几何问题中的基础应用，核心是准确分析铁丝长度与各边的关系，注意小门长度对边长计算的影响，难度适中，适合考查学生的实际应用能力。
【难度系数】0.5
【例3】某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元,那么每千克该水果应涨价多少元?
答案
每千克该水果应涨价5元或10元.
解析
【分析】
本题属于利润类实际问题，核心等量关系为：总盈利=每千克盈利×日销售量。设每千克水果涨价x元，可先表示出涨价后的每千克盈利（原盈利+涨价额）和对应的日销售量（原销售量-因涨价减少的销量），再根据总盈利6000元列出一元二次方程，求解后需验证解是否符合实际（销售量不能为负），最终确定合理的涨价金额。
【解析】
解：设每千克该水果应涨价x元。
根据总盈利的等量关系，可列方程：
(10 + x)(500 - 20x) = 6000
展开并整理方程：
5000 + 300x - 20x² = 6000
移项化简得：
x² - 15x + 50 = 0
因式分解得：
(x - 5)(x - 10) = 0
解得：x₁=5，x₂=10
验证解的合理性：当x=5时，日销售量=500-20×5=400千克，为正，符合实际；当x=10时，日销售量=500-20×10=300千克，为正，符合实际。
因此每千克该水果应涨价5元或10元。
【答案】
每千克该水果应涨价5元或10元.
【知识点】
一元二次方程的应用、利润问题
【点评】
本题是一元二次方程在实际生活中的典型应用，关键是找准总盈利、每千克盈利、日销售量三者的等量关系，列方程求解后需结合实际意义验证解的合理性，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
本题属于利润类实际问题，核心等量关系为：总盈利=每千克盈利×日销售量。设每千克水果涨价x元，可先表示出涨价后的每千克盈利（原盈利+涨价额）和对应的日销售量（原销售量-因涨价减少的销量），再根据总盈利6000元列出一元二次方程，求解后需验证解是否符合实际（销售量不能为负），最终确定合理的涨价金额。
【解析】
解：设每千克该水果应涨价x元。
根据总盈利的等量关系，可列方程：
(10 + x)(500 - 20x) = 6000
展开并整理方程：
5000 + 300x - 20x² = 6000
移项化简得：
x² - 15x + 50 = 0
因式分解得：
(x - 5)(x - 10) = 0
解得：x₁=5，x₂=10
验证解的合理性：当x=5时，日销售量=500-20×5=400千克，为正，符合实际；当x=10时，日销售量=500-20×10=300千克，为正，符合实际。
因此每千克该水果应涨价5元或10元。
【答案】
每千克该水果应涨价5元或10元.
【知识点】
一元二次方程的应用、利润问题
【点评】
本题是一元二次方程在实际生活中的典型应用，关键是找准总盈利、每千克盈利、日销售量三者的等量关系，列方程求解后需结合实际意义验证解的合理性，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
3. 旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游,推出如下收费标准:
一单位组织员工去该风景区旅游,共支付给旅行社旅游费27000元.
请问:
(1) 该单位去该风景区旅游的人数是否超过25?
(2) 该单位这次共有多少员工去该风景区旅游?
一单位组织员工去该风景区旅游,共支付给旅行社旅游费27000元.
请问:
(1) 该单位去该风景区旅游的人数是否超过25?
(2) 该单位这次共有多少员工去该风景区旅游?
答案
(1)超过 (2)30
解析
【分析】
首先判断人数是否超过25：先计算25人时的总费用，与实际支付的27000元对比，若实际费用更高，则人数超过25。接着设人数为x（x＞25），根据收费标准表示出此时的人均收费，结合总费用列方程，同时需满足人均收费不低于700元的限制条件，解方程后舍去不符合条件的解，得到正确人数。
【解析】
(1) 计算25人时的总费用：25×1000=25000元，该单位实际支付27000元，27000＞25000，因此该单位去旅游的人数超过25人。
(2) 设该单位这次共有x名员工去旅游，因为人数超过25，所以人均收费为[1000 -20(x-25)]元，且需满足人均收费≥700元，即1000 -20(x-25)≥700，解得x≤40。
根据总费用列方程：x[1000 -20(x-25)] =27000
整理方程：x(1500 -20x)=27000 →20x² -1500x +27000=0 →x² -75x +1350=0
因式分解得：(x-30)(x-45)=0，解得x=30或x=45。
验证人均收费：x=45时，人均收费为1000-20×(45-25)=600元＜700元，不符合要求，舍去；x=30时，人均收费为1000-20×(30-25)=900元≥700元，符合条件。
因此该单位共有30名员工去旅游。
【答案】
(1) 超过；(2) 30
【知识点】
一元二次方程应用、分段收费问题
【点评】
本题是分段收费的实际应用问题，需先判断人数范围，再结合收费标准列方程，同时要注意人均收费的限制条件，舍去不符合实际的解，考查学生分析和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.5
首先判断人数是否超过25：先计算25人时的总费用，与实际支付的27000元对比，若实际费用更高，则人数超过25。接着设人数为x（x＞25），根据收费标准表示出此时的人均收费，结合总费用列方程，同时需满足人均收费不低于700元的限制条件，解方程后舍去不符合条件的解，得到正确人数。
【解析】
(1) 计算25人时的总费用：25×1000=25000元，该单位实际支付27000元，27000＞25000，因此该单位去旅游的人数超过25人。
(2) 设该单位这次共有x名员工去旅游，因为人数超过25，所以人均收费为[1000 -20(x-25)]元，且需满足人均收费≥700元，即1000 -20(x-25)≥700，解得x≤40。
根据总费用列方程：x[1000 -20(x-25)] =27000
整理方程：x(1500 -20x)=27000 →20x² -1500x +27000=0 →x² -75x +1350=0
因式分解得：(x-30)(x-45)=0，解得x=30或x=45。
验证人均收费：x=45时，人均收费为1000-20×(45-25)=600元＜700元，不符合要求，舍去；x=30时，人均收费为1000-20×(30-25)=900元≥700元，符合条件。
因此该单位共有30名员工去旅游。
【答案】
(1) 超过；(2) 30
【知识点】
一元二次方程应用、分段收费问题
【点评】
本题是分段收费的实际应用问题，需先判断人数范围，再结合收费标准列方程，同时要注意人均收费的限制条件，舍去不符合实际的解，考查学生分析和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.5
